山西省太原市部分学校2025-2026学年高三上学期10月质量检测数学试卷（Word版附解析）（B卷）

这是一份山西省太原市部分学校2025-2026学年高三上学期10月质量检测数学试卷（Word版附解析）（B卷），文件包含山西省太原市部分学校2025-2026学年高三上学期10月质量检测数学试题B卷Word版含解析docx、山西省太原市部分学校2025-2026学年高三上学期10月质量检测数学试题B卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数与解三角形，向量，复数．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出集合，，由交集的定义求解即可.
【详解】由题可得：集合，则
故选：D
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先由得到的关系，再根据充分条件，必要条件的定义判断即可.
【详解】若，则有或，
即由“”推不出“”，
所以“”不是“”的充分条件；
若，则必然有，
即由“”能推出“”，
所以“”是“”的必要条件.
综上可知，“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
3. 若复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数除法运算可化简得到，由虚部定义可得结果.
【详解】，的虚部为.
故选：A.
4. 已知平面向量，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示求得，再结合坐标运算及模长公式即可求解.
【详解】因为，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：D
5. 已知，且.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性列式求解即可.
【详解】由是减函数，得，
又时，在上单调递减，
所以要函数在上单调递减，
则有且，所以.
故选：.
6. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意得到，再求即可.
【详解】由题知：.
.
故选：A
7. 在平行四边形中，是的中点，点在线段上．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，结合向量的线性运算将用和表示出来即可求解.
【详解】设，所以，
则，，故;
故选：B
8. 若时，，则实数的最大值为（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】原不等式可化为，令，对的符号进行分类讨论，当时，令，问题转化为，利用导数求出，当，根据单调性和极限可求出的范围.
【详解】由题意，原不等式可化，
令，显然函数在上单调递增且连续，
且当时，，当时，，所以的值域为R，
当，原不等式显然成立；
当时，原不等式可化为，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以；
当时，原不等式可化为，
，所以函数在上单调递减，
又当时，，故.
综合时可知，故的最大值为.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中是真命题的是（ ）
A ，B. ，
C ，使D. ，
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，配方法即可判断；对于B，取即可判断；对于C，取即可判断；对于D，取即可判断.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，当时，，B正确；
对于C，当，满足，C正确；
对于D，当时，，D错误.
故选：ABC
10. 已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（ ）
A.
B. 的共轭复数是
C. 是纯虚数
D. 复数在复平面内的对应点位于第四象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据复数的几何意义和向量的坐标表示求出点坐标，可判断A；根据共轭复数的定义可判断B；根据复数运算和纯虚数的定义可判断C；根据复数乘法运算和复数的几何意义可判断D.
【详解】对A，由复数可得点，
设，则，即，
解得，所以，正确；
对B，的共轭复数为，错误；
对C，，是纯虚数，正确；
对D，复数，对应点为，在第四象限，正确.
故选：ACD
11. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A：利用指数函数的单调性可得答案；对于B：换元令，转化成关于的不等式判断即可；对于C：举反例即可；对于D：利用对数函数的单调性可得答案.
【详解】对于选项 A： 由于 ，指数函数 是减函数，
给定 ，有 ，故选项 A 错误；
对于选项 B： 令 ，则不等式可化为 .
因为 且 （即 )，，
所以 恒成立，故选项 B 正确；
对于选项 C：当 时，
，，故选项 C 错误；
对于选项 D： 等价于
由，可得，
又因为，对数函数 是减函数，
所以，故选项D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数的图象关于轴对称，则实数__________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据偶函数的性质求解即可.
【详解】因为为偶函数，.
所以，即恒成立，解得.
故答案为：0
13. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据向量数量积定义和运算律，结合可求得，由此可得结果.
【详解】，，
又，.
故答案为：.
14. 在平面四边形中，，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】在三角形中，由余弦定理求得，再通过三角形中，由正弦定理即可求解.
【详解】
因为，可得：，
又，所以，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
所以，
又，
，
在三角形中，由正弦定理可得：
即
所以，
展开可得：
即
即，
即，，
所以，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求；
（2）设函数，求的单调区间．
【答案】（1）
（2）单调递增区间：，单调递减区间为：.
【解析】
【分析】（1）由题可知，根据可求得；
（2）由（1）可知的解析式，化成的形式，根据复合函数单调区间的求法，可求得的单调区间.
【小问1详解】
因为函数，且，所以，
又，所以.
【小问2详解】
由（1）知：，所以，
所以.
令，显然是增函数.
因为当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减.
所以当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以函数的单调递增区间为：，
单调递减减区间为：.
16. 设函数在区间上的最大值为，最小值为．
（1）求与的值；
（2）若，且函数在区间上是单调函数，求的取值范围．
【答案】（1），或，
（2）或.
【解析】
【分析】（1）结合二次函数性质分、与讨论即可得；
（2）借助二次函数对称轴公式及其单调性计算即可得.
【小问1详解】
，
若，则，不符；
若，则在上单调递减，在上单调递增，
则，，
解得，；
若，则在上单调递增，在上单调递减，
则，，
解得，；
综上所述，，或，；
小问2详解】
由，则，，即，
则在区间上是单调函数，
则或，
若，则；
若，则；
综上所述：或.
17. 已知中，内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）设的面积为边上的高为，求．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理角化边化简已知等式，可得，再结合余弦定理，即可求得答案；
（2）根据三角形面积可求出，再利用余弦定理，即可求得答案.
【小问1详解】
由，可得，
即，则,
由于，故；
【小问2详解】
由于的面积为边上的高为，
故；
又，故，
则
，
故.
18. 已知函数．
（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；
（2）若在上单调递增，求的取值范围；
（3）若在区间上恒成立，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）。
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义列方程求解可得；
（2）将问题转化为恒成立问题，然后参变分离即可求解；
（3）分和讨论，结合即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
因为函数的图象在处的切线方程为，
所以，解得.
【小问2详解】
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在区间上恒成立，
又时，，所以的取值范围为.
【小问3详解】
由（2）知，当时，在上单调递增，
所以，满足题意；
当时，令，解得，
所以在上单调递减，所以，不满足题意.
综上，，即的最小值为.
19. 已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）求的最值；
（2）若函数在区间上有2个零点，求实数的取值范围；
（3）若，讨论函数的单调性．
【答案】（1）最小值为2，无最大值；
（2）；
（3）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数工具研究得到函数的单调性即可求解；
（2）利用导数工具研究求出函数的单调性和最值以及端点值和即可得解.
（3）先求出，再求导数，再分别讨论和，的正负，从而得到的单调性.
【小问1详解】
，，
设，，
，，，
即为上的增函数，又，
当时，，即，
在上为单调递减函数；
当时，，即，
在上为单调递增函数，
在处取得最小值，且当时，
的最小值为，无最大值.
【小问2详解】
，，
由（1）知当时，，在上为单调递减函数；
当时，，在上为单调递增函数，
在处取得最小值为.
在上有2个解，
又，，
的取值范围是.
【小问3详解】
，
，
由（1）知在上单调递增，且.
所以当时，，
则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；
当时，令，解得.
若时，则
当时，，故函数在上单调递减.
若时，，
当时，，
故函数在和上单调递减；
当时，，函数单调递增.
若时，，当时，，
故函数在和上单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上，当时，函数在上单调递减；在上单调递增；
时，函数在上单调递减；
时，函数在和上单调递减，在上单调递增；
时，函数在和上单调递减，在上单调递增.