黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知一组数据为，则这组数据的上四分位数为（ ）
A. B. C. D.
2. 双曲线渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，各人能破译的概率分别是，则密码破译的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 若椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两焦点距离之和等于，则该椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知两直线，，若，则（ ）
A. 或B. C. D. 或
6. 已知椭圆上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 24
7. 已知圆与圆相离，且直线被圆截得的弦长为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
8. 如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点和，且 ，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，事件为“点数为偶数”，事件为“点数是或”，事件为“点数大于”，下列说法正确的是（ ）
A. 和是互斥事件B. 和是相互独立事件
C. D.
10. 已知平面上两点，则所有满足的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中两点，，点满足，设点所构成的曲线为，则（ ）
A. 曲线方程为
B. 曲线上的点的到直线的最小距离为
C. 曲线上任意点，则的最大值为
D. 曲线上任意点，则的取值范围为
11. 已知点，直线，且动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在点使得点到点的距离是点到直线的距离的一半，则称该直线为“最远距离直线”，下列结论中正确的是（ ）
A. 点的轨迹方程是
B. 直线是“最远距离直线”
C. 平面上有一点，则的最大值为
D. 点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有公共点）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组样本数据的标准差为，则数据的方差为________.
13. 已知直线，动直线被圆截得弦长的最小值为______．
14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.已知椭圆及其蒙日圆，且椭圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形的面积的比值为______．
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别从包含道传统文化题和道数学历史题的题袋中随机抽取道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等.
（1）求甲抽到的道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率；
（2）若甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，且两人答题是否正确相互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率.
16. 某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
（2）成绩位列前%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分；
（3）已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差.
附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体样本平均数为，则总体样本方差
17. 已知表示圆的方程．
（1）求实数取值范围；
（2）当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程．
18. 已知椭圆的左、右焦点分别，左、右顶点分别为，若______．请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答.（若都选择，则按照第一个解答给分）
①，．
②椭圆长轴长为，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦与椭圆相交于两点.当点变化时，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
19. 在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，点为右支上一动点，直线与双曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当点在第四象限且轴时，直线为的等线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；
（3）设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线.