2026届高三数学一轮复习课件第34讲基本立体图形及几何体的表面积与体积

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第34讲基本立体图形及几何体的表面积与体积，共88页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，°或135°，多面体的结构特征，平行四边形，三角形，旋转体的结构特征，等腰三角形，等腰梯形，πrl，πr1＋r2l等内容，欢迎下载使用。
1．(人A必二P106习题T8改)如图，若长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去体积较小的一部分，其中EH∥A′D′∥FG，则剩下的几何体是(　　)A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体
2．(人A必二P119练习T1改)已知圆锥的表面积为12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)A．1cmB．2cm
　　　　设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．
3．如图，一个水平放置的△ABO的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A′B′O′．若B′A′＝B′O′＝1，则原三角形ABO的面积为______．
4．(人A 必二P119练习T2)当一个球的半径为_____时，其体积和表面积的数值相等．
5．(人A必二P120习题T3改)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面高为______．
1．直观图的斜二测画法(1) 原图形中，x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为_________________，z′轴与x′轴、y′轴所在平面________．(2) 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的________．(3) 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系：
说明：多面体的表面积是各个面的面积的和．
4．重要结论：(1) 四棱柱、四面体的结构特征及关系
视角1　结构特征　　　　　下列命题中正确的是(　　)A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线B．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等D．棱台各侧棱的延长线交于一点
　　　　A不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥；C错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；由棱台的定义知，棱台各侧棱的延长线交于一点，D正确．
识别空间几何体的两种方法(1) 定义法：紧扣定义，由已知条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定．(2) 反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．
变式1－1　(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是(　 　)A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形C．长方体是直平行六面体D．存在每个面都是直角三角形的四面体
　　　　A中，当顶点在底面的投影是正多边形的中心时才是正棱锥，故A不正确．B中，当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，故B不正确．易知C正确．D中，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形，故D正确．
视角2　直观图　　　　　已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的面积为(　　)
在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
变式1－2　如图，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是平行四边形O′A′B′C′，且O′C′＝2O′A′＝2，∠A′O′C′＝45°，则平面图形OABC的周长为(　　)
　　　　根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如图，可知AB＝4，OA＝1，故平面图形OABC的周长为2(OA＋AB)＝10．
视角3　展开图　　　　　(1) 如图，在正三棱锥S－ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为(　　)
　　　　　(2) 某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长为(　　)
立体图形的展开是指将空间图形沿某一条棱展开为平面图形，研究其面积或者距离的最小值，把几何体中的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离问题．
变式1－3　如图所示，圆台母线AB长为 20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，则这条绳长的最小值为______cm．
　　　(1) (2024·天津卷)已知五面体ABC－DEF中，AD∥BE∥ CF，且两两之间距离为1．已知AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　)
　　　(2) 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D，E分别是CC1，BC的中点，AE＝DE，则此正三棱柱的侧棱长为_______；表面积为______________．
　　　(1) (2024·临汾三模)宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图(1)，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图(2)所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12cm，中间圆的直径是20cm，上底面圆的直径是8cm，高是14cm，且上、下两圆台的高之比是3∶4，则该汝窑双耳罐的体积是(　　)
变式3　(2024·九省联考)若轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是______，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是_____．
内容：幂势既同，则积不容异．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．
　　　有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的碗口直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．
图(1) 　　　　　　　图(2)
图(3) 　　　　　　　图(4)
【答案】5 54π
1．(2025·苏州期中)在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为(　　)
2．(多选)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝2，则关于该正四棱台，下列说法正确的是(　 　)
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，E为棱AB的中点．一个点从E出发在正方体的表面上依次经过棱BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA上的点，又回到E，则整个线路的最小长度为_______．
A组　夯基精练一、单项选择题1．已知正三角形的边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为(　　)
3．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为(　　)
5．(2024·新乡三模)已知球O的半径为5，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面α被球O所截的截面面积的最小值是(　　)A．9πB．12πC．16πD．20π
6．在我国古代数学名著《数书九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为(　　)A．2丈4尺B．2丈5尺C．2丈6尺D．2丈8尺
二、多项选择题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的点，则下列说法正确的是(　　　)A．存在四个点，使得这四个点构成平行四边形B．存在四个点可以构成正四面体C．不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形D．存在这样的四个点，使得构成的四面体有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形
　　　　对于A，如图(1)，四边形ABC1D1为平行四边形，故A正确；对于B，如图(2)，四面体A－B1CD1是正四面体，故B正确；对于C，如图(3)，在四面体A－B1BD中，BB1⊥BA，BB1⊥BD，AB⊥AD，AD⊥AB1，故每个面都是直角三角形，故C不正确；对于D，如图(4)，在四面体A－A1BD中，△AA1D，△AA1B，△ABD均是直角三角形，△DA1B为等边三角形，故D正确．
8．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有(　　　)   C．该圆台的侧面积为6πcm2D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
三、填空题9．(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
11．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，高为5，从点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线长度为______．
12．(2024·江门一模)某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有______个面；若被截正方体的棱长是60cm，那么该几何体的表面积是___________________cm2．
B组　教材经典回归13．请用切割法(大圆锥切去小圆锥)的方法推导圆台的体积和侧面积公式．
6．(2024·承德、衡水二模)生活中很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构为如图所示的五面体ADEBCF，其中四边形ABFE与CDEF都为等腰梯形，四边形ABCD为平行四边形．若AD⊥平面ABFE，且EF＝2AB＝2AE＝2BF，记三棱锥D－ABF的体积为V1，则该五面体的体积为(　　)A．8V1B． 5V1C． 4V1D． 3V1
二、多项选择题7．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图(1))．图(2)是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且∠ABC＝120°，则该圆台(　　)
8．已知圆锥SO的侧面积为3π，且母线长为底面半径的3倍，若线段MN为底面圆O的一条直径，P为线段SN的中点，Q为圆锥底面内一动点，且MQ＝1，则(　　)
11．(2024·北京卷)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm，325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为______mm，升量器的高为______mm．
　　　　当x＞0时，ex∈(1，＋∞)．当x≤0时，f(x)＝x3－3x＋a，则f′(x)＝3(x－1) (x＋1)．当x＜－1时，f′(x)＞0，当－1＜x＜0时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减，所以当x≤0时，f(x)的最大值为f(－1)＝a＋2，且注意到x趋于负无穷时，f(x)也会趋于负无穷，此时f(x)∈(－∞，a＋2]．因为函数f(x)的值域为R，所以a＋2≥1，解得a≥－1．