第36讲 数列的递推关系与通项-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第36讲：数列的递推关系与通项

一、课程标准

1、掌握常见的根据的递推关系式求数列的通项公式

2、掌握求常见数列的通项公式的方法

二、基础知识回顾

正确选用方法求数列的通项公式

(1)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．

(2)对于递推关系式可转化为＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列{an}的通项公式．

(3)对于递推关系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．

2．避免2种失误

(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．

(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．

三、自主热身、归纳总结

1、数列{an}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项可能是(　　)

A．an＝   B．an＝

C．an＝   D．an＝

2、在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　)

A.　　　　 B.　　　　

C.　　　　 D.

3、已知数列{an}中，a1＝1中，an＋1＝an＋n(n∈N*)中，则a4＝________，an＝________.

4、设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.

5、在数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．

四、例题选讲

考点一  有递推关系研究数列的通项

例1、在数列中，已知，且对于任意的，都有，则数列的通项公式为（   ）

A． B． C． D．

变式1、(2019南京学情调研）在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a10的值为________．

变式2、　(1)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求{an}的通项公式；

(2)在数列{an}中，已知a1＝3，(3n＋2)an＋1＝(3n－2)an(n∈N*)，an≠0，求an.

变式3、(一题两空)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则a2＝______，通项公式an＝________.

变式4、(多选)已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　　)

A．a3＝－1  B.a2 019＝

C．S6＝3  D．2S2 019＝2 019

变式5、已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式an.

方法总结：给出了两种不同形式的递推关系，经常采取其它方法：取倒数后，相邻两项的差是一个等比数列，迭加即可；变形为＝，再用累乘处理，累加、累乘是递推数列的基本而常用的方法，考查我们的观察、变形和转化的能力，需要牢固掌握．

考点二   由Sn与an的递推关系求通项公式

例2、(2018盐城三模）设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为      ．

变式1、(栟茶中学2019届质检)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________________.

变式2、已知正项数列的前n项和为Sn，且a1＝a，(an＋1)(an＋1＋1)＝6(Sn＋n)，n∈N*.求数列的通项公式．

变式3、已知各项均为正数的数列的首项a1＝1，Sn是数列的前n项和，且满足：anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝anan＋1(an≠0，n∈N*)．求的通项公式．

方法总结：an与Sn关系的应用

(1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”．

(2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．

(3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”。

考点三  构造等差、等比数列研究通项

例3、(2019常州期末）已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＋3an＋4＝0，n∈N*.求证：{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

变式1、(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，求数列{an}的通项公式；

(2)[2018·无锡期末调研]数列{an}满足a1＝，当n≥2时，an＝，求数列{an}的通项公式．

变式2、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求数列{an}的通项公式；

方法总结：构造等差、等比数列求通项，常见形式一：an＋1＝pan＋q(p，q为常数，p≠0，p≠1)，常利用待定系数构造，可化为an＋1＋x＝p(an＋x)，从而解出x＝.

常见形式二：an＋1＝pan＋qn(p，q为常数，p≠0，p≠1，q≠0)，可以通过两边同时除以qn＋1，得＝·＋，换元bn＝，即转化形式一．当然，

五、优化提升与真题演练

1、（2018年高考全国I卷理数）记为数列的前项和，若，则___________．

2、（2020年全国2卷）数列中，，，若，则（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3、(2019南京三模） 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，且an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)，则a2 015＝________.

4、（2019年高考全国II卷理数）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.

（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；

（2）求{an}和{bn}的通项公式.

5、(2019苏北四市摸底）已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2＋k(n∈N*，k∈R)，且a1＝2，a3＋a5＝－4.

(1)  若k＝0，求数列{an}的前n项和Sn；

(2)  若a4＝－1，求数列{an}的通项公式．