2026届高三数学一轮复习课件第31讲等比数列及其前n项和

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第31讲等比数列及其前n项和，共51页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，a1·qn－1，na1，研题型·能力养成，等比数列的基本量运算，答案C，等比数列的判定与证明，配套精练，答案AB等内容，欢迎下载使用。
1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　)A．14B．12C．6D．3
2．(2021·全国甲卷)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
　　　　若a1＝－1，q＝1，则Sn＝na1＝－n，{Sn}是递减数列，不满足充分性；若{Sn}是递增数列，则q≠0，且Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0恒成立，则a1＞0，q＞0，满足必要性．故甲是乙的必要条件但不是充分条件．
3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，则λ＝(　　)A．－2B．－1C．1D．2
　　　　因为等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，所以a1＝S1＝2λ＋(λ－3)×2＝4λ－6，a2＝S2－S1＝2λ＋(λ－3)·22－(4λ－6)＝2λ－6，a3＝S3－S2＝2λ＋(λ－3)·23－[2λ＋(λ－3)·22]＝4λ－12．因为a＝a1a3，所以(2λ－6)2＝(4λ－6)(4λ－12)，解得λ＝1或λ＝3．若λ＝3，则Sn＝2λ是常数，不成立，故舍去，所以λ＝1，经检验符合题意．
4．(人A选必二P31练习T3改)在递增等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60，则a1＝_____，q＝_____．
1．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项公式为an＝____________，其推导方法是累乘法．2．等比数列的前n项和公式设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝______；当q≠1时，Sn＝____________________，其推导方法是错位相减法．
(5) 若an＞0，则{lgaan}(a＞0且a≠1)是以lgaa1为首项，lgaq为公差的等差数列．(6) ∀m，p∈N*，Sm＋p＝Sm＋qmSp．  (8) 等比数列的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．
4．常用结论(1) 等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，其中c≠0，q≠0．(2) 等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A，其中A≠0，q≠1,0．
　　　(2) (2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　)C．15D．40
方法二：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0．由题知q＞0，所以q＝2．所以S4＝1＋2＋4＋8＝15．
等比数列基本量运算的解题策略(1) 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2) 解方程组时常常利用“作商”消元法．(3) 运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．
变式1　(1) (2024·南京、盐城一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋5a1，a5＝4，则a1＝(　　)
　　　(2024·潍坊模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1＝3，b1＝2，an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn．(1) 证明：{an＋bn}和{an－bn}都是等比数列；
　　　　因为an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn，所以an＋1＋bn＋1＝3(an＋bn)，an＋1－bn＋1＝－(an－bn)，由a1＝3，b1＝2得a1－b1＝1，a1＋b1＝5，所以数列{an＋bn}是首项为5，公比为3的等比数列，数列{an－bn}是首项为1，公比为－1的等比数列．
　　　(2024·潍坊模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1＝3，b1＝2，an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn．(2) 求{anbn}的前n项和Sn．
变式2　设数列{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，数列{cn}满足cn＝an＋bn，n∈N*．(1) 若an＝2n，bn＝3n，是否存在常数k，使得数列{cn＋1－kcn}为等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
变式2　设数列{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，数列{cn}满足cn＝an＋bn，n∈N*．(2) 求证：{cn}不是等比数列．
等比数列的性质及其应用
视角1　项的性质　　　　　(1) (2024·江门一模)已知{an}是等比数列，a3a5＝8a4，且a2，a6是方程x2－34x＋m＝0的两根，则m＝(　　)A．8B．－8C．64D．－64
　　　　　(2) 已知等比数列{an}中，a15＝15，则9a9＋a21的最小值为______．
变式3－1　(2024·保定二模)在等比数列{an}中，a1a3a5＝a2a6，a4a13＝－27，则a6＝_______．
　　　　设等比数列{an}的公比为q，则有a3a5＝a2a6，又a1a3a5＝a2a6，所以a1＝1．由a4a13＝－27，得q3·q12＝q15＝－27，所以a6＝q5＝－3．
视角2　和的性质　　　　　(1) (2024·武汉4月调研)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝8，S12＝26，则S4＝(　　)A．1B．2C．3D．4
　　　　　(2) 设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝______．
1．(2024·临汾二模)已知等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4，则a3＝(　　)A．2B．－2
3．(2024·无锡期初)设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S7＝9S4－8，则S5＝(　　)
A组　夯基精练一、单项选择题1．(2024·蚌埠四检)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a5＝9，则lg3a4＋lg3a6＝(　　)A．2B．3C．4D．9
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S9＝73S3，则a4＝(　　)A．－8或9B．8或－9C．8或9D．－8或－9
4．(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　)A．120B．85C．－85D．－120
二、多项选择题5．(2024·湖北宜荆荆随恩5月联考)无穷等比数列{an}的首项为a1，公比为q，下列条件能使{an}既有最大值，又有最小值的有(　 　)A．a1＞0,0＜q＜1B．a1＞0，－1＜q＜0C．a1＜0，q＝－1D．a1＜0，q＜－1
　　　　当a1＞0,0＜q＜1时，等比数列{an}为递减数列，故{an}只有最大值a1，没有最小值；当a1＞0，－1＜q＜0时，等比数列{an}为摆动数列，此时a1为最大值，a2为最小值；当a1＜0，q＝－1时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，所以等比数列{an}既有最大值，也有最小值；当a1＜0，q＜－1时，因为|q|＞1，所以{an}无最值，奇数项为负无最小值，偶数项为正无最大值．
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n＋1＋a(a为常数)，则(　 　)A．a＝－1B．{an}的公比为2C．an＝2nD．S9＝1 023
7．(2024·绵阳期中)设等比数列{an}的公比为q(q＜0)，若a4，a3，a5成等差数列，则下列说法正确的是(　 　)A．q＝－2B．若a1＝1，则a2a8＝256
9．(2023·北京卷)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝______；数列{an}所有项的和为_______．
【答案】 48 384
10．(2024·邵阳一模)已知数列{an}的首项为1，anan＋1＝3n(n∈N*)，则a8＝______．
(1) 求证：{an}为等比数列；
12．(2024·无锡期末)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝4an＋1－3an＋6n－3．(1) 证明：数列{an＋1－an＋3n}为等比数列；
12．(2024·无锡期末)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝4an＋1－3an＋6n－3．(2) 求数列{an}的通项公式．