2026届高三数学一轮复习课件第17讲导数与函数的单调性

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第17讲导数与函数的单调性，共58页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，答案BD，和1＋∞，－∞－2，定义域，f′x＞0，f′x＜0，研题型·能力养成，函数单调性的判断，1＋∞等内容，欢迎下载使用。
1．(人A选必二P87练习T1(2)改)函数f(x)＝ex－x的单调递减区间为(　　)A．(1，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，1)
　　　　f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝ex－1＜0，得x＜0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0)．
　　　　由题设，f′(x)＝x2＋2mx＋n，由f(x)的单调递减区间是(－3,1)，得f′(x)＜0的解集为(－3,1)，则－3,1是f′(x)＝0的解，所以－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2．
A．－2B．2C．－3D．1
3．(人A选必二P89练习T3改)(多选)已知函数y＝f′(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f(x)的判断正确的是(　 　)A．在区间(0，a)上，f(x)为定值B．函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增C．函数y＝f(x)在区间(c，e)内单调递增D．函数y＝f(x)在区间(b，d)内单调递减
　　　　由图知，当0＜x＜a时，f′(x)＞0且为定值；当a＜x＜c时，f′(x)单调递减，且当x∈(a，b)时，f′(x)＞0，当x∈(b，c)时，f′(x)＜0；当c＜x＜e时，f′(x)单调递增，且当x∈(c，d)时，f′(x)＜0，当x∈(d，e)时，f′(x)＞0，所以当0＜x＜a时，f(x)单调递增且为斜率大于0的直线，当a＜x＜b时，f(x)单调递增，当b＜x＜c时，f(x)单调递减，当c＜x＜d时，f(x)单调递减，当d＜x＜e时，f(x)单调递增，其大致图象如图．
4．(人A选必二P89练习T1(2)改)函数f(x)＝x3－x2－x的单调递增区间为___________ _____________．
5．若函数f(x)＝－x2＋4x＋bln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是________________．
1．求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1) 确定f(x)的__________；(2) 求导数f′(x)；(3) 在定义域内解不等式f′(x)______0(或f′(x)______0)，得函数f(x)的单调递增(减)区间；(4) 当_____________时，f(x)在相应区间上是增函数，当_____________时，f(x)在相应区间上是减函数．
2．常用结论(1) f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．(2) f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．(3) 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
视角1　不含参函数　　　　　(1) (2024·怀化二模)已知f(x)＝2x2－3x－ln x，则f(x)的单调递增区间为_____________．
确定不含参函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
所以函数g(x)的单调递减区间为(1,2)，单调递增区间为(0,1)，(2，＋∞)．
视角2　含参函数　　　　　(1) (2025·肇庆期初联考)已知a＞0，函数f(x)＝ex－(a－1)x－ln a，讨论f(x)的单调性．
　　　　f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－(a－1)．当0＜a≤1时，f′(x)＞0，则f(x)在R上单调递增；当a＞1时，令f′(x)＞0，解得x＞ln(a－1)，令f′(x)＜0，解得x＜ln(a－1)，所以f(x)在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln(a－1))上单调递减． 综上所述，当0＜a≤1时，f(x)在R上单调递增；当a＞1时，f(x)在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln(a－1))上单调递减．
　　　　　(2) (2025·德州期初节选)已知函数f(x)＝ln x＋ax2－(a＋2)x．若0＜a≤2，讨论函数f(x)的单调性．
(1) 研究含参函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，如：开口方向、是否有解、解是否在定义域的取值范围内、解之间的大小关系等．(2) 划分函数的单调区间时，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3) 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
变式1－2　(2024·武汉4月调研)已知函数f(x)＝ln x－ax＋x2．(1) 若a＝－1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
变式1－2　(2024·武汉4月调研)已知函数f(x)＝ln x－ax＋x2．(2) 讨论f(x)的单调性．
结合函数单调性确定参数
由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法：(1) 可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0 (或f′(x)≤0) (f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立；(2) 可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0 (或f′(x)＜0)在该区间上存在解集；(3) 若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
1．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1,2)上单调递增，则实数a的最小值为(　　)A．e2B．eC．e－1D．e－2
3．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是(　　)A．(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)B．(－3，－1)∪(1,3)C．(－2,2)D．不存在这样的实数k
　　　　由题意得f′(x)＝3x2－12＝0在(k－1，k＋1)上至少有一个实数根，又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2和x＝－2两侧异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在(k－1，k＋1)内，所以k－1＜2＜k＋1或k－1＜－2＜k＋1，所以1＜k＜3或－3＜k＜－1．
1．若函数f(x)＝2x2＋ax＋lnx在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，－4)B．(－∞，－4]C．(－4，＋∞)D．[－4，＋∞)
2．(2024·北京卷改编)函数f(x)＝x－ln(1＋x)的单调递减区间是____________；单调递增区间是_____________．
3．(2024·惠州一模改编)已知函数f(x)＝x3＋3x2(x∈R)，若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则实数m的取值范围是__________________________．
　　　　f′(x)＝3x2＋6x＝3x(x＋2)，令f′(x)＞0，即3x(x＋2)＞0，解得x＜－2或x＞0；令f′(x)＜0，即3x(x＋2)＜0，解得－2＜x＜0，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．根据函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则有m＋1≤－2或m≥0，解得m≤－3或m≥0．
(－∞，－3]∪[0，＋∞)
4．(2024·滨州二模)若函数f(x)＝kx2－ex在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数k的取值范围是___________．
A组　夯基精练一、单项选择题1．函数f(x)＝x2－4lnx＋2x－3的单调递减区间是(　　)A．(1，＋∞)B．(－2,1)C．(0,1)D．(－∞，－2)和(1，＋∞)
2．(2024·上饶一模)已知函数f(x)＝xex，则下列说法正确的是(　　)A．f(x)的导函数为f′(x)＝(x－1)exB．f(x)在(－1，＋∞)上单调递减D．f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x
3．若函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
4．(2024·汕头二模)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1,3)上单调递减，则实数a的最大值为(　　)
8．(2024·广州一模节选)已知函数f(x)＝csx＋xsinx，x∈(－π，π)，那么f(x)的单调递增区间为____________________，单调递减区间为__________________．
【答案】4 1
四、解答题10．(2023·北京卷节选)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1．(1) 求a，b的值；
10．(2023·北京卷节选)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1．(2) 设g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间．
11．(1) (2024·烟台、德州二模节选) 已知函数f(x)＝mx－lnx，x∈(1，＋∞)，讨论f(x)的单调性．
13．(2025·南京零模)甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次)，甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为(　　)A．4B．6C．8D．12
　　　　由题意可得丙不是第1名，甲、乙相邻，所以丙是第2名时，甲、乙只能是第3,4名，丁为第1名，此时有2种情况；丙是第3名时，甲、乙只能是第1,2名，丁为第4名，此时有2种情况；丙是第4名时，甲、乙有可能是第1,2名或第2,3名，当甲、乙是第1,2名时，丁为第3名，此时有2种情况；当甲、乙是第2,3名时，丁为第1名，此时有2种情况．综上，一共有2＋2＋2＋2＝8种情况．
14．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋3．(1) 求f(x)的解析式；
　　　　因为f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋3，所以当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝2－x＋3＝2|x|＋3．因此，对任意的x∈R，f(x)＝2|x|＋3．