导数与函数的单调性课件-2025届高三数学一轮复习

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第2课时　导数与函数的单调性
结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．函数的单调性与导数的关系
2．利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的______；第2步，求出导数f ′(x)的____；第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
[常用结论]1．若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f ′(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f ′(x)≤0恒成立．2．若函数f (x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)<0有解．3．f ′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f (x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，举例：f (x)＝x3在R上单调递增，但f ′(0)＝0.
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果函数f (x)在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f (x)在此区间内没有单调性．(　　)(2)若函数f (x)在[a，b]上连续，在(a，b)内f ′(x)≤0且f ′(x)＝0的根有有限个，则f (x)在(a，b)上单调递减．(　　)(3)若函数f (x)在定义域上都有f ′(x)>0，则f (x)在定义域上一定单调递增．(　　)(4)函数f (x)＝x－sin x在R上单调递增．(　　)
二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编) f ′(x)是f (x)的导函数，若f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象可能是(　　)A　　　 　B　　 　 　C　　　　DC　[由f ′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0，∴f (x)单调递增；当x∈(0，x1)时，f ′(x)<0，∴f (x)单调递减；当x∈(x1，＋∞)时，f ′(x)>0，∴f (x)单调递增．故选C.]
名师点评　利用导函数求函数单调区间的注意点(1)必须先求函数定义域，单调区间是定义域的子集．(2)正确求导函数．(3)当f ′(x)＝0无解时，可根据f ′(x)的结构特征确定f ′(x)的符号．(4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．
[拓展变式]　若将本例中参数a的取值范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f (x)的单调性．
【教师备选资源】讨论下列函数的单调性．(1)f (x)＝x－a ln x；(2)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2.
(2)g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2.①当a>ln 2时，x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，x∈(ln 2，a)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减．②当a＝ln 2时，g′(x)≥0恒成立，∴g(x)在R上单调递增．③当a0，x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减．综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减；当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增；当a名师点评　(1)对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个：分类讨论点1(根的有无讨论)：求导后，考虑f ′(x)＝0是否有实数根，从而引起分类讨论；分类讨论点2(根在不在定义域内讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，但不清楚f ′(x)＝0的实数根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；分类讨论点3(根的大小的讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，f ′(x)＝0的实数根也落在定义域内，但不清楚这些实数根的大小关系，从而引起分类讨论．(2)求出f ′(x)后，先观察f ′(x)的解析式的特征(当参数取某些特殊值或在某一范围内时，f ′(x)≥0(≤0)恒成立)，再解不等式．
【教师备选资源】已知函数f (x)＝(mx2－3x－3)ex，当m<0时，讨论函数f (x)的单调性．
考点三　函数单调性的应用考向1　比较大小或解不等式[典例3]　(1) 已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　)A．c0，且f (1)＝2，则f (ex)>2ex的解集为(　　)A．(0，＋∞) 　B．(ln 2，＋∞)C．(1，＋∞) 　D．(0，1)
名师点评　灵活构造函数，利用函数单调性比较大小或解抽象不等式．
(2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间，则g′(x)＞0在[1，2]上有解，即a＞－2x2－x在[1，2]上有解，∴a＞(－2x2－x)min，又(－2x2－x)min＝－10，∴a＞－10.∴实数a的取值范围为(－10，＋∞)．
[拓展变式]　(1)(变条件)若函数g(x)在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围；(2)(变条件)若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围．
名师点评　根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2) f (x)在区间(a，b)上单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f ′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．但有时等号取不到或f ′(x)＝0恒成立．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．