易错10 对称、平移、旋转变换（七大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战中考数学考试易错题（全国通用） 试题 含答案

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易错陷阱一、对称轴条数及点关于坐标轴对称的点判断错误
关于坐标轴对称的点的坐标性质
（1）关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为.
（2）关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为.易错总结：在坐标系中，关于轴对称时点的横坐标变号，但可能误改纵坐标或符号方向
【例1】下列四个交通标志牌中，只有一条对称轴的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：A．图中有4条对称轴，故A不符合题意；
B．图中有1条对称轴，故B符合题意；
C．图中有2条对称轴，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：B．
【例2】下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）
A．等边三角形B．正五边形C．正方形D．平行四边形
【答案】B
【详解】解：等边三角形有条对称轴，正五边形有条对称轴，正方形有条对称轴，一般的平行四边形没有对称轴，
对称轴最多的图形是正五边形，
故选：B．
易错警示：注意点关于坐标轴对称的规律为：关于谁对称谁不变
【变式1-1】点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是；
故选：D．
【变式1-2】在平面直角坐标系中，的位置如图所示，按要求解下列问题：
(1)写出点关于轴的对称点的坐标；
(2)判断的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)是直角三角形
【详解】（1）解：∵点C的坐标为，
∴点C关于x轴的对称点的坐标为；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，，
，
∴，
∴是直角三角形．
【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，且点的坐标为，和关于轴对称（点，的对应点为点，）．
(1)在图中把和补充完整；
(2)请直接写出的面积．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【详解】（1）解：∵点和关于轴对称，点和关于轴对称，
∴，，
把和补充完整如图所示：
（2）如图，分别过点、作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交点为、、．
∴
，
∴的面积为．
易错陷阱二、混淆轴对称、轴对称图形和中心对称
1．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.
注意：①轴对称图形的对称轴是一条直线；②轴对称图形是1个图形；③有些对称图形的对称轴有无数条。
2．两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线称为这两个图形的对称轴.
3．若一个图形绕某点旋转180°后，能与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该点成中心对称。
易错总结：注意轴对称是关于直线的对称，中心对称是关于点的对称；轴对称图形只有一个图形，轴对称是有两个图形
【例3】有下列说法：①两个图形成轴对称，则对称点一定在对称轴的两侧；②能完全重合的两个图形一定成轴对称；③沿一条直线折叠后能完全重合的两个图形成轴对称；④经过平移能完全重合的两个图形成轴对称．其中正确的是 ．（填写序号）
【答案】③
【详解】解：①两个图形成轴对称，则对称点不一定在对称轴的两侧，故此选项不符合题意；
②能完全重合的两个图形不一定成轴对称，故此选项不符合题意；
③沿一条直线折叠后能完全重合的两个图形成轴对称，故此选项符合题意；
④经过平移能完全重合的两个图形不一定成轴对称，故此选项不符合题意；
故答案为：③．
【例4】下列图形中，是轴对称图形的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：．不是轴对称图形，，故该选项不符合题意；
．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
．是轴对称图形，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式2-1】下列美丽的图案中是轴对称图形的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【详解】解：第1个图形中，存在一条直线，沿此直线折叠，直线两旁部分完全重合，是轴对称图形．
第2个图形中，找不到任何一条直线，使折叠后直线两旁部分重合，不是轴对称图形．
第3个图形中，存在一条直线，沿此直线折叠，两边完全重合，是轴对称图形．
第4个图形中，存在多条对称轴（如竖直、水平直线），沿对称轴折叠后两边重合，是轴对称图形．
综上，轴对称图形有3个，
故选：B．
【变式2-2】下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：A、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意；
B、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意；
C、图形Ⅰ和图形Ⅱ不成轴对称，符合题意；
D、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意；
故选：C．
【变式2-3】如图，若凹四边形中，，则称凹四边形为“箭头形”．请根据“箭头形”的图形特征，解答下面两个问题：

(1)“箭头形”是___________对称图形；
(2)与是否相等？请说明理由．
【答案】(1)轴
(2)；理由见解析
【详解】（1）解：“箭头形”是轴对称图形；
（2）解：，理由如下：
连接，如图所示：

∵，
∴，，
∴，
∴．
易错陷阱三、将军饮马问题不会套用模型
将军饮马模型：
模型1：已知：如图，定点分布在定直线两侧；
要求：在直线上找一点，使的值最小
解法：连接交直线于点，点即为所求，的最小值即为线段的长度

理由：在上任取异于点的一点，连接，
在中，，即，
∴为直线与直线的交点时，最小
模型2：已知：如图，定点和定点在定直线的同侧
要求：在直线上找一点，使的值最小（或的周长最小）
解法：作点关于直线的对称点，连接交于，点即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线为线段的中垂线，
由中垂线的性质得：，要使最小，则需值最小，从而转化为第1种模型
易错总结：使用将军饮马模型时需注意：①是准确判断动点与定点的位置关系，优先构造对称点转化问题；②是验证对称后的路径是否共线，避免误用模型
【例5】如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于轴对称的；
(2)在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求．
【例6】如图，等腰三角形的底边长为8，面积是48，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】C
【详解】连接，与的交点为，
，是的垂直平分线，
点与点关于直线对称，
，
此时周长最小，
是等腰三角形，是的中点，
，
长为，面积是48，
，
周长最小，
故选：C．
易错警示：在做题的时候还要区分“线段和最小”与“线段差最大”两类问题，前者用对称转化，后者需延长找点
【变式3-1】如图，在中，点在直线 上，直线 ，相交于点．

(1)画关于直线 成轴对称的；
(2)在直线 上画出点 ，使 的值最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）如图所示，分别做点、的对称点，连接、、，则即为所求；
（2）如图所示，作点关于直线的对称点，连接，交直线与点，点即为所求．
【变式3-2】如图，在中，，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，即的周长最小．
在中，，，，
，
根据勾股定理可得
，
，
∴，
在中，，
，
的周长的最小值，
故选：B．
【变式3-3】如图，三个顶点的坐标分别为，，
(1)请画出将关于原点成中心对称的图形；
(2)画出以点为旋转中心逆时针旋转后得到的图形：点旋转到点所经过的路径长为_____．
(3)在轴上找一点，使的值最小，则点的坐标为_____．（直接写出答案）
【答案】(1)见解析
(2)，图见解析
(3)
【详解】（1）如图，为所作
（2）解：如图，为所作
点旋转到点所经过的路径长为
故答案为：．
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图，则，
，
，
此时的值最小，
设直线的解析式为，
把，分别代入得
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得，
点坐标为．
易错陷阱四、混淆点的平移规律和函数的平移规律
平移规律：①基本图形的平移认准平移要素——平移方向、平移距离；
②坐标系内点的平移规律——左减右加（横坐标），上加下减（纵坐标）；
③函数的平移规律——左加右减（自变量），上加下减（整体表达式）
易错总结：点的平移规律和函数的平移规律刚好相反，要特别区分
【例7】如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：向右平移2个单位长度得到：即，
再向上平移3个单位长度得到：即．
故选：A．
【例8】如图，三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上，将三角形同样向左平移3个单位长度得到三角形．若点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：∵三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上，
∴，
得，
∴点的坐标是，则点的对应点的坐标是，
故答案为．
易错警示：在做函数平移的题目的时候，还要特别注意提取的系数，将平移的数据与自变量写在一个括号内
【变式4-1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图像先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：将二次函数的图像先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为，
故选：D．
【变式4-2】将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由题知，
，
则将抛物线的图象向右平移1个单位后，再将所得抛物线向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为，
此时抛物线的顶点坐标为．
故选：C．
【变式4-3】将一次函数向左平移个单位后得到一个正比例函数，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：依题意，一次函数向左平移个单位后得到，
∴
∴
故答案为：．
易错陷阱五、平移前后的图形要不善于利用平行四边形
易错总结：平移几何图形时，不经可以得图形全等，还可以得对应边的位置关系是平行，后续则可以利用平行的基本规律求解问题
【例9】如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【详解】解：沿着直线的方向平移后得到，
，故①正确；
，故②正确；
故③正确；
，
又，
，
，故④正确；
故选：D．
【例10】如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，)，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，
由平移得到，
，
，
，
①当时，
设，则，
∵，
，
，
，
解得：，
，
②当时，
设，则，
，
，
，
解得：，
；
第二种情况：当点在外时，过点作，
由平移得到，
，
，
，
①当时，
设，则，
，
，
，
解得：，
；
②当时，
由图可知，，故不存在这种情况，
综上所述，或或．
故选：C．
【变式5-1】如图，沿边向右平移得到，若，则的长为（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】B
【详解】解：，
．
沿边向右平移得到，
．
，即．
解得．
故选B．
【变式5-2】如图，将沿方向平移得到，交于点H，，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由平移的性质可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
【变式5-3】如下图，在平面直角坐标系中，已知点，．
(1)分别将点A，B水平向左平移2个单位长度到达点M，N处，连接，，．求三角形的面积；
(2)过点B作y轴的垂线，垂足为E．若点F在y轴上，且，求点F的坐标；
(3)Q为线段上一动点（不含端点），连接，．试猜想，和之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)，理由见解析
【详解】（1）解：，，分别将点A，B水平向左平移2个单位长度到达点M，N处，
，，
；
（2）解：过点B作y轴的垂线，垂足为E，
，
设点F的坐标为，则，
，
解得：或，
点F的坐标为或；
（3）解：，理由如下：
如图，过点Q作交于点H，
由平移的性质可知：，
，
，，
．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，平移的性质，三角形的面积公式，平行公理的推论，两直线平行内错角相等，绝对值方程等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——平移及平移的性质是解题的关键．
易错陷阱六、旋转作图做错
旋转作图
（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.
易错总结：旋转作图中，需注意三点：①明确旋转中心、方向和角度，确保每个关键点绕中心按指定方向转动相同角度；②对应点到旋转中心的距离必须相等，可用圆规截取等长线段
【例11】如图，在平面直角坐标系中，，．
(1)若与成中心对称（点与点对应），试在图中画出．
(2)将（1）中的绕点顺时针旋转得到，试在图中画出，并写出的坐标．
(3)若将绕点旋转可得到，则点的坐标是 ．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，
(3)
【详解】（1）解：如图，为所求；
（2）解：如图，为所求，；
（3）解：点的坐标，
故答案为：．
【例12】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作与关于原点成中心对称的图形；
(2)将绕着顺时针方向旋转，求点经过的路径长．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，
【详解】（1）解：如图，就是所求的三角形.
（2）如图，绕着顺时针方向旋转 得到，
，，
∴点经过的路径长为以为圆心，半径长为，且圆心角为的的长，
∵，，
，
，
∴点经过的路径长为．
易错警示：旋转后的图形需与原图全等，检查对应线段长度、角度是否一致，避免遗漏关键点或连接错误
【变式6-1】如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标．
【答案】作图见解析，，
【详解】解：如图，为所作，，；
【变式6-2】如图，画出绕点M按顺时针方向旋转后的图形．
【答案】见解析
【详解】解：如图，即为所求．
【变式6-3】如图，是“俄罗斯方块”游戏的示意图．若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组（ ）
A．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格
C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格D．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格
【答案】B
【详解】解：若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组先绕点顺时针旋转，再向下平移4格，
故选：B．
易错陷阱七、旋转对称图形的最小角度误判
易错总结：旋转对称图形的最小旋转角度需为360°除以对称分支数，且必须小于360°
【例13】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出绕原点逆时针旋转得到的；
(2)求中点经过的路径的长（结果保留）．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）解：如下图所示，
分别作点、、绕点逆时针旋转得到的对应点、、，
连接点、、，得到，
即为所作；
（2）解：，
的长为．
【例14】如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：由题意得
，
至少旋转才能与自身重合；
故选：D．
【变式7-1】如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：根据题意可得圆内是一个正八边形，则，
将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度是的整倍数，
，不是整数，
旋转角度不能是，
故选：B．
【变式7-2】下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形C．正八边形D．正六边形
【答案】C
【详解】A．最小旋转角度；
B．最小旋转角度；
C．最小旋转角度；
D．最小旋转角度．
故选：C．
【变式7-3】如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形．那么在①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形中，是旋转图形，且有一个旋转角为的是 ．
【答案】③
【详解】解：①正三角形最小旋转角是；
②正方形最小旋转角是；
③正六边形最小旋转角是；
④正八边形最小旋转角是；
故答案为：③．
1．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角的度数可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：，
∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时，能够与自身重合，
∴可以为．
故选：C．
2．已知四边形中，点的坐标为，平移四边形，使点的对应点的坐标为，则实现平移的方法可以是（ ）
A．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
【详解】解：点的坐标为，平移四边形，使点的对应点的坐标为，
实现平移的方法可以是先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，
故选：C．
3．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的顶点式为 ．
【答案】
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为，即，
故答案为：．
4．如图所示的图形中，有且仅有两条对称轴的是 （填序号）．
【答案】③⑤/⑤③
【详解】解：如图所示，
①过圆心的任一直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴，不符合题意；
②有四条对称轴，不符合题意；
③有两条对称轴，符合题意；
④有一条对称轴，不符合题意；
⑤有两条对称轴，符合题意；
故答案为：③⑤ ．
5．如图，中，，，，D为边的中点，的垂直平分线l交于点E，若P为直线l上一动点，则的周长的最小值为（）
A．7B．10C．12D．14
【答案】C
【详解】如图，在中，，，点D为边的中点，连接，，
∴，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴当A、P、D三点共线时，即的长为的最小值，
∴的周长最短．
故选：C．
6．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，
，
则，，
∴，
∴的值最小为的值，且，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
7．如图，的面积为16，将沿方向平移，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
【答案】9
【详解】解：如图：设与相交于点E，与相交于点F，
∵沿方向平移，
∴，
∴，
由平移得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴平移前后两三角形重叠部分的面积是9，
故答案为：9．
8．如图，点I为的角平分线的交点，，，，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，，
点I为的角平分线的交点，
和分别平分和，
，，
将平移，使其顶点与点重合，
，，
，，
，，
，，
．
所以图中阴影部分的周长为．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质及平移的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质及平移的性质．
9．如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵经过旋转后得到，
∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，
∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，
作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，如图，
即旋转中心为M点．
∵，
∴其旋转中心的坐标为，
故答案为：．
10．如图，已知在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为
(1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
(2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得的．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，即为所求，
，
由图知；
（2）解：如图，即为所求，