专题2 三角形中的最值范围问题专题提升卷-2021-2022学年高一数学下学期期末复习备考精准测试卷（人教A版2019必修第二册）

高一下学期期中复习备考精准测试卷---第二篇  专题提升卷

                     专题2  三角形中的最值范围问题

                                 类型解读

类型一  有关三角形边的最值范围问题

【典型例题】在中，角、、的对边分别为、、，已知，，若最长边为，则最短边长为（    ）

A． B． C． D．

【解决策略】

【答案】A

【分析】先结合角的范围利用同角三角函数基本关系求得角的正余弦，再利用三角形内角和为和诱导公式计算角的正余弦，判断c为最大边，为最短边，利用正弦定理求出即可.

【详解】由知，利用同角三角函数基本关系可求得，，由知，得，，

∴，，即为钝角，为最大角，故c为最大边，有，由知，最短边为，于是由正弦定理，即求得。

【变式训练】在中，内角所对的边分别为．若

（1）求角的大小；

（2）设的中点为，且，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据余弦定理的推论即可求出；

（2）设，在中利用正弦定理用的三角函数值表示出，再利用三角函数值域的求法即可求出的取值范围．

【详解】（1）因为，而，所以

（2）如图所示：

设，则中，由可知,由正弦定理及，可得，所以，

由，可知，，.

【点睛】本题第一问直接根据余弦定理的推论即可求出，第二问有两种思路，第一种转化为求即，在中利用余弦定理以及两边之和大于第三边即可求出；第二种引入角参数，由正弦定理用的三角函数值表示出，再利用三角函数值域的求法即可求出的取值范围，第二种方案可以求解任意形如的取值范围，解法更一般．

类型二 有关三角形角的最值范围问题

【典型例题】的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的取值范围是___________.

【解决策略】

【答案】

【分析】由正弦定理及三角形内角性质得，可得，根据余弦定理，应用基本不等式有，结合A为三角形内角，即可求的范围.

【详解】由正弦定理知：，

∵，∴，即，又由余弦定理知：当且仅当时等号成立，而，∴，则.

【变式训练】如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为（塔顶大小和游客身高忽略不计）

A．            B．        C．1     D．

【答案】A

【分析】先根据题意利用正弦定理求解的长度，得到边上的高的长，进而得到最大仰角的正切值.

【详解】由题意得，，．故

在中，由正弦定理得，所以．

当游客甲到达处时，仰角为且．因为为定长，所以当的长最小时，取最大值．故当时，最大．在中，，在中，，所以．

所以．

类型三：有关三角形周长的最值范围问题

【典型例题】在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．

在中，角A，B，C的对边分别是a，b，C，S为的面积，若__________（填条件序号）

（1）求角C的大小；

（2）若边长，求的周长的最大值．

【解决策略】

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）若选①：利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出的结果；若选②：根据正弦定理进行边化角，然后根据三角恒等变换的公式求解出的结果；若选③：根据面积公式结合已知条件求解出的值，从而求解出的结果；

（2）利用余弦定理和的值结合基本不等式，求解出的最大值，由此可求解出周长的最大值.

【详解】（1）若选①：因为，所以，所以，

所以，所以且，所以，所以；

若选②：因为，所以且，所以，

所以，所以，所以且，

所以，所以；

若选③：因为，，所以且，

所以且，所以；

（2）因为，所以，所以，

所以，所以，所以，取等号时，

所以的周长的最大值为：.

【点睛】解答本题第二问的关键在于余弦定理以及基本不等式的运用，通过余弦定理得到满足的等式，结合基本不等式得到的最大值；本例第二问还可以利用正弦定理去求解：将表示为对应角的正弦形式，利用结合三角恒等变换的公式求解出周长的最大值.

【变式训练】在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则周长的取值范围是___________

【答案】

【分析】由正弦定理将，化为，再利用三角函数恒等变换公式化为，再由正弦定理可得，，从而可得的周长，再由求出角的取值范围，进而可求出三角形周长的范围

【详解】因为，，所以，所以，所以，则，即.由正弦定理可得，则，，

故的周长.

因为解得，则，故的周长.

类型四：有关三角形面积的最值范围问题

【典型例题】如图，在中，，是角的平分线，且．

（1）若，求实数的取值范围．

（2）若，时，求的面积的最大值及此时的值．

【解决策略】

【答案】（1）；（2）当时，的面积取最大值.

【分析】（1）设，则，利用可得出，由此可求得的取值范围；

（2）由三角形的面积公式可得，利用余弦定理化简可得，可得出，利用辅助角公式可得出，结合函数单调性可求得的最大值及其对应的，即可得出结论.

【详解】（1）设，则，其中，由，可得，所以，，

即，所以，；

（2），可得，由余弦定理可得，

所以，，所以，，

可得，

所以，，，则，

由于函数在时单调递增，所以，随着的增大而减小，则当时，，此时，，由，可得，

所以，，则.

【点睛】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

【变式训练】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积可用公式（其中，，，为三角形的三边和面积)表示，在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为___________.

【答案】

【分析】先由得出 ，代入面积公式求最值.

【详解】由，根据正弦定理得, ， ，又，

，当时， .

                             综合训练

1．在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦定理得到，再根据三角形有两解得到答案.

【详解】根据正弦定理：，则，故，，三角形有两解，则，即.

2. 在中，若，则最大角的余弦是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】运用余弦定理求出，再根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理进行求解即可.

【详解】因为，所以，

因为，所以，因此，

3. 已知的三边分别为，且边上的高为，则的最大值为 （    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】由面积公式可得，再用余弦定理可得，即得出结果.

【详解】由题，三角形的面积： ，由余弦定理：，可得：

所以 ，所以的最大值为4.

4．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．

【详解】由及余弦定理，可得，正弦定理边化角，得

，，，是锐角三角形，

，即．，，那么：

则，。

5．在中，分别是内角的对边，，，当内角最大时，的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】已知等式利用正弦定理角化边化简，得到关系式，利用余弦定理表示出，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出的最小值，然后利用三角形面积公式计算.

【详解】已知等式利用正弦定理化简得：，两边平方得：，即，所以，

所以，当且仅当，即时取等号，此时，

则的最小值为，此时C最大，且，则的面积，

6．在中，由角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】根据正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到，再根据两角差的正切公式，结合基本不等式，即可求解.

【详解】因为在中，，由正弦定理可得．

因为，可得，即，即，所以．因为，可得，所以，当且仅当，即，，时取“=”，所以，即的最大值为.

7. 在中，，则周长的最小值为________．

【答案】

【分析】先利用余弦定理可得把代入可得写出周长，利用基本不等式可求周长的最小值.

【详解】由余弦定理可得因为，即；

所以整理可得即记周长为，则设则

当且仅当，即时，取到最小值.且最小值为.

8．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为___________，周长的取值范围为___________.

【答案】       

【分析】利用二次函数知识可得的最大值，根据三角形面积公式可得面积的最大值；利用余弦定理可得，根据三角形两边之和小于第三边可得，从而可得周长的取值范围

【详解】由得，所以，所以当时，的最大值为，所以，即面积的最大值为；由余弦定理可得，所以，又，所以，所以，即周长的取值范围为.

9. 已知，，，为的角平分线，则

（i）面积的取值范围为______.（ii）的最小值为_____.

【答案】    9   

【分析】（i）在中，由余弦定理可得结合基本不等式可得的最大值，再利用三角形面积公式即可求面积的取值范围；

（ii）首先利用可得，所以

整理后利用基本不等式即可求最值.

【详解】（i）在中，由余弦定理可得，

即，解得：，当且仅当时等号成立.所以，所以面积的取值范围为.

（ii）为的角平分线，，所以，，

所以，即，所以，所以

，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为9，

10. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．

（1）若，求角A；（2）若的面积为，求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）由正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式可得，从而可求出角A；

（2）利用的面积为，结合余弦定理可得，，

则，再利用正弦定理与辅助角公式化为，进而可得答案.

【详解】

（1）因为，所以由正弦定理可知

故，，

在中，，故，，则；

（2），故，故，

即，故

，又因为，

故当时，的最大值．

11. 如图，在凸四边形中，、为定点，，，为动点，满足.

（1）若，求的值；

（2）设和的面积分别为和，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）连接，根据，，分别在和中，利用余弦定理结合求解；

（2）在和中，分别利用面积公式得到S，T，再由，利用二次函数的性质求解.

【详解】

（1）如图所示：

连接，∵，，∴在中，利用余弦定理得：；在中，，

∴，则；.

（2）由，，∵，

∴，

.则当时，有最大值.

12．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若，求锐角周长l的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【分析】

（Ⅰ）由正弦定理将边化角结合正弦的和差公式即可计算；

（Ⅱ）由正弦定理将边化角结合辅助角公式和角的取值范围通过计算化简即可求解结果．

【详解】

（Ⅰ）因为，由正弦定理得，

又，所以，又

所以，则，因为，所以，则；

（Ⅱ）由正弦定理得 ，所以，因为，所以，又因为为锐角三角形，所以，，所以

由

由得，则 ，所以，则。

13．某市需拍卖一块近似圆形的土地（如图），内接于圆的平面四边形作为建筑用地，周边需做绿化．因地面限制，只能测量出，测角仪测得角．

（1）求的长；

（2）因地理条件限制，不能变更，但点C可以调整．建筑商为利益最大化，要求在弧上设计一点C使得四边形面积最大，求四边形面积的最大值．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）在中利用余弦定理即可求出；

（2）在中利用余弦定理结合基本不等式可得，即可求出，进而求出四边形面积的最大值.

【详解】

（1）由题意可得，在中，由余弦定理可得：

，，故的长为；

（2）在中，，则由余弦定理可得，

则，当且仅当等号成立，

，则，故四边形面积的最大值为.

14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若，且为锐角三角形，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【分析】

（Ⅰ）由条件结合正弦定理有，再由正弦的和角公式可得，在三角形中可得，从而可得答案.

（Ⅱ）由（Ⅰ）中，结合正弦定理，利用两角和的正弦公式以及辅助角公式化简，再由三角形为锐角三角形可得，利用三角函数的性质即可求解.

【详解】

解：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理得，

∴，∵，∴，

∴，又C为三角形的内角，，∴，∴，

又A为三角形内角，∴；

（Ⅱ）设的外接圆半径为R，则，∴由正弦定理得，

，

（其中，且），

因为为锐角三角形，则，解得，所以，

所以，即，所以，

即.