2026届高三数学一轮复习课件第30讲等差数列及其前n项和

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2．已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝120，则a37＋b37＝(　　)A．760B．820C．780D．860
　　　　因为数列{an}，{bn}均为等差数列，所以数列{an＋bn}为等差数列，设其公差为d．因为a1＋b1＝100，a2＋b2＝120，所以d＝120－100＝20，所以a37＋b37＝100＋20×36＝820．
3．(人A选必二P15练习T5改编)在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则这个等差数列的公差是_______．
4．(人A选必二P18练习T3)在等差数列{an}中，an＝m，am＝n，且n≠m，则am＋n＝_____．
5． (人A选必二P23练习T4)在等差数列{an}中，若S15＝5(a2＋a6＋ak)，则k＝______．
1．等差数列的有关公式(1) 通项公式：_____________________，其推导方法是累加法．(2) 前n项和公式：_____________________________，其推导方法是倒序相加法．
an＝a1＋(n－1)d
2．等差数列的常见性质(1) 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．①通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；②若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________；③ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为_______的等差数列；④若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列；⑤数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列；
ak＋al＝am＋an
　　　(2) (2024·济宁一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝2，S6＝9，则S10＝(　　)A．14B．16C．18D．20
(1) 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2) 确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d．
变式1　(1) (2024·临沂一模改)已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若a17＋a2 010＝1，则S2 026＝(　　)A．1 012B．1 013C．2 024D．2 026
(2) (2024·岳阳二模)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝15，a4＋a6＋a8＝33，则a9＝(　　)A．6B．12C．17D．24
　　　　设等差数列{an}的公差为d．由a1＋a3＋a5＝15，a4＋a6＋a8＝33，可得9d＝(a4＋a6＋a8)－(a1＋a3＋a5)＝33－15＝18，解得d＝2．又由a1＋a3＋a5＝15，可得3a3＝15，解得a3＝5，所以a9＝a3＋6d＝5＋6×2＝17．
(1) 求a1，a2，并证明：数列{an＋an＋1}是等差数列；
判断数列{an}是等差数列的常用方法：(1) 定义法；(2) 等差中项法；(3) 通项公式法(客观题中判断)；(4) 前n项和公式法(客观题中判断)．
视角1　项的性质　　　　　(1) (2024·赣州二模)在等差数列{an}中，a2，a5是方程x2－8x＋m＝0的两根，则{an}的前6项和为(　　)A．48B．24C．12D．8
　　　　　(2) 已知{an}是各项均为正数的等差数列，且a6＋2a7＋a10＝20，则a7a8的最大值为(　　)A．10B．20C．25D．50
变式3－1　(1) (2024·茂名二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5＝a4＋5，则S11的值是(　　)A．11B．50C．55D．60
(2) 已知等差数列{an}的公差d＜0，a3a5＝24，a2＋a6＝10，记该数列的前n项和为Sn，则Sn的最大值为______．
变式3－2　(1) (2024·咸阳二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝12，则S20＝(　　)A．30B．58C．60D．90
　　　　由数列{an}为等差数列，知S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16为等差数列．又S4＝2，S8＝12，则S8－S4＝10，故S12－S8＝18，S16－S12＝26，S20－S16＝34，即有S12＝18＋S8＝30，S16＝26＋S12＝56，S20＝34＋S16＝90．
1．(2024·聊城一模)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝49，S15＝45，则a6＝(　　)A．3B．5C．7D．10
2．(2024·石家庄三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S9＝6a5＋27，则S5＝(　　)A．25B．27C．30D．35
3．(2024·泉州三检)(多选)在等差数列{an}中，a2＝－7，a5＝－1，若Sn＝a1＋a2＋…＋an，Tn＝a1a2…an，则(　 　)A．Sn有最小值，Tn无最小值B．Sn有最小值，Tn无最大值C．Sn无最小值，Tn有最小值D．Sn无最大值，Tn有最大值
6．(2024·福州2月质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝35，则(　　　)A．nan的最小值为1B．nSn的最小值为1
三、填空题8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S28＝56，则a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＝______．
9．(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7,3a2＋a5＝5，则S10＝______．
10．(2024·襄阳模拟)蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……依此类推．当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为________．
【答案】 80π
四、解答题11．(2023·全国乙卷文)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40．(1) 求{an}的通项公式；
11．(2023·全国乙卷文)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40．(2) 求数列{|an|}的前n项和Tn．
(1) 若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
(2) 若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d．