2025高考数学一轮复习-第15讲-导数与函数的单调性【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第15讲-导数与函数的单调性【课件】，共51页。PPT课件主要包含了激活思维，答案BD，－∞0，定义域，聚焦知识，f′x＞0，f′x＜0，举题说法，求含参函数的单调区间，－∞2等内容，欢迎下载使用。

1．函数f(x)＝ex－x的单调递减区间为(　　)A．(1，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，1)
f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝ex－1＜0⇒x＜0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0).
2．(多选)已知函数y＝f′(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f(x)的判断正确的是(　　)A．在区间(0，a)上，f(x)为定值B．函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增C．函数y＝f(x)在区间(c，e)内单调递增D．函数y＝f(x)在区间(b，d)内单调递减
由图知，当0＜x＜a时，f′(x)＞0且为定值；当a＜x＜c时，f′(x)单调递减，且在x∈(a，b)上，f′(x)＞0，在x∈(b，c)上，f′(x)＜0；当c＜x＜e时，f′(x)单调递增，且在x∈(c，d)上，f′(x)＜0，在x∈(d，e)上，f′(x)＞0，所以当0＜x＜a时，
f(x)单调递增且为斜率大于0的直线，当a＜x＜b时，f(x)单调递增，当b＜x＜c时，f(x)单调递减，当c＜x＜d时，f(x)单调递减，当d＜x＜e时，f(x)单调递增，其大致图象如图．
3．函数f(x)＝x3－x2－x的单调递增区间为____________________.
4．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在R上为增函数，则实数a的取值范围为___________.
5．已知函数f(x)＝x2＋2cs x，那么不等式f(2x－1)＜f(3x)的解集是___________________.
易知f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，且f′(x)＝2x－2sin x．因为f′(0)＝0，f″(x)＝2－2cs x＝2(1－cs x)≥0恒成立，故f′(x)在R上单调递增，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
1．求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1) 确定f(x)的__________；(2) 求导数f′(x)；(3) 令f′(x)______0(或f′(x)______0)，解出相应的x的取值范围；(4) 当_____________时，f(x)在相应区间上是增函数，当_____________时，f(x)在相应区间上是减函数．
2．常用结论(1) f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．(2) f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件.(3) 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
确定不含参函数的单调性
令g(x)＝x－ex，x＞0，则g′(x)＝1－ex＜0，可得g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)＜g(0)＝－1＜0，所以当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞).
变式　(1) 已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1，讨论f(x)的单调性.
由函数的解析式可得f′(x)＝3x2－2x＋a，导函数的判别式Δ＝4－12a.
变式　(2) 已知函数f(x)＝xex－a(x2＋2x)，a＞0，讨论f(x)的单调性．
结合函数单调性确定参数
1．已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　)A．e2B．eC．e-1D．e-2
3．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是(　　)A．(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞) B．(－3，－1)∪(1，3)C．(－2，2)D．不存在这样的实数k
由题意得f′(x)＝3x2－12＝0在(k－1，k＋1)上至少有一个实数根，又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或x＝－2两侧异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在(k－1，k＋1)内，所以k－1＜2＜k＋1或k－1＜－2＜k＋1，所以1＜k＜3或－3＜k＜－1.
1．若函数f(x)＝2x2＋ax＋ln x在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，－4)B．(－∞，－4]C．(－4，＋∞)D．[－4，＋∞)
f′(x)＝x2＋2mx＋n，由f(x)的单调递减区间是(－3，1)，得f′(x)＜0的解集为(－3，1)，则－3，1是f′(x)＝0的解，所以－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2.
一、 单项选择题1．函数f(x)＝x2－4ln x＋2x－3的单调递减区间是(　　)A．(1，＋∞)B．(－2，1)C．(0，1)D．(－∞，－2)和(1，＋∞)
2．已知函数f(x)为偶函数，定义域为R，当x＞0时，f′(x)＜0，则不等式f(x2－x)－f(x)＞0的解集为(　　)A．(0，1)B．(0，2)C．(－1，1)D．(－2，2)
因为当x＞0时，f′(x)＜0，故偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故f(x2－x)－f(x)＞0可变形为f(|x2－x|)＞f(|x|)，所以|x2－x|＜|x|，显然x＝0不满足不等式，解得|x－1|＜1，故x∈(0，2).
3．若函数f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数b的取值范围是(　　)A．[－1，＋∞)B．(－∞，－1]C．(－∞，－2]D．[－2，＋∞)
由题意得f′(x)＝3－2sin x. 因为－1≤sin x≤1，所以f′(x)＞0恒成立，所以函数f(x)是增函数．
9．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k＞0)，若f(x)的单调递减区间是(0，4)，则实数k的值为______；若f(x)在(0，4)上为减函数，则实数k的取值范围是______．
四、 解答题10．设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1.(1) 求a，b的值；
10．设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1.(2) 设g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间．
因为a＞0，所以0＜e－a＜1，当x∈(0，e－a)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(e－a，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．综上所述，f(x)在(0，e－a)和(1，＋∞)上单调递增，在(e－a，1)上单调递减．
当a≤2，x＞0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
13．(多选)已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2＞0的解集是(x1，x2)，其中x1＜x2，则下列结论正确的(　　　)A．x1＋x2＋2＝0B．－3＜x1＜x2＜1C．|x1－x2|＞4D．x1x2＋3＜0
原不等式可化为f(x)＝a(x－1)(x＋3)＞－2的解集为(x1，x2)，而f(x)的零点分别为－3，1，且图象开口向下，又x1＜x2，如图，则由图可知x1＜－3＜1＜x2，|x1－x2|＞4，故B错误，C正确．
14．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋3.(1) 求f(x)的解析式；
因为f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋3，则当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝2－x＋3＝2|x|＋3.因此，对任意的x∈R，f(x)＝2|x|＋3.
14．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋3.(2) 解不等式f(2x)≥2f(x).
由(1)得f(x)＝2|x|＋3，所以不等式f(2x)≥2f(x)⇔2|2x|＋3≥2(2|x|＋3)，即2|2x|－2×2|x|－3≥0.令t＝2|x|，则t≥1，于是t2－2t－3≥0，解得t≥3，所以|x|≥lg23，得x≥lg23或x≤－lg23，从而不等式f(2x)≥2f(x)的解集为(－∞，－lg23]∪[lg23，＋∞).