2026届高三数学一轮复习课件第18讲导数与函数的极值、最值

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第18讲导数与函数的极值、最值，共86页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，极大值点，极小值点，极值点，连续函数，研题型·能力养成，求函数的极值，答案AB，答案BCD，根据极值求参数等内容，欢迎下载使用。
1．(多选)下列四个函数在x＝0处取得极值的是(　 　)A．y＝x3B．y＝x2＋1C．y＝|x|D．y＝2x
3．(人A选必二P92练习T1)已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值点是_______，极小值点是_______．
　　　　因为x2，x4处的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以x2，x4是函数的极值点．因为当x∈(x1，x2)时，f′(x)＞0，当x∈(x2，x3)时，f′(x)＜0，所以x2是极大值点．因为当x∈(x3，x4)时，f′(x)＜0，当x∈(x4，x5)时，f′(x)＞0，所以x4是极小值点．
4．(人A选必二P104复习参考题T9)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c的值为_____．
　　　　因为f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2，函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，所以f′(2)＝0，即c2－8c＋12＝0，解得c＝6或2．经检验，c＝2时，函数f(x)在x＝2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c＝6．
5．(人A选必二P104复习参考题T14)用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5 m，那么高为_______m时，容器的容积最大，最大容积为_______m3．
1．极值(1) 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)______f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0为f(x)的____________；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)______f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0为f(x)的____________．极小值点与极大值点统称为__________，极大值与极小值统称为极值．(2) 当函数f(x)在x0处连续时，判断f(x0)是极大(小)值的方法：如果x＜x0有f′(x)______0，x＞x0有f′(x)______0，那么f(x0)是极大值．如果x＜x0有f′(x)______0，x＞x0有f′(x)______0，那么f(x0)是极小值．
2．最值在闭区间[a，b]上的____________一定存在最大值和最小值，最大值是区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值是区间端点值和区间内的极小值中的最小者．3．常用结论(1) 在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个(或者没有)；(2) 给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑f′(x0)＝0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
视角1　极值点的判断(识图)　　　　　(多选)若函数f(x)的定义域为(－4,3)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则(　 　)A．f(x)有两个极大值点B．f(x)有一个极小值点C．f(0)＞f(1)D．f(－2)＞f(－3)
　　　　由题图可知当x∈(－4，－3)∪(－2,2)时，f′(x)≥0，当x∈(－3，－2)∪(2,3)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－4，－3)，(－2,2)内单调递增，在(－3，－2)，(2,3)内单调递减，可知f(0)＜f(1)，f(－2)＜f(－3)，且f(x)的极大值点为－3,2，极小值点为－2．
导函数图象从左往右，导函数值由正变负，表示函数单调性由增变减，此时导函数的零点即为函数的极大值点；同理，导函数值由负变正，函数单调性由减变增，此时导函数的零点即为函数的极小值点．判断函数的极值需从定义入手．
变式1－1　(多选)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则(　　　)A．f(x)在(a，b)内一定不存在最小值B．f(x)在(a，b)内只有一个极小值点C．函数f(x)在(a，b)内有两个极大值点D．函数f(x)在(a，b)内可能没有零点
　　　　如图，函数的单调性是先增，后减，再增，再减，即x＝c，x＝e时，f(x)取得极大值，在x＝d时f(x)取得极小值，所以B，C正确；当f(d)≤f(a)，且f(d)≤f(b)时，f(d)为f(x)在(a，b)内的最小值，所以A不正确；若f(a)≥0，f(d)＞0，f(b)≥0，则f(x)在(a，b)内没有零点，所以D正确．
利用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 求导数f′(x)；(3) 在定义域内解方程f′(x)＝0；(4) 列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5) 求出极值．
变式1－2　(2024·威海二模节选)已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，求f(x)的极值．
　　　(2024·济南、青岛、枣庄三模节选)已知函数f(x)＝ex－ax2－x，f′(x)为f(x)的导函数．(1) 讨论f′(x)的单调性；
　　　　由题知f′(x)＝ex－2ax－1，令g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－1，则g′(x)＝ex－2a．当a≤0时，g′(x)＞0，f′(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增．当a＞0时，令g′(x)＝0，解得x＝ln 2a，当x∈(－∞，ln 2a)时，g′(x)＜0，当x∈(ln 2a，＋∞)时，g′(x)＞0，所以f′(x)在区间(－∞，ln 2a)上单调递减，在区间(ln 2a，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，f′(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f′(x)在区间(－∞，ln 2a)上单调递减，在区间(ln 2a，＋∞)上单调递增．
　　　(2024·济南、青岛、枣庄三模节选)已知函数f(x)＝ex－ax2－x，f′(x)为f(x)的导函数．(2) 若x＝0是f(x)的极大值点，求实数a的取值范围．
(1) 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，可根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2) 导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．
求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
视角2　含参函数的最值
(1) 当a＝1时，求f(x)的单调区间和极值；
(2) 求f(x)在区间(0,1]上的最大值．
若所给函数含参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
变式3－2　(2024·十堰4月调研)已知函数f(x)＝ln x－ax＋2(a∈R)．(1) 讨论f(x)的单调性；
变式3－2　(2024·十堰4月调研)已知函数f(x)＝ln x－ax＋2(a∈R)．(2) 若f(x)有最大值3，求a的值．
1．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(提示：直接画f(x)的图象)(　　)A．a＜b　　　　　B．a＞b　　　　　C．ab＜a2　　　　　D．ab＞a2
　　　　当a＞0时，函数f(x)的大致图象如图(1)所示，观察可知b＞a．当a＜0时，函数f(x)的大致图象如图(2)所示，观察可知a＞b．综上，ab＞a2．
4．(2024·扬州期末节选)已知函数f(x)＝(ln x－m)x的最小值为－1，则实数m＝_____．
　　　　f′(x)＝ln x＋1－m(x＞0)，令f′(x)＝0，可得x＝em－1，当x∈(0，em－1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(em－1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(em－1)＝－em－1＝－1，所以m＝1．
A组　夯基精练一、单项选择题1． 设函数f(x)的导函数为f′(x)，y＝f′(x)的部分图象如图所示，则(　　)
B．函数f(x)在(0,4)上单调递增C．函数f(x)在x＝3处取得极小值D．函数f(x)在x＝0处取得极大值
3．(2024·岳阳二模)函数f(x)＝6＋12x－x3的极小值点为(　　)A．(4，－10)B．(－2，－10)C．4D．－2
　　　　函数f(x)＝6＋12x－x3的定义域为R，且f′(x)＝12－3x2＝3(2－x)(2＋x)，所以当－2＜x＜2时，f′(x)＞0，当x＜－2或x＞2时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－2,2)上单调递增，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x＝－2处取得极小值，在x＝2处取得极大值，即极小值点为－2，极大值点为2．
二、多项选择题5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则下列说法正确的是(　　　)A．a＋b＝0B．a＋b＝－7C．f(x)一定有两个极值点D．f(x)一定存在单调递减区间
8．(2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为_____．
四、解答题10． (2024·衡阳二联)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋1(a∈R)，当x＝2时，f(x)取得极值－3．(1) 求f(x)的解析式；
10． (2024·衡阳二联)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋1(a∈R)，当x＝2时，f(x)取得极值－3．(2) 求f(x)在区间[－1,3]上的最值．
　　　　由(1)可知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，可得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：   因此，在区间[－1,3]上，f(x)的最小值为－3，最大值为1．
(1) 设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f(x)的斜率为2的切线方程；
(2) 若x＝1是f(x)的极小值点，求b的取值范围．
3．(2024·苏中苏北七市二调)若函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为(　　)
4．(2022·全国乙卷文)函数f(x)＝csx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为(　　)
二、多项选择题5．(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　 　)A．当a＞1时，f(x)有三个零点B．当a＜0时，x＝0是f(x)的极大值点C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心
　　　　由f(x)＝2x3－3ax2＋1，得f′(x)＝6x(x－a)．对于A，当a＞1时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，则f(x)的极大值为f(0)＝1＞0，f(x)的极小值为f(a)＝1－a3＜0，所以f(x)有三个零点，故A正确；对于B，当a＜0时，f(x)在(a,0)上单调递减，在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，所以x＝0是f(x)的极小值点，故B错误；对于C，任何三次函数不存在对称轴，故C错误；对于D，当a＝2时，f(x)＝2x3－6x2＋1＝2(x－1)3－6(x－1)－3，关于点(1，－3)中心对称，故D正确．
6．(2024·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　　)A．x＝3是f(x)的极小值点B．当0＜x＜1时，f(x)＜f(x2)C．当1＜x＜2时，－4＜f(2x－1)＜0D．当－1＜x＜0时，f(2－x)＞f(x)
　　　　对于A，f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，易知当x∈(1,3)时，f′(x)＜0，则函数f(x)在(1,3)上单调递减，当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，f′(x)＞0，则函数f(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，故x＝3是函数f(x)的极小值点，故A正确；对于B，当0＜x＜1时，0＜x2＜x＜1，又f(x)在(0,1)上单调递增，则f(x2)＜f(x)，故B错误；对于C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而函数f(x)在(1,3)上单调递减，所以f(3)＜f(2x－1)＜f(1)，即－4＜f(2x－1)＜0，故C正确；对于D，由于－1＜x＜0，则f(2－x)－f(x)＝(x－1)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)＝－2(x－1)3＞0，即f(2－x)＞f(x)，故D正确．
三、填空题7．(2024·武汉期初)若函数f(x)＝(2x＋1)lnx－ax是(0，＋∞)上的增函数，则实数a的最大值为_____________．
8．(2024·邢台二模)如图，四边形ABCD和EFGH是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿MN，NP，PQ，QM折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为__________．
四、解答题10．(2024·济南一模)已知函数f(x)＝e2x＋ex－ax．(1) 当a＝3时，求f(x)的单调区间；
　　　　当a＝3时，f(x)＝e2x＋ex－3x，定义域为R，又f′(x)＝2e2x＋ex－3，所以f′(x)＝(2ex＋3)(ex－1)，由f′(x)＞0，解得x＞0，此时f(x)单调递增；由f′(x)＜0，解得x＜0，此时f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．
10．(2024·济南一模)已知函数f(x)＝e2x＋ex－ax．(2) 讨论f(x)极值点的个数．
B组　滚动小练12．(2025·肇庆期初联考)(多选)已知f(3x＋1)为奇函数，且对任意x∈R，都有f(x＋2)＝f(4－x)，f(3)＝1，则(　 　)A．f(7)＝－1B．f(5)＝0C．f(11)＝－1D．f(23)＝0
　　　　由f(3x＋1)为奇函数，可得f(－3x＋1)＝－f(3x＋1)，即f(－x＋1)＝－f(x＋1)，则f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(x＋2)＋f(－x)＝0．又f(x＋2)＝f(4－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝3对称，结合f(x＋2)＋f(－x)＝0得f(4－x)＋f(－x)＝0，即f(4－x)＝－f(－x)，所以f(4＋x)＝－f(x)，所以f(8＋x)＝－f(4＋x)＝f(x)，则f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(7)＝－f(3)＝－1，f(5)＝－f(1)＝0，f(11)＝f(3)＝1，f(23)＝f(7)＝－1．
13．(2024·镇江期初)设函数f(x)＝2x＋(p－1)·2－x是定义域为R的偶函数．(1) 求p的值；
　　　　由函数f(x)＝2x＋(p－1)·2－x是定义域为R的偶函数，可得f(－x)＝f(x)，即2－x＋(p－1)·2x＝2x＋(p－1)·2－x，化为(2x－2－x)(p－2)＝0．由x∈R，可得p－2＝0，即p＝2，经检验符合题意．