易错12 统计与概率（五大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战中考数学考试易错题（全国通用） 试题 含答案

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易错陷阱一、求中位数和众数时不排序出错
众数：一组数据中出现次数最多的那个数据
中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)
易错总结：要观察数据有没有按照顺序排列，没有的要先排列顺序再找，避免出错．
【例1】某城市月份某星期天的最低气温如下（单位）：，，，，，，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【详解】解：把这些数从小到大排列为：，，，，，，
则这组数据的中位数是，
出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是
故选：D．
【例2】阳光体育运动要求学生每天锻炼一小时，如图是依据某班50名学生一周体育锻炼的时间绘制的条形统计图，那么该班50名学生一周参加体育锻炼时间的中位数为 h．
【答案】9
【详解】解：由图可知，第25和第26个数据均为，
∴中位数为：；
故答案为：9．
【变式1-1】在一次定点投篮比赛（每人投10次）中，甲组6位同学投中的次数分别为4，5，6，6，7，8，记录员在誊抄时，误把其中的4抄成了9，那么该同学所誊抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（ ）
A．中位数B．平均数C．方差D．众数
【答案】D
【详解】解：∵误把其中的4抄成了9，6的个数不变，
∴不变的统计量是众数．
故选D．
【变式1-2】某校航模兴趣小组共有40位同学，他们的年龄分布如表：
则这40名同学年龄的中位数是（ ）
A．12岁B．13岁C．14岁D．15岁
【答案】B
【详解】解：这40名同学年龄的最中间的数是第20和21个数，分别是13，13，
故这40名同学年龄的中位数是，
故选：B．
【变式1-3】某育苗基地，在温室内，经过一段时间育苗，随机抽取一些种苗并对它们的株高进行测量，把测量结果制成尚不完整的扇形统计图与条形统计图，如图所示．若种苗株高的平均数或中位数低于，则需要对育苗办法适当调整．
(1)在扇形统计图中，________．
(2)求抽取的种苗株高的平均数、中位数，并判断是否需要对育苗方法进行调整．
【答案】(1)20
(2)平均数是，中位数是，需要对育苗办法适当调整
【详解】（1）解：，
；
故答案为：20；
（2）解：抽取种苗的总株数为；
株高为的种苗株数为；
株高为的种苗株数为；
所以抽取的种苗株高的，
从小到大排列抽取的40个数据中，处于第20、21个株高均为，，
中位数为，
种苗株高的平均数或中位数均低于，
需要对育苗办法适当调整．
易错陷阱二、混淆平均数和加权平均数
平均数：一般地，个数，我们把叫做这个数的算术平均数，记做
个数的加权平均数：如果在个数中，出现了次，出现了次，……出现了次，那么加权平均数为
易错总结：加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数．在做题的时候，要注意题设中有没有出现“权”，不能将加权平均数和平均数混淆．
【例3】射击比赛中，某选手的次射击成绩如表所示：
则该选手的平均成绩是 环．
【答案】
【详解】解：该选手的平均成绩是（环），
故答案为：
【例4】某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”．如表是小明和小亮两位同学某学科的成绩．
(1)若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，请计算比较两人的学期综合成绩；
(2)若将平时作业、期中检测、期末考试三项成绩按的比例来确定学期综合评价成绩，请你通过计算判断小明、小亮该学科能否被评为“优秀”．
【答案】(1)小明的学期综合评价成绩为比小亮的学期综合评价成绩好
(2)小明和小亮该学科不能被评为“优秀”
【详解】（1）解：（分），
∴小明的学期综合评价成绩为85分；
（分），
∴小亮的学期综合评价成绩为84分；
∴小明的学期综合评价成绩为比小亮的学期综合评价成绩好；
（2）解：由题意，
∴小明在期末考试中的成绩是85.3分，
，
∴小亮在期末考试中的成绩是85.4分，
∵学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”，
∴小明和小亮该学科不能被评为“优秀”．
【变式2-1】如果一组数据的平均数是2023，那么的平均数是 ．
【答案】2020
【详解】解：∵数据的平均数是2023，
∴，
∴的平均数为：
，
故答案为：2020．
【变式2-2】某校学生期末评优奉行五育并举，德智体美劳全面发展的原则，按从德、智、体、美、劳五方面评分，确定最终成绩．小明本学期这五方面的得分情况如图所示，则小明期末评优最终得分为（ ）
A．9.1B．9.2C．9.3D．9.4
【答案】C
【详解】解：（分），
∴小明期末最终得分为分．
故选：C．
【变式2-3】学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如表：学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．通过计算，你认为 同学将被录取．
【答案】乙
【详解】根据题意可知，甲同学的成绩为：
（分）；
乙同学的成绩为：（分）；
，
∴乙同学将被录取，
故答案为：乙．
易错陷阱三、对方差公式记忆出错
方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数.
方差的算术平方根就是标准差．方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
易错总结：方差公式其实为各数据与平均数的差平方的平均
【例5】计算数据1，2，3，4，5的方差为，则 ．
【答案】2
【详解】解：平均数为：，
∴方差为：；
故答案为：2
【例6】若一组数据1，3，5，7，9的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则 （填“>”“
【详解】解：，，
，
，
∴，
故答案为：．
易错警示：负数比较的时候要小心，画出数轴进行比较会更准确
【变式3-1】现有一组数据：5，6，6，7，9，9，方差为；去掉数字7得到一组新的数据，方差为；则 （填“”，“”或“”）．
【答案】
【详解】解：第1组数据的平均数为，
则其方差；
去掉数字7得到的新数据的平均数为，
则其方差；
∵，
∴，
故答案为：．
【变式3-2】一组数据的方差计算为：，则这组数据的平均数为 ．
【答案】
【详解】解：∵一组数据的方差计算为：，
∴这组数据为5，3，6，4，
∴这组数据的平均数为：．
故答案为：．
【变式3-3】数学课上张老师给出了如下算式，计算某数据的方差，据此判断下列说法错误的是（ ）
A．样本众数是3B．样本中位数是3C．n的值是4D．样本平均数是4
【答案】D
【详解】解：根据方差算式可得，样本数据为，
因此，样本众数为，
中位数是，
平均数为，
故选：D．
易错陷阱四、含参求数据特征时考虑不全面
易错总结：在求众数、平均数、中位数时，如果是一组含有未知数的数据就要分类讨论。其实对于此类题目的解题本质还是掌握好众数、平均数、中位数的概念以及联系、区别，再对未知数可能取值的范围进行分类讨论就可顺利解决。
【例7】已知一组数据：，这组数据的平均数与中位数相等，则 ．
【答案】或或
【详解】解：数据的平均数为，
若中位数为，则，解得；
若中位数为，则，解得；
若中位数为，则，解得；
综上，或或，
故答案为：或或．
【例8】如果数据，，，的中位数与平均数相同，那么的值为 ．
【答案】或
【详解】解：这一组数据的平均数为，
（）当时，该组数据从小到大顺序排列为：、、、，
这时中位数为，则，解得；
（）当时，该组数据从小到大顺序排列为：、、、，
这时中位数为，则，解得，不在内，此时不存在；
（）当时，该组数据从小到大顺序排列为：、、、，
这时中位数为，则，解得；
故答案为：或
【变式4-1】一组数据2，3，5，6，a的众数与中位数相等，则 ．
【答案】3或5
【详解】解：中位数可能是或5，
由于众数与中位数相等，故或5，
故答案为：3或5．
【变式4-2】一组从小到大排列的数据：，，，，（为正整数），唯一的众数是，则数据是 ．
【答案】或
【详解】解：一组从小到大排列的数据：，3，4，4，为正整数），唯一的众数是4，
数据是1或2．
故答案为：1或2．
【变式4-3】一组数据按从小到大的顺序排列为这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为 .
【答案】3和6
【详解】解：∵按从小到大的顺序排列为3，3，4，a，6，8这组数据的中位数是5，
，
解得：，
这组数据为：3，3，4，6，6，8，
3和6出现的次数最多，
故众数为3和6．
故答案为：3和6．
易错陷阱五、没看清放回还是没放回
易错总结：放回与不放回常因混淆导致错误。放回时样本总量不变（如摸球后放回），每次抽取独立，概率计算直接相乘；不放回时样本减少（如一次性抽取多个），后续概率需调整分母，且需用树状图（不含重复分支）计算
【例9】在一个不透明的袋子里，装有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，统计发现，摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数是（ ）
A．24个B．30个C．20个D．14个
【答案】A
【详解】解：设袋子里黑球的个数为个，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴袋子里黑球的个数是24个，
故选：A．
【例10】中华文化之瑰宝−−“四大名著”，即《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位．
(1)若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是_____．
(2)若从这四大名著中随机抽取两套（先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套），请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是．
故答案为：．
（2）解：从这四本书籍中随机抽取两本的情况列表如下（记四本书籍依次为 A，B， C， D）：
共有 12 种等可能结果，其中《水浒传》和《三国演义》被选中的结果有 2 种，
抽到的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率为．
【变式5-1】一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“泉”、“城”、“济”、“南”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成“泉城”的概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“泉城”的结果数为2，
所以取出的两个球上的汉字能组成“泉城”的概率为，
故选：C．
【变式5-2】1个袋子中装有1个白球和1个黑球，它们除颜色外其他完全相同．甲、乙两人去摸球，每人摸1次，1次摸出1个球．
(1)如果摸出球后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜，那么这个游戏对双方公平吗？
(2)若摸出球后不放回，同样规定摸出黑球的人获胜，则这个游戏的公平性是否和摸出球后放回摇匀时的一样？
(3)若袋子中装有除颜色外其他完全相同的5个白球和5个黑球，甲、乙两人先后去摸球，一人摸1次，1次摸出1个球，摸出后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？
【答案】(1)这个游戏对双方公平
(2)这个游戏的公平性和摸出球后放回时的一样
(3)这个游戏对双方是公平的，理由见解析
【详解】（1）解：由于是摸出后放回，每个人摸出黑球的概率都是，所以对双方公平；
（2）解：由于是摸出后不放回，则总的结果为甲黑乙白，或甲白乙黑，则他们获胜的概率和放回时一样都是，对双方公平；
（3）解：游戏对双方公平，因为袋子中白球和黑球各有5个，每人摸出黑球的可能性都是，所以这个游戏对双方是公平的．
【变式5-3】一个不透明的盒子里装有2个黑球，5个白球和1个红球．它们除颜色不同外其余都相同．
(1)若从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率是___________；
(2)将盒子中的白球取出4个后，利用剩下的球小张和小王进行摸球游戏，他们约定：先摸出1个球后放回，再摸出1个球，若这两个球中有红球，则小张胜，否则小王胜，问该游戏是否公平？请用列表或画树状图说明理由．
【答案】(1)
(2)不公平，理由见解析
【详解】（1）解：从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率为
故答案为：．
（2）该游戏不公平．
理由如下：
画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中两个球中有红球的结果数为7，所以小张胜的概率；，小王胜的概率为
∵
所以该游戏不公平．
1．某校体育测试，女生考核“立定跳远”、“800米”、“仰卧起坐”三项，并按的权重计算体育成绩．已知小颖这三项的测试成绩分别为80分、90分、100分，则小颖的体育成绩为 分．
【答案】91
【详解】解：根据题意得：（分）；
故答案为：91．
2．如图描述了某班10名学生对课后延时服务的打分情况，下列判断不正确的是（ ）
A．打分的众数为4分
B．打分的平均数为3.2分
C．去掉一个最高分和一个最低分后，中位数和众数都不会发生改变
D．若该班有50名学生，估计打分为4分的有25人
【答案】D
【详解】解：由扇形统计图可知，打分为5分的百分比为，
从图中可知打4分的学生占比为，即打4分的人数最多，所以打分的众数为4分，故A选项正确；
打分的平均数为分，故B选项正确；
这组数据有10个（偶数个），所以中位数是第5、6个数的平均数，即分，去掉一个最高分和一个最低分后，中位数不会发生改变，故C选项正确；
若该班有50名学生，估计打分为4分的有人，故D选项不正确；
故选：D．
3．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：
若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：设成绩为环的人数是x，根据题意得：
，
解得：，
则成绩为环的人数是，
故选：．
4．有两组数据，甲组：2，4，6，8，10；乙组：12，14，16，18，20．则甲组数据的方差 乙组数据的方差（填“”“”或“”）．
【答案】
【详解】解：甲组数据的平均数为，
方差为；
乙组数据的平均数为，
方差为；
∴．
故答案为：
5．某班期末英语的平均成绩为75分，方差为225，如果每名学生都多考5分，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差不变B．平均分变大，方差不变
C．平均分不变，方差变大D．平均分变大，方差变大
【答案】B
【详解】解：由题意知，每名学生都多考5分，则平均分比原来大5，平均分变大，
∵数据的波动情况不变，
∴方差不变，
故选：B．
6．某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（ ）
A．平均数变小，方差变小B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小D．平均数变大，方差变大
【答案】C
【详解】解：原数据的平均数为，
新数据的平均数为，
原数据的方差为，
新数据的方差为，
所以平均数变大，方差变小．
故选：C．
7．某人在统计15个数据时，算出中位数和平均数都是85，但后来发现，错将其中的一个数据78输入为87，由此求出的中位数（ ）
A．等于85B．小于85C．小于等于85D．大于等于85
【答案】C
【详解】解：∵原来的中位数85，将78输入为87，
∴最中间的数是85的前一位数，应该小于等于85，
即中位数小于等于85，
故选：C．
8．有一组数据有唯一众数，且众数与中位数相等，则a的值为（ ）
A．3B．5C．3或5D．3或4
【答案】C
【详解】解：∵一组数据有唯一众数，
∴a一定是2，3，5，6中的某一个数，
∴当a的值为2或3时，这种数据的中位数3；当a的值为5或6时，这组数据的中位数为5，
∵众数与中位数相等，
∴a的值为3或5，
故选：C
9．在一个不透明的箱子中装有张白色的卡片和若干张红色的卡片，这些卡片除颜色外，大小、形状、厚度等均相同．我校动感社团的同学们做试验：将卡片搅匀后从中任意摸出张，记下颜色后放回，记为一次试验．
(1)若多次进行上述试验后发现摸到白色卡片的频率为，则箱子中的红色卡片约有___________张；
(2)在（）的条件下，请用列表或画树状图的方法，求两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的概率．
【答案】(1)；
(2)两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的概率是．
【详解】（1）解：∵摸到白色卡片的频率为，
∴摸到白色卡片的概率为，
设箱子中的红色卡片约有张，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴箱子中的红色卡片约有张，
故答案为：；
（2）解：画树状图如图，
一共有种可能等结果，两次试验摸出的卡片颜色恰好相同有种，
∴两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的概率是．
10．综合实践课上，老师设计了一个游戏，将四边形中的部分条件分别写在四张大小、质地及背面完全相同的卡片（甲、乙、丙、丁）上．
(1)将四张卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则取出卡片上的条件是两边数量关系的概率为_____；
(2)将四张卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张．请补全如图的树状图，并求取出的两张卡片上的条件能使四边形是平行四边形的概率．
【答案】(1)
(2)树状图见解析，取出卡片上的条件能使四边形是平行四边形的概率为
【详解】（1）解：取出卡片上的条件是两边数量关系的概率为，
故答案为：；
（2）解：补全树状图如下：
所有等可能结果共有12种，其中能使四边形是平行四边形的有：甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丁，丁乙，丙丁，丁丙共8种，
则取出卡片上的条件能使四边形是平行四边形的概率为．
年龄（岁）
12
13
14
15
人数（人）
5
18
14
3
成绩/环
次数
学生
平时作业/分
期中检测/分
期末考试/分
小明
90
76
89
小亮
92
65
95
口语表达
写作能力
甲
80
90
乙
90
80
A
B
C
D
A
−
B
−
C
−
D
−
环数
人数