（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练 拓展四：三角形周长（定值，最值，范围）问题 (精讲）（2份，原卷版+解析版）

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1：三角形周长（边长）（定值问题）
题型2：三角形周长（边长）（最值问题）
题型3：三角形周长（边长）（范围问题）
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）
利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）
利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
二、重点题型分类研究
题型1：三角形周长（边长）（定值问题）
典型例题
例题1．已知的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
例题2．已知的内角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角；
(2)若为的中点，且的面积为，，求的长.
例题3．已知函数，.
(1)求函数的单调增区间；
(2)在锐角中，角，，的对边分别为，，，当，，且三角形的面积为时，求.
例题4．已知中，角的对边分别为，．
(1)求；
(2)若的面积为，求．
同类题型演练
1．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c从下列三个条件中选择一个并解答问题：
①；②；
③．
(1)求角A的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小及a的值；
(2)求面积的最大值，并求此时的周长．
3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求A；
(2)若，的面积为，求的周长.
4．在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，的面积是，求的值．
5．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，且
(1)求角；
(2)若角的平分线交于点，，，求，的值.
6．一块土地形状为四边形，其中，
(1)求这块土地的面积；
(2)若为中点，在CD边上，且EF将这块土地面积平分，求CF的长度.
题型2：三角形周长（边长）（最值问题）
典型例题
例题1．的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
例题2．在中，分别是角的对边，已知向量，设函数​.
(1)求的单调递增区间；
(2)若 ，求的最大值.
例题3．如图，在平面四边形中，．
(1)判断的形状并证明；
(2)若，，，求四边形的对角线的最大值．
例题4．已知的内角、、所对的边长分别为、、，且，若，，求：
(1)求的值；
(2)求的最大值.
同类题型演练
1．已知的内角满足.
(1)求角；
(2)若，设是中边上的高，求的最大值.
2．在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
在中，内角所对的边分别是，且__________.
(1)求角；
(2)若点满足，且线段，求的最大值.
3．已知向量，，函数，在中，内角的对边分别为，且．
(1)求的大小；
(2)若的面积为，点在边上，且，求的最小值．
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cs2A+cs2B+2sinAsinB＝1+cs2C．
(1)求角C；
(2)设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求CD的最小值.
5．已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别记作a，b，c，满足，且．
(1)求；
(2)若点，分别在边和上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值．
6．在①；②；③.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.
在中，内角A､B､C的对边分别为a､b､c，的面积为S，且满足___________
(1)求A的大小；
(2)设的面积为，点D在边上，且，求的最小值.
题型3：三角形周长（边长）（范围问题）
典型例题
例题1．锐角中，角，，所对边的长分别为，，，．
(1)求的大小；
(2)若，求的取值范围．
例题2．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量、满足：，，且．
(1)求角；
(2)若，求的取值范围．
例题3．已知向量，，函数.在中，内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若，且的面积，求周长的取值范围.
例题4．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，的面积．
(1)求；
(2)求周长的取值范围．
同类题型演练
1．在锐角中，角的对边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围．
2．在锐角三角形 中，角的对边分别为 ，，.
(1)求角A；
(2)求c的取值范围.
3．某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN.
(1)求M，N两地间的直线距离；
(2)求观光线路长的取值范围.
4．已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若b＝2，求的取值范围．
5．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①；
②；
③．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ．
(1)求角C；
(2)若，求△ABC周长的取值范围．
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，且△ABC的面积，求△ABC周长的取值范围．
三、高考（模拟）题体验
1．在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
2．从①为锐角且sinB－csC＝；②b＝2asin(C＋)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
(1)求角A；
(2)若b＝c且BC边上的高AD为2，求CD的长．
3．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知边上的高等于a．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
4．如图所示，在平面五边形中，已知，，，，.
(1)当时，求；
(2)当五边形的面积时，求的取值范围.
5．已知中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，且，，．
(1)若，求的面积；
(2)求周长的取值范围．
6．在锐角中，角的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
7．在中，角，，的对边分别为，，.，均为锐角，且满足.
（1）证明：是直角三角形；
（2）若面积为，求的周长的最小值.
8．在三角形中，∠A、∠B、∠C分别对应的边为a，b，c，且满足关系式为：
（1）求∠C的的大小；
（2）若c=2，求的取值范围
9．在中，，，分别为角A，，的对边，且满足．
（1）求A；
（2）若点满足，，求的取值范围．
10．设函数.
（1）求的最小正周期和值域.
（2）在锐角中，角､､的对边长分别为､､.若，，求周长的取值范围.
11．在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足.
（1）求角B大小；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
12．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求角的大小；
(2)若，存在最大值，求正数的取值范围.
13．在中，角的对边分别为，已知．
(1)求A；
(2)若与的角平分线交于点D，求周长的取值范围．