黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第四章第2节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据集合交集运算求解即可.
【详解】因为，所以．
故选：.
2. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据求，再求得即可得答案.
【详解】解：因为，
由，得，即，由，得，
所以．
故选：A．
3. 已知函数则（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数求值计算即可.
【详解】．
故选：C.
4. 已知函数，若，则（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】先求得，再由求得.
【详解】由，可得，
则，所以，
又，所以．
故选：B
5. 已知函数，则“”是“的图象不经过第二象限”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的图象不经过第二象限得，再根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】由于函数的图象不经过第二象限，
所以，，
反之，在且时，或，
所以“”是“的图象不经过第二象限”的必要不充分条件．
故选：B．
6. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数、幂函数的单调性求得正确答案.
【详解】，
又，由指数函数在上单调递减，
幂函数在上单调递增，
可得，
所以．故选D．
7. 已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义可得，再根据偶函数的定义可得，所以，，由函数在区间上的单调性列式求解即可.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或．
当时，为偶函数，符合题意；
当时，为非奇非偶函数，不符合题意，
所以．
若函数在上单调递增，
则，解得
若函数在上单调递减，
则，解得．
综上，实数的取值范围为．
故选：．
8. 已知函数的定义域为，且的图象关于点对称，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称性化简不等式，结合函数的单调性以及定义域求得不等式的解集.
【详解】因为的图象关于点对称，所以，
又，所以，
所以，即．
当时，在上单调递增，且，
由图象的对称性可知在上单调递增，
所以，解得，
所以原不等式的解集为．
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数且的图象过定点
B. 函数与是同一个函数
C. 函数的单调递增区间是
D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据指数函数的定点可判断A；根据函数三要素及同一函数的条件可判断；根据指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数的单调性可判断C；根据复合函数的定义域可判断.
【详解】对于A：令，可得，，
所以函数且的图象过定点，故A正确；
对于：，解得，所以的定义域为，
，解得或，所以的定义域为，
与不是同一个函数，故错误；
对于C：函数在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
由复合函数的单调性可知的单调递增区间是，故C正确；
对于：因为函数的定义域为，
所以，所以的定义域为，故错误．
故选：AC.
10. 已知为正实数，且，则（ ）
A. 的最大值为3
B. 的最小值为6
C. 的最小值为
D. 的最小值为28
【答案】ABC
【解析】
【分析】选项A利用基本不等式得出关于的二次不等式解出即可，B选项结合A选项的结论即可得出，C选项由已知条件变形得出利用基本不等式求出即可，直接利用基本不等式即可得出D选项.
【详解】因为为正实数，由基本不等式得：
，
，
令，且，
则，
解得：，
又，所以，
即
即，当且仅当，
即时取等号，
所以的最大值为3，故A正确；
由，，
即时取等号，
所以的最小值为6，故B正确；
因为，
所以，又为正实数，
所以，
由基本不等式得，
所以4，
当且仅当，
即时取等号，C正确；
，
当且仅当时取等号，D错误．
故选：ABC．
11. 已知函数满足以下条件：①；②③，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用赋值法、函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.
【详解】令，则，
令，则，
由条件①可知的值不恒等于0，所以，A错误；
令，则，所以B正确；
令，则，
即，所以是偶函数．
令，则，
即，所以是奇函数．
令，则C正确；
令，则，
即，
所以，
所以，所以，D正确．
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 求值：___________．
【答案】####30.5
【解析】
【分析】根据指数幂的运算律化简计算求解.
【详解】原式．
故答案为：
13. 函数的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】分离常数，再利用基本不等式求解．
【详解】
，
当且仅当，即时等号成立，故最大值为．
故答案为：
14. 记已知函数，若，使得，则的最大值为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】先求得的解析式，求得在区间上的值域，根据任意性、存在性列不等式，从而求得的最大值.
【详解】由图可知，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
即在区间上的值域为．
，使得，
等价于在上的值域是在上的值域的子集，
令，解得，
所以，所以的最大值为．
故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．
（1）求的解析式；
（2）判断在上的单调性并用定义证明．
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.
（2）利用函数单调性的定义，计算，从而判断出在上单调递增.
【小问1详解】
因为函数是定义域为的奇函数，
所以当时，；
当时，.
综上，；
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
任取，则
又，所以，
所以，即，
所以在上单调递增.
16. 已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若，求关于的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用换元法解方程，从而求得的值.
（2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得不等式的解集.
【小问1详解】
根据题意，，
令，则，
即，解得，或（舍去），
所以，则.
【小问2详解】
因为在上单调递增，
所以不等式可以化为，
所以，所以，
所以且，
所以原不等式的解集为.
17. 已知集合．
（1）若，且，求的取值范围；
（2）若恰有4个子集，且，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得集合，再对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
（2）先判断出有个元素，由此列不等式来求得的取值范围.
【小问1详解】
由题意知，
因为，所以.
若，则，
解得；
若，则，无解；
若，则，解得；
若，则，无解.
综上，的取值范围是.
【小问2详解】
若恰有4个子集，则中恰有2个元素，
又，则关于的方程在内有两个相异的实根，
所以
解得
所以，
所以的取值范围是.
18. 已知函数满足．
（1）求的解析式；
（2）已知函数，若，，使得，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程恰有3个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过解方程的方法求得的解析式.
（2）求得在区间上的最大值，由此得到在区间上恒成立，再利用换元法以及一元二次不等式在区间上恒成立列不等式，从而求得的取值范围.
（3）化简方程，利用换元法，结合一元二次方程根的分布以及图象列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
因为，
以替换得，
所以
.
【小问2详解】
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
，使得，
即对任意的恒成立，
令，则，
则，
所以对任意的恒成立，
即，
所以
解得，即的取值范围是.
【小问3详解】
方程可化为，
且令，
则方程可化为，且，
画出的图象如图所示，

方程恰有3个不同的实数解，
等价于有两个不同的实数根，
其中，或.
记，
则解得；
或无解.
综上，实数的取值范围是.
19. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）设的最小值为，若正数，满足，求的最小值；
（3）若，求实数取值集合．
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为
（2）最小值是2 （3）或.
【解析】
【分析】（1）去绝对值，求出函数的解析式，结合一次函数的单调性判断即可；
（2），结合基本不等式求最值即可；
（3）令，则为偶函数，求出的解析式，判断的单调性，结合题意解出即可.
【小问1详解】
当时，；
当时，；
当时，，
所以，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】
由（1）知的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
即的最小值是2.
【小问3详解】
令，则，
所以为偶函数，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
当时，，
所以，
在上单调递增，在上单调递减.
由，得，
①若，解得或；
②若，解得或；
③若解得.
综上，的取值集合是或.