导数与函数的单调性课件-2025届高三数学一轮复习

这是一份导数与函数的单调性课件-2025届高三数学一轮复习，共48页。PPT课件主要包含了命题说明，必备知识·逐点夯实，单调递增，单调递减，常数函数，定义域，基础诊断·自测，1+∞，核心考点·分类突破，-3+∞等内容，欢迎下载使用。

【课标解读】【课程标准】1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).【核心素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算.
知识梳理·归纳1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步,确定函数的________;第2步,求出导数f'(x)的______;第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
常用结论 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解.
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0.(　 　)(2)若函数y=f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0,则y=f(x)在(a,b)上一定单调递增.(　 　)(3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.(　 　)(4)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.(　 　)
4.(单调性与充要条件的关系把握不准)若函数f(x)=sin x+kx在(0,π)上单调递增,则实数k的取值范围为____________. 【解析】因为f'(x)=cs x+k≥0,所以k≥-cs x,x∈(0,π)恒成立.当x∈(0,π)时,-1<-cs x<1,所以k≥1.
④由f(x)=(x-1)ex-x2,得f'(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2),令f'(x)=0,得x1=0,x2=ln 2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化如表:
由表可知,函数f(x)的单调递减区间为(0,ln 2),单调递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞).
解题技法单调区间的求法(1)求函数的单调区间注意先求定义域.(2)使f'(x)>0的区间为f(x)的单调递增区间,使f'(x)<0的区间为f(x)的单调递减区间.(3)函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.
考点二含有参数的函数的单调性[例2]已知函数g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x.若a>0,试讨论函数g(x)的单调性.
解题技法利用分类讨论思想解决含参数函数单调性问题利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点:(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间.(2)注意观察f'(x)的解析式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点.(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等.(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述.
角度2　解不等式[例4](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2,则不等式f(x)>2x3+2x的解集为(　　)A.{x|x>-2}B.{x|x>2}C.{x|x<2}D.{x|x<-2或x>2}
【解析】选B.令g(x)=f(x)-2x3-2x,则g'(x)=f' (x)-6x2-2>0,所以g(x)在R上单调递增.因为g(2)=f(2)-2×23-2×2=0,故原不等式等价于g(x)>g(2),所以x>2,所以不等式f(x)>2x3+2x的解集为{x|x>2}.
②g(x)在[1,2]上存在单调递增区间,则g'(x)>0在[1,2]上有解,即a>-2x2-x在[1,2]上有解,所以a>(-2x2-x)min,又(-2x2-x)min=-10,所以a>-10,所以实数a的取值范围是(-10,+∞).
(2)(2023·全国乙卷)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是______________. 
解题技法1.利用导数比较大小,其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性,利用其单调性比较大小.2.与函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数,再利用导数研究新函数的单调性,从而解不等式.
3.根据函数单调性求参数的方法:(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)内的任一非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
2.已知定义域为R的函数f(x)的导数为f'(x),且满足f'(x)<2x,f(2)=3,则不等式f(x)>x2-1的解集是(　　)A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,2)
【解析】选D.令g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x<0,即函数g(x)在R上单调递减.又不等式f(x)>x2-1可化为f(x)-x2>-1,而g(2)=f(2)-22=3-4=-1,所以该不等式可化为g(x)>g(2),故该不等式的解集为(-∞,2).