黑龙江龙东十校联盟2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版必修第二册第九章、第十章，选择性必修第一册第二章、第三章, 选择性必修第三册。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 数据3,5,7,10,13,15,18,20的第 25 百分位数是
A. 5 B. 6 C. 7 D. 17
2. 若直线 l 与直线 x−3y+1=0 垂直，则 l 的倾斜角为
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
3. 已知圆 C1:x−52+y+32=16 ,圆 C2:x2+y2−2x=0 ,则这两圆的公切线的条数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知变量 x 和 y 满足经验回归方程 y=−0.78x+11.84 ,且变量 x 和 y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是_____
A. m=5 B. 当 x=13 时, y=1.7
C. 变量 x 和 y 呈负相关 D. 该经验回归直线必过点 9,5
5. 在 2+xyx−y7 的展开式中, x5y2 的系数为
A. 7 B. 15C. 30 D. 65
6. 从由0,1,2,3,4所组成的无重复数字的三位数中随机抽取一个数,则该数为偶数的概率为
A. 12 B. 35 C. 47 D. 58
7. 美加墨足球世界杯将于 2026 年 6 月至 7 月在美国、加拿大、墨西哥的 16 座城市举行，将是首次有 48 支球队参赛的世界杯. 现在要从 A,B,C,D,E 五名志愿者中选派四人分别从事宣传、 后勤、礼仪、服务四项不同工作，若 A,B 只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作, 则不同的选派方案共有
A. 24 种 B. 36 种C. 60 种 D. 120 种
8. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ,准线为 l ,过 F 的直线交 C 于 A,B(A 在 B 的上方) 两点,过 A,B 两点分别作 l 的垂线,垂足分别为 A1,B1 ,若 A1B1=8,cs∠A1AB=35 , 则 p=
A. 165 B. 6415 C. 125 D. 6
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 在一次随机试验中有两个随机事件 A 和 B ,若 PA=13,PB=14 ,则
A. PA=23 B. 若 A 与 B 互斥,则 PAB=112
C. 13≤PA+B≤712 D. 若 A 与 B 相互独立,则 PA+B=512
10. 已知 X 为一个随机变量,则
A. 若 X∼B8,13 ,则 E3X+2=10,D3X+2=16
B. 若 X∼N0,1 ,且 PX≤−1=p ,则 P−10 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 为双曲线 C 右支上一点,若存在点 P ,使得 △PF1F2 为等腰直角三角形,则下列说法正确的是
A. 双曲线 C 的离心率为 2+1
B. △PF1F2 外接圆的面积的最小值为 b2π
C. x 轴与 △PF1F2 的内切圆的公共点为定点
D. 设点 I 是 △PF1F2 的内心,则直线 IF1,IF2 的斜率之比为常数
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 若 C5=C52 ,则 r= _____.
13. 进入冬季,流感在很多地区爆发. 某市医疗部门统计该市的 A1,A2 两个区分别有 5%,6% 的人患了流感，已知 A1 ， A2 两区的人口数的比为4:6，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自 A1 区的概率为_____.
14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、 推理论证、思维方法等之中, 揭示了规律性, 是一种科学的真实美. 在平面直角坐标系中, 曲线 C:x2+y2=2x+2y 就是一条形状优美的曲线,若 Ta,b 是曲线 C 上任意一点,则 4a+3b−18 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
某大学想了解本校学生对食堂的满意度情况，对该大学的 100 名学生进行食堂满意度调查， 调查结果如表所示:
(1)根据小概率值 α=0.1 的独立性检验，分析该大学的学生对食堂的满意度是否与年级有关联;
(2)从样本中对食堂满意的学生中随机抽取 2 人，求这 2 人均是大三或大四学生的概率.
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d .
16. (本小题满分 15 分)
已知圆心在直线 x+y−1=0 上的圆 C 过 A2,2 和 B−1,5 两点.
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)过直线 y=2x−6 上一点 P 作圆 C 的切线 PE,PD ，切点分别为 E,D ，求四边形 PECD 面积的最小值.
17. (本小题满分 15 分)
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1200 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列和期望；
(2)若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 1600 元的概率.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 63 ，上顶点 B 的坐标为 0,1 .
(1)求 C 的方程；
(2)已知 M 为 C 上一点，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N ，若点 S 满足 NS=3NM ，当点 M 在 C 上运动时,求点 S 的轨迹方程;
(3)过(-1,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 P ， Q 两点， O 为坐标原点，直线 OQ 与椭圆的另一个交点为 G ,若 △PQG 的面积 S△PQG=32 ,求直线 l 的方程.
19. (本小题满分 17 分)
2025 年 12 月 10 日和 11 日, 中央经济工作会议在北京召开. 会议提出“坚持内需主导, 建设强大国内市场”. 为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双 12”举办了“让利于民” 的优惠活动,顾客消费每满 500 元可抽奖一次,抽奖方案有以下两种(顾客只能选择其中的一种).
方案1:从装有 4 个红球，3 个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中，有放回地依次摸出 3 个球。 每摸出 1 次红球，优惠 100 元，若 3 次都摸到红球，则额外再优惠 100 元(即总共优惠 400 元)；
方案 2:从装有 4 个红球，3 个蓝球 优F橙状、大小完全相同)的抽奖盒中，不放回地依次摸出 3 个球. 中奖规则为:若摸出 3 个红球，享受免单优惠；若摸出 2 个红球，则享受打 5 折优惠； 其余情况无优惠.
(1)已知顾客 A 选择抽奖方案 2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率；
(2)已知顾客 B 恰好消费了 500 元，
(1)若他选择抽奖方案 1，求顾客 B 所获得的优惠金额的分布列和期望(结果精确到整数位)；
(ii)试从顾客 B 所获得的优惠金额的期望值分析顾客 B 选择何种抽奖方案更合理.x
5
6
9
12
y
8
7
m
2.4
满意
不满意
合计
大一或大二
20
20
40
大三或大四
40
20
60
合计
60
40
100
α
0.1
0.05
0.01
xa
2.706
3.841
6.635
作物产量与概率
作物市场价格与概率
作物产量(kg)
300
600
作物市场价格(元/kg)
4
8
概率
23
13
概率
12
12