黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式求特殊角的正弦值.
【详解】.
故选：D
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合的运算性质求解．
【详解】表示函数的定义域，，
则，
故选：C
3. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式直接求解.
【详解】，
由基本不等式有，当且仅当即时，等号成立，
所以函数的最大值为.
故选：B.
4. 曲线在处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求解.
【详解】，求导得：，
所以曲线在处的切线的斜率，
故选：A.
5. 已知是的内角，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】在中，，
先证充分性：在中，取，此时，即“”推不出“”，充分性不成立；
再证必要性：在中，，即“”推出“”，必要性成立；
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 已知，则（ ）
A. B. 2C. D. 2或
【答案】B
【解析】
【分析】由两角差正切公式可得，再由同角三角函数基本关系及二倍角公式化简求解.
【详解】由，得，解得，
而.
故选：B.
7. 在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦定理可得，再由三角形有两解，可得，可得角的取值范围.
【详解】由正弦定理可得,
,可得,
由△ABC有两解知，有两个解，
故，即
，
或，
又， ∴ A为锐角，所以，
故选: .
8. 若函数在区间上有极值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，当在区间上有变号零点时满足题意，进而分离参数得，令，利用导数求出的值域，从而可得结果.
【详解】因为函数在区间上有极值点，
所以在区间上有变号零点，
因为，所以分离得：.
令，，
由，得或（舍去），
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
于是，
又，
所以，即.
故选： D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了得到函数的图象，只需将图象上的所有点（ ）
A. 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位
B. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位
C. 向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的倍
D. 向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的
【答案】BD
【解析】
【分析】由函数的图象按各选项给定的变换求出解析式即可得解.
【详解】对于A，，A不是；
对于B，，B是；
对于C，，C不是；
对于D，，D是.
故选：BD
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 与函数的单调区间一定相同
B. 若有两个零点，则的取值范围为
C. 的图象关于直线对称
D. 存在实数使的定义域和值域都为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用两个函数定义域特征判断A；利用零点定义求出范围判断B；利用轴对称特征判断C；利用对数型复合函数的定义域、值域都为R分别求出范围判断D.
【详解】对于A，由，得不等式的解集为的定义域，
而定义域为R，因此两者的单调区间不一定相同，A错误；
对于B，由，得，
有两个零点，当且仅当方程有两个不等的实数根，
因此，解得，B正确；
对于C，，由，得的图象关于直线对称，C正确；
对于D，的定义域为，当且仅当；
的值域为，当且仅当，
因此不存在实数使的定义域和值域都为，D错误.
故选：BC
11. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用为减函数，在上为增函数即可比较幂的大小判断A，对于B，利用在上为增函数，可得，化简即可判断B；对于C，构造函数，判断其单调性，得出时，排除C项，或者通过举反例说明排除C项；对于D，利用C项分析时所构造函数的极值推得，即，同理得即可判断D.
【详解】对于A，因，为减函数，在上为增函数，故，故A正确；
对于B，因，则在上为增函数，又故，
因，则，故得，即B正确；
对于C，法一：设，由可得，
当时，，当时，，故在上递减，在
上递增，所以当时， ，即，可得，故C错误；
法二：举反例：取，则，故C错误；
对于D，由C，当时，可得，
因，则，可得，同理可得，故，即D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数满足，则_________
【答案】2
【解析】
【分析】令，代入计算即可．
【详解】令，所以．
故答案为：2
13. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离表示成的函数，则______ 其中.
【答案】,
【解析】
【分析】可以求出，从而由余弦定理可以得到，由余弦的二倍角公式即可化简得.
【详解】如图，
；
在中，
由余弦定理得，由，知，
故答案为：．
14. 已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______．
【答案】
【解析】
【分析】将不等式化简后，构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解
【详解】，∴，
构造函数，显然在上单调递增，
故等价于，即任意的实数恒成立，．
令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，，得．
故答案为：
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数部分图象如图所示

（1）求的解析式；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由图像最值得到的值，由相邻最大值与最小值点得到函数周期，从而得到，将已知点坐标代入解析式，求得，即得到函数解析式；
（2）代入（1）中函数解析式得到等式，结合取值范围得到的取值范围，由同角三角函数求得，然后利用和差角公式求得的值.
【小问1详解】
由最值可确定，
周期
又，
所以
【小问2详解】
，
∵，∴ ，又
∴
∴
16. 已知不等式的解集为，集合，，
（1）求集合；
（2）解关于的不等式
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过解分式不等式可得结果；
（2）由题意求出集合B，结合不等式解集可得，从而代入解一元二次不等式即可.
【小问1详解】
由，得，
则或，
解得或
所以.
【小问2详解】
因为，，所以 ，
又因为，所以，
所以不等式的解集为，
从而是方程的两根，且，
由，得，
又，所以，即，
解得.
所以不等式的解集为.
17. 已知函数，
（1）求的值域.
（2）对任意的，都存在使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由绝对值不等式的性质求解；
（2）依题意得，，再求出函数的最小值进行求解．
【小问1详解】
∵ ，
当时，取最小值，
当时，，∴的值域为.
【小问2详解】
由题意知，由（1）得，
，，
设，则化为，
当时，，∴，
当时，，∴，
所以的取值范围为.
18. 在中，内角所对边分别为，
（1）若，求的值.
（2）若的角平分线交于点.
（ⅰ）若，求的最大值；
（ⅱ）若，，求的面积.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理代入数据即可求解；
（2）（ⅰ），得到，再结合基本不等式即可求解；（ⅱ）由三角形角平分线定理得到，再由正弦定理得到，代入求得，即可求解.
【小问1详解】
由余弦定理得：
所以的值；
【小问2详解】

（ⅰ）∵
∴ ，而，
当时，取“=”
∴ ，即AD的最大值为
（ⅱ）由三角形角平分线定理有，
∴ ，设
在中，由正弦定理有
∴
化简得：，解得：或（舍去）
∴ ，∴，
所以
19. 设函数
（1）求的单调性.
（2）求证：当时，.
（3）若函数在上有零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）在和上单调递增；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用导函数求函数单调性即可；
（2）构造新函数，利用导函数证明其单调性，从而证得不等式成立；
（3）构造新函数，将原问题转化为函数在内有零点，分类讨论：当时，通过放缩法证得函数，没有零点，不合题意；当时，通过多次求导证明函数单调性，结合零点存在性定理求得在上有唯一零点，从而可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意，的定义域为，且，
设，则，
当时，，在上递增，则，即，所以在上递增；
当时，，在上递减，则，即，所以在上递增.
所以，在和上单调递增.
【小问2详解】
当时，.
令，则，
设，则，
时，，即在上为增函数，
所以，故在上为增函数，
所以，即成立，
故原不等式得证.
【小问3详解】
令，
“函数在上有零点”等价于“函数在上有零点”，
设，则，
所以在上为增函数，因而，即.
故由，可得，
当时， ，
由（2）知，时，，
此时，函数在上没有零点，不合题意，故舍去.
当时，，求导得：，
设，则，
当时，恒成立，所以单调递增；
当时，设，则，
因为，，所以，单调递增，
又，，因此在上存在唯一的零点，
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增，
又，，，
因此在上存在唯一零点，且，
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
又，，，
所以在上没有零点，在上存在唯一零点，因此在上有唯一零点.
所以，当时，函数在上有零点.
综上，的取值范围是.