易错09 勾股定理及锐角三角函数（六大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战中考数学考试易错题（全国通用） 试题 含答案

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易错陷阱一、没有明确斜边或直角边时，考虑不全面
勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
变式：①②
易错总结：勾股定理只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。在用勾股定理时，需找准直角边和斜边
【例1】是直角三角形，，，则的长为 ．
【例2】已知在中，，，边上的高线，则边的长为 ．
【变式1-1】的三边长为3，4，，若是直角三角形，则的值可以是（ ）
A．2B．C．D．6
【变式1-2】在中，，，直角边的中点为，点在斜边上且，若为直角三角形，则的值为 ．
【变式1-3】中，，，点在线段上，若为直角三角形时，的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
易错陷阱二、求最短路径时，无法找到正确的展开方式
解决立体图形最短路径问题的核心是将三维展开为二维平面处理。例如将长方体、圆柱体表面展开后，转化为平面两点间线段最短问题，用勾股定理计算对角线长度。圆锥体需展开侧面为扇形，寻找起点与终点间的最短弧长
易错总结：解题关键是识别展开方式，注意不同展开图可能对应不同路径，最终取最小值
【例3】如图，一个圆桶，底面周长为，高为，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处的最短路径长为 ．
【例4】如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
【变式2-1】长方体的长、宽、高分别是3、4、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为 ．
【变式2-2】如图，正方体的棱长为是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径长是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】如图，一只蚂蚁从一个正方体纸盒的点沿纸盒表面爬到点，它所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置是图中的（ ）
A．B．C．D．
易错陷阱三、求解折叠问题时考虑不全面
在勾股定理解决折叠问题时，需先明确折叠前后的对应边角关系，找到隐藏的直角三角形，标清已知量与未知量，设未知数后结合勾股定理列方程
【例5】如图，直线分别与、轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，此时点的坐标为 ．
【例6】如图，在中，，，，点D为边上一点，连接，将沿翻折得到，当与的直角边垂直时，的长为 ．
【变式3-1】如图，菱形中，，点M为上一点，且，点P为上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，连接，当点Q落在菱形的对角线上时，的长为 ．

【变式3-2】如图，一次函数的图象与轴交于点与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 ．
【变式3-3】如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是 ．
易错陷阱四、特殊角三角函数值记忆错误
特殊角的三角函数值
易错总结：可以利用三角板推导30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，强化图形关系理解，最后多练习推导应用避免死记硬背
【例7】计算：．
【例8】如图，点、、是正方形网格上的三个格点，以为圆心，为半径作，点是圆上任意一点，且是锐角，则的值为 ．
【变式4-1】在中，满足：，则的形状为 ．
【变式4-2】在中， ，那么是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【变式4-3】如果中，，则下列结论正确的是（ ）
A．是等边三角形B．是钝角三角形
C．是等腰直角三角形D．是锐角三角形
易错陷阱五、记错三角函数对应边的比例关系
如图所示，在中，所对的边记为，叫做的对边，也叫做的邻边，所对的边记为，叫做的对边，也是的邻边，直角所对的边记为，叫做斜边．
锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即；
锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即；
锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即.
易错总结：在三角函数边比关系中，需明确各函数定义（如sin=），避免混淆对应边
【例9】如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ．
【例10】数学试卷）如图，在中，，点D是上一点，且，连结，E、F分别为中点，连结，若，．
(1)求四边形的面积；
(2)求的值．
【变式5-1】如图，某中学九（9）班数学课外活动小组在河边测量河宽（这段河流的两岸平行），他们在点测得，点测得，则河宽为 ．
【变式5-2】如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的值为（ ）
A．0.5B．0.6C．0.625D．0.8
【变式5-3】如图，，，点在边上，，，分别交于点，．若，则 （用含的式子表示）．
易错陷阱六、没理解好坡角等实际问题中的概念
1.坡度坡角
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式.
2.仰角俯角问题
仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
3.方位角问题
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，的方位角分别为是.
（2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线的方向角分别表示北偏东，南偏东，南偏西，北偏西.特别如：东南方向指的是南偏东，东北方向指的是北偏东，西南方向指的是南偏西，西北方向指的是北偏西
易错总结：解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.
【例11】如图，小明想测量塔的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至塔的另一侧B处，测得仰角为，那么该塔的高度有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到，参考数据：)
【例12】随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？
【变式6-1】寒假期间，小明和小亮相约在公园进行跑步练习，两人从公园大门出发，准备沿路线跑到终点，一起跑到点后，小明体力不支，准备走近路，小亮则继续按原计划路线行进，已知点在点的东北方向米处，点在点的正东方向，米，点在点的正东方向，点在点的北偏东方向上．（参考数据：，，）
(1)求的长度；（结果保留根号）
(2)同时离开点后，小明的速度是每分钟米，小亮的速度是每分钟米，请通过计算说明，离开点多少分钟后，小亮已跑过点且在小明的南偏东方向上？（结果精确到）
【变式6-2】如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面米，山坡的坡度（即），且D，M，E，C，N，B，A在同一平面内，E，C，N在同一条直线上．（参考数据：）
(1)填空：________，________；
(2)求条幅的长度．（结果精确到1米）
【变式6-3】如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校附近一座垂直于地面的古塔的高度，小凡同学从古塔底部的点B处前行到达斜坡的底部点D处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点E处，在点E处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点A，B，C，D，E在同一个平面内，求该古塔的高度．（参考数据：，，，）
1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，若，，都是锐角，则是 三角形．
3．如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为 ．
4．如图，在锐角中，，点O为上一动点（点O与点B，C不重合），点P是射线上的一个动点，连接，，若，点O为的中点，且为直角三角形时，则 ．
5．如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A 爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ．
6．计算：．
7．若点A的坐标为，点B在直线上，若为直角三角形，求点B的坐标．

8．如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点，点为弧的中点．
(1)求的半径；
(2)连接，求的值．
9．如图，建筑物垂直于地面，测角机器人在点测得建筑物顶端的仰角为，向前走9米到点，测得建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度（结果精确到米）．（参考数据：）
10．某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
(1)求点D到直线的距离；
(2)求古塔的高度．
三角函数
30°
45°
60°
1