山西省晋中市部分学校2025-2026学年高三上学期10月学情检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份山西省晋中市部分学校2025-2026学年高三上学期10月学情检测数学试卷（Word版附解析），文件包含山西省晋中市部分学校2025-2026学年高三上学期10月学情检测数学试题Word版含解析docx、山西省晋中市部分学校2025-2026学年高三上学期10月学情检测数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2 B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上．
4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据数轴进行集合的交集运算可得.
【详解】因为集合，，如图：

所以．
故选：A．
2. 已知为实数，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式的解集，再根据充分条件和必要条件的定义，判断与之间的推导关系.
【详解】当时，，，充分性成立；
当时，，解得或，此时不一定有，必要性不成立，
故选：.
3. 已知函数，若函数在处取得最小值，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可知，结合解方程即可.
【详解】因为函数在处取得最小值
，
又，所以.
故选：D．
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两角差的正弦公式，结合辅助角公式求出，可得，再根据二倍角的正切公式求解即可.
【详解】，
，，
，其中，，，，
，，
，
，
，．
故选：A．
5. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得,结合基本不等式即可求出的最小值.
【详解】已知，且，则,
所以，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故选：D
6. 某乡镇计划对一荒山区域进行植树绿化，已知该区域到2025年年底植树绿化面积为10万亩，以此值为初始值，该区域经过年，到年底植树绿化面积万亩，且满足关系式，其中为年增长率.若2025年以后每年的增长率均为，则到2030年年底植树绿化面积为（ ）
A. 20万亩B. 18万亩C. 15万亩D. 13万亩
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数关系式待定系数法计算即可.
【详解】由题意，可知到2030年年底，则，此时，
所以，即万亩.
故选：C
7. 已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由必要条件定义可得，由此可得在恒成立，结合二次函数性质列不等式可得的关系，结合不等式性质求结论.
【详解】因为是的必要条件，所以，
所以成立.
令，得在恒成立，
所以，所以，
，又，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故选：D.
8. 若，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过对已知等式进行变形，构造，利用函数单调性来比较变量之间的大小关系，结合特殊值法，逐个判断.
【详解】已知，将等式进行移项可得.
根据对数运算法则，进一步变形为.
因为，则，
所以，
令，对求导可得，所以在上单调递增.
因为，，，
所以，
根据的单调性可知，即，
再根据对数函数的性质，所以，C错，D对；
若，此时，且，
而，
所以，则，此时，排除A，
若，此时，且，
若时，，必有，排除B；
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】借助函数的单调性判断A；借助函数的单调性判断B；借助函数的单调性判断C；利用作差法判断D.
【详解】对于A，因为函数在上单调递增，且，
所以，故A错误；
对于B，因为，所以，
又因为函数在上单调递减，
所以，故B正确；
对于C，因为函数在上单调递减，且，
所以，故C正确；
对于D，因为且，
所以，故，
所以，故D错误.
故选：BC
10. 已知将函数的图象向左平移得函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为
B.
C. 的对称轴为
D. 若函数，则在上有6个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数周期性计算可得A；结合平移性质计算可得，即可得B；利用正弦型函数对称轴计算可得C；计算出后，将的图象画出即可得D.
【详解】；
对A：依题意，，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：由，令，，
解得，，故的对称轴为，故C正确；
对D：
，
令，则，
在直角坐标系中分别作出的图象如图所示，
观察可知，它们在上有6个交点，
即在上有6个零点，故D正确.

故选：ACD.
11. 已知函数与的定义域均为，若为奇函数，且在上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最小值为0
C. D. 若，则a的取值范围为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由为奇函数结合赋值法可判断选项正误；对于B，由结合可得为偶函数，然后由在上单调递增结合对称性可判断选项正误；对于C，由结合赋值法，可得，，然后由B分析可判断选项正误；对于D，分类讨论与和的大小情况，结合单调性与对称性可判断选项正误.
【详解】对于A，因为奇函数，则，
令，得，故A正确；
对于B，，因为奇函数，
则为偶函数，即图象关于对称，又在上单调递增，
则在上单调递减，则，由（1），，
结合，令，可得，即的最小值为0，故B正确；
对于C，，令，得.
令，得.由B分析，，又在上单调递增，
则，故C正确；
对于D，若 ，因在上单调递减，，
则，不合题意；
若，由B分析，
，又，结合在上单调递增，
则；
若，则，结合在上单调递增，则恒成立.
综上可得，若，则，故D错误
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，，，则的最小值为________．
【答案】32
【解析】
【分析】根据基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为，，，
所以，
由基本不等式可得，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为32．
故答案为：32
13. 若函数为奇函数，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】解：函数的定义域为
因为为奇函数，
所以对任意的恒成立，
所以
故答案为：
14. 定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”已知函数，若函数存在“完美区间”，则实数b的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】先求函数的定义域，再证明在上单调递增．
根据新定义，题意可知方程在上至少存在两个不同的实数解，
即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．再利用基本不等式求出函数的值域即可.
【详解】由，解得，所以函数的定义域是．
因为，
又在上为增函数，所以在上为减函数，
所以在上为增函数，在上为增函数，
故在上单调递增．
可知在上单调递增，
设区间是函数的“完美区间”．则，．
可知方程在上至少存在两个不同实数解，
即在上至少存在两个不同的实数解，
所以与在上至少存在两个不同的交点．
令，则，
所以，
当且仅当时，取等号．
又在上单调递减，在上单调递增，
且当时，；当时，．
所以时满足题意．故实数b的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知角θ为第二象限的角，且.
（1）求三角函数，的值；
（2）求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求和的值；
（2）利用诱导公式化简，由齐次式代入已知条件求值.
【小问1详解】
角θ为第二象限的角，则有，，
又，可得，解得，.
【小问2详解】
.
16. 已知命题：函数在区间上没有零点；命题，使得成立.
（1）若和均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出当命题p为真时，根据对数函数的单调性列不等式解得或；再求出当命题q为真，利用有解问题结合二次函数的最值解得.即可求得命题p，q均为真命题时的取值范围；
（2）根据命题p，q一真一假分类列不等式组求解范围，最后求并集即可.
【小问1详解】
若为真命题，函数在区间上单调递增，
因为在区间上没有零点，
所以或者，得或，
若为真命题，令，其开口向上，对称轴为，
所以，
因为，使得成立，所以，
所以，
若和均为真命题，则，解得或，
即实数的取值范围为；
【小问2详解】
若p真，q假，则，解得；
若p假，q真，则，解得；
综上，实数a的取值范围是.
17. 已知，，完成下列各题：
（1）讨论与的大小关系；
（2）若，求的最小值；
（3）若，且恒成立，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，分，和，三种情况讨论，即可求解；
（2）根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解；
（3）将原式变形为，两次运用基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：由，
因为，可得，
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以．
【小问2详解】
解：因为，所以，
则，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．
【小问3详解】
解：由
，
当且仅当，且，即时等号成立，
故实数λ取值范围为.
18. 已知向量，，函数.
（1）求函数的解析式和图象的对称中心；
（2）若函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且关于x的方程在上有3个不同的解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由数量积的坐标运算结合三角恒等变换公式直接运算化简即可求解.
（2）先由平移变换知识求出函数的解析式，再利用三角恒等变换公式将方程在上有3个不同的解转化成一个解为和在上有2个不同的解即可求解.
【小问1详解】
由题，
令，
所以函数图象的对称中心为.
【小问2详解】
由题得，
因为方程在上有3个不同的解，
所以由二倍角公式得在上有3个不同的解，
因为时，，故是方程的一个解，
所以在上有2个不同的解，
此时，所以即在上有2个不同的解，
图像如下：
所以由三角函数图像可知，即.
故方程在上有3个不同的解，则实数的取值范围为.
19. 函数和具有如下性质：①定义域均为；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数）.
（1）求函数和的解析式；
（2）对任意实数x，是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由；
（3）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1），
（2）是，定值1 （3）.
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求解即可；
（2）根据（1）中解析式代入求解即可；
（3）将不等式转化为对恒成立，再令，结合函数的单调性求解的最小值即可.
【小问1详解】
由性质③知，则.，
由性质②知，，故.
则，解得，；
【小问2详解】
由（1）可得
；
【小问3详解】
因为，所以，
而，，
令，易知在上单调递增，所以，
记，则，
因为当时，且，
故由对勾函数性质可得在上单调递减，
所以，因此，故的取值范围是.