易错06 全等三角形和特殊三角形（七大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战中考数学考试易错题（全国通用） 试题 含答案

这是一份易错06 全等三角形和特殊三角形（七大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战中考数学考试易错题（全国通用） 试题 含答案，文件包含易错06全等三角形和特殊三角形七大易错分析+举一反三+易错题通关原卷版docx、易错06全等三角形和特殊三角形七大易错分析+举一反三+易错题通关解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。

易错陷阱一：忽略三角形三边关系
三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
三边关系的运用：①判断三条线段能否组成三角形；
②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
易错总结：在解题时，要根据三角形存在的条件，验证求得的解，否则容易造成多解
例1．等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的第三边是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【详解】解：当为底边时，第三边长为，
因为，故不能构成三角形；
当为底边时，第三边长为，
因为，故能构成三角形，
所以第三边长为，
故选：．
例2．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当对角线分得的两个三角形中有一个是等腰三角形时，的长为（ ）
A．16B．9C．8D．5
【答案】A
【详解】解：在中，，
∴，即，
在中，，
∴，即，
综上，，
∴只有当时，对角线分得的两个三角形中有一个是等腰三角形，即时，是等腰三角形，
故选：A．
易错警示：在实数的各种概念里，0都是比较特殊的存在，所以遇到理论型问题，都要多想一下0适不适用
变式1-1．先化简，再求值：，其中x是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且x为整数．
【答案】，
【详解】解：
，
∵其中x是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，
∴，
∴，
∵x为整数，，
∴，
∴，
∴．
变式1-2．设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ．
【答案】13或11
【详解】解：，
∴，
∴，
分两种情况：
（1）当3为底边长时，腰长为5，
，能组成三角形，
此时三角形的周长为；
（2）当5为底边长时，腰长为3，
，能组成三角形．
此时三角形的周长为；
综上可知，此三角形的周长为13或11．
故答案为：13或11．
变式1-3．已知的三边长分别为，，10．则的取值范围 ．
【答案】
【详解】解：由三角形三边关系定理得到：，
解①得，
解②得，
解③得，
不等式组的解集为．
故答案为：．
易错陷阱二：混淆角平分线：中线：高线：中垂线的画法及性质
易错提醒：一是要对各种线的概念进行熟记；二是能够根据题意画出规范图形
例3．如图，在中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则图中涂色部分的面积是 ．
【答案】4
【详解】解：∵E为的中点，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4．
例4．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴，
在中，，，
∴．
故选：D．
易错警示：①角平分线定理与线段中垂线性质定理常常需要添加辅助线，角平分线的常见辅助线是过角平分线上一点作到角两边的垂线段；线段垂直平分线的常见辅助线是连结两点。
②角平分线与线段垂直平分线都是有定理和逆定理的，一定要区分好条件是谁，结论是谁。
变式2-1．如图，是中边上的垂直平分线，如果，，则的周长为 ．
【答案】15
【详解】解：∵是中边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
故答案为：15．
变式2-2．如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点E．过点C作于点H，交于点F．下列说法正确的是（ ）
A．线段是的角平分线
B．线段是中边上的高
C．线段是中边上的中线
D．线段是的角平分线
【答案】B
【详解】解：A、由，根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故本选项错误；
B、根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故本选项正确；
C、根据三角形的中线的概念，知是中上的中线，故本选项错误；
D、根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故本选项错误．
故选：B．
变式2-3．如图，是的边上的中线，是的边上的中线．
(1)若，求的度数；
(2)画出的边上的高；
(3)若的面积为，求的边上的高．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)的边上的高为．
【详解】（1）解：在中，；
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：因为是的中线，
所以．
又因为是的中线，
所以．
因为，即，
所以，
即的边上的高为．
易错陷阱三：解决高线问题时，忽略分类讨论
易错提醒：不同的三角形，高的位置也不同，高线可能在三角形的内部或外部，所以要分类讨论，可以按照锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情况讨论，以免漏解．
例5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角的度数为 ．
【答案】
【详解】解：分两种情况讨论：
①若，如图1所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②若，如图2所示：
同①可得：，
∴，
∵，
∴；
综上所述：等腰三角形底角的度数为或．
故答案为：或．
例6．直角三角形的两边分别为2和3，则斜边上的高为
【答案】或
【详解】解：设斜边上的高为h，
当长为3的边为斜边时，则第三边长为，
由三角形面积公式可得，
∴；
当长为3的边为直角边时，则第三边的长为，
由三角形面积公式可得，
∴；
综上所述，斜边上的高为或，
故答案为：或．
易错警示：高线可以在三角形的外面易忽略
变式3-1．已知△ABC的面积为20cm2，AD为BC边上的高，且AD＝8cm，CD＝2cm，求BD的长度．
【答案】BD的长度为3或7
【详解】解：如图1，
∵AD为BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝（BD+CD）•AD，
∴20＝（BD+2）×8，
∴BD＝3；
如图2，
∵AD为BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝（BD﹣CD）•AD，
∴20＝（BD﹣2）×8，
∴BD＝7；
故BD的长度为3或7．
【点睛】本题考查了三角形的面积，注意分类讨论．
变式3-2．在中，为边上的高，，，则的度数是 度．
【答案】或
【详解】解：如图，当位于内部时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当位于外部时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度数是或，
故答案为：或．
变式3-3．在中，，，高，则的长是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【详解】当高在的内部时，如图，
∵边上的高，，
∴，
在中，，根据勾股定理得，，
在中，，根据勾股定理得， ，
∴；
当高在的外部时，如图，
∵边上的高,
∴，
在中，，根据勾股定理得， ，
在中，，根据勾股定理得，
∴，
综上所述，的长为或，
故选：．
易错陷阱四：解决重心问题时，线段比例混淆
三角形的重心：三角形三条边中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
易错提醒：比例关系要记熟，线段位置容易写相反导致比例出错
例7．如图，是等边三角形，点为的重心，连接，以为边作等边三角形，若，则的周长为 ．
【答案】
【详解】解：延长交于点，
点为的重心，
，．
是等边三角形，且，
，
，
．
是等边三角形，
．
在中，
，
，
则，
的周长为18．
故答案为：18．
例8．如图，在中，点是的重心，连结并延长交于点，过点作交于点，如果，那么 ．
【答案】6
【详解】∵点是的重心，
又
故答案为：6．
易错警示：若混淆三角形重心比例（2:1）性质，会导致中线分割关系错误，影响几何证明、坐标计算及面积比例推导
变式4-1．如图，在中，对角线 交于点是的中点，连结交于点F．若的面积为36，则的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
是的中点，，
点F是的重心，
，
故选：B．
变式4-2．如图，在中，，分别是边，上的点，，重心在上，若，则四边形的面积为 ．
【答案】10
【详解】如图所示，连接并延长交于点D

∵点G是的重心
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴四边形的面积．
故答案为：10．
变式4-3．如图，点G为的重心，若，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：为的重心，
，
，，
，即，
，
．
故选：B．
易错陷阱五：混淆全等三角形的判定
判定全等三角形
1.角角边AAS：
证明过程：在和中，
∴
2.边边边SSS：
证明过程：在和中，
3.边角边SAS：
证明过程：在和中,
4.角边角ASA：
证明过程：在和中，
易错提醒：判断的方法比较多，做题时根据不同的条件选择不同的判定方法
例9．如图，点在线段上，．试说明：．
【答案】见解析
【详解】证明：因为，
所以，即．
在和中，
所以．
例10．如图，，下列条件能使的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：，
A、添加，“边边角”不能判定三角形全等，不符合题意；
B、添加，不能判定三角形全等，不符合题意；
C、添加，运用“角角边”可证，符合题意；
D、添加，“边边角”不能判定三角形全等，不符合题意；
故选：C ．
易错警示：要注意两条边和一角的关系，应该是两边夹一角，即SAS，而不是SSA
变式5-1．如图，已知，，垂足分别为点E、F，则在下列各组条件中选择一组，其中不能判定的是 （ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【详解】解：∵，，
∴，
A：若，，则可利用“”判断，不符合题意；
B：若，，则，可利用“”判断，不符合题意；
C：若，，则可利用“”判断，不符合题意；
D：与不是对应边，故不能判定，符合题意；
故选：D．
变式5-2．如图，，，，，，，四点共线，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：，
，
即，
在和中，
，
．
变式5-3．如图，在同一直线上有四个点B、F、C、E，点A、D在直线同一侧，如果垂足为B，垂足为E，且，．连接、相交于点G．
求证：
(1)．
(2)；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵垂足为B，垂足为E，
∴，
∵，
∴,
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴；
（2）证明：如图：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
易错陷阱六：应用全等三角形性质时，没有找准对应边、对应角
全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
（2）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
∵，
∴（全等三角形的对应边相等）。
（全等三角形的对应角相等）。
易错提醒：我们在整理全等的时候都是角边已经对应好，所以根据字母的位置进行写性质，这样会减少错误
例11．如图，已知，平分，与交于点G．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：C．
例12．如图，，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∵，
故答案为：．
变式6-1．如图，，，求的度数．
【答案】
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
变式6-2．中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米秒，则当与全等时，的值为 ．
【答案】2或
【详解】解：当与全等时，设两点所用时间为，
则，，，
点为的中点，
厘米，
若，，
则，
解得：，
若，，
则，，
解得：，．
的值为2或，
故答案为：2或．
变式6-3．如图，正方形中，点M，N分别在，上，且，与相交于点P．
(1)求证：；
(2)求的大小．
【答案】(1)详见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∴．
易错陷阱七：等腰三角形问题忽略分类讨论
易错提醒：在等腰三角形中，涉及到腰上的垂直平分线、中线，某边是底边还是腰等问题时，易错点在于忘记分情况讨论，导致漏解
例13．等腰三角形的两边长分别为5和2，则第三边长为 ．
【答案】5
【详解】解：当5为一腰长时，
则另一腰长为5，底边长为2，
∵，
∴能构成三角形，
第三边长为5；
当2为一腰长时，
则另一腰长为2，底边长为5，
∵，
∴不能构成三角形，
舍去；
综上，第三边长为5，
故答案为：5．
例14．已知底边长为6的等腰三角形内接于半径为5的中，那么这个等腰三角形的腰长 ．
【答案】或
【详解】解：①当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示：
连接并延长交于点D，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴；
②当等腰三角形是钝角三角形时，如图2所示：
连接交于D，连接，
同理得：，
∴，
∴；
综上所述，的长度是或．
．
变式7-1．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【详解】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，能够组成三角形；
当是等腰三角形的腰时，则其底边是，能够组成三角形．
故选：C．
变式7-2．如图，抛物线与直线相交于点和点B．
(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标和的度数；
(3)点M是x轴上的一个动点，求当是等腰三角形时点M的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为；
(3)或或或
【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
将点A的坐标代入直线表达式得：，
解得；
故；
（2）解：由（1）得抛物线表达式为，直线的解析式为，
联立方程组得：，
解得或，
∴点的坐标为；
过点B作轴于点E，则
∴
∴．
（3）解：∵
∴，
如图，
若是等腰三角形，
当为腰时，
∵，
∴，
∴；
又，且
∴，
∴；
又的垂直平分线交轴于点,
∵
∴
∴,
∴，
∴
∴；
∵
∴轴，
当时，，
∴，
∴；
综上，点的坐标为或或或．
变式7-3．已知中，，D为直线上异于B，C的一点．若是等腰三角形，则的度数为 ．
【答案】或或
【详解】解：∵在中，，，
∴ ，
∵点为直线上异于点的一点，
∴当是等腰三角形时，只能或，
①当时，如图所示：
∴；
∴，
②当时，点D在点B的左侧时，如图所示：
∴ ，
∵，
∴；
当时，点D在点B的右侧时，如图所示：
∵，
∴；
综上所述的度数为或或．
故答案为：或或．
1．如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：因为，，分别是的高、中线、角平分线，
∴是点到直线的垂线段，
利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，
可得最短，
故选：A．
2．在中，，点G是的重心，如果，那么 ．
【答案】12
【详解】解：如图，

∵G是重心，，
∴是的中线，，
∴，
解得，，
∴，
∵，是的中线，
∴，
故答案为：12．
3．如图在中，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与所在直线相交于点F．若，求的度数为 ．
【答案】/36度
【详解】解：∵，分别垂直平分边和边，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
4．如图，点是边长为3的等边的边上一动点，沿过点的直线折叠，使点落在上，对应点为，折痕交于点，若点是的一个三等分点，则的长为 ．
【答案】或
【详解】解：依题意，
①如图1中，当时，设，
∵是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∵，
∴+=3，
∴．
②如图2中，当时，
由，可得，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
故答案为：或．
5．如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【详解】解：∵平分，
∴，，，
故（1）（2）（3）正确，
∵平分，
∴，
∴
故（4）正确，
综上，一共有4个正确，
故选：D
6．如图，是平角内一射线，点是上一定点，点是直线上一动点，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为 ．
【答案】4或2/2或4
【详解】解：当时，
若是等腰三角形，只有1种情况，如图：
此时，满足题意；
当与不垂直时，
若是等腰三角形，则有3种情况讨论如下：
当时，如图，以点O为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，则满足题意；
当时，如图，以点A为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，则满足题意；
当时，如图，作线段的垂直平分线，交直线于点，则满足题意；
综上，共有4个点或2个点，
故答案为：4或2．
7．已知，是关于x的一元二次方程的两实数根．
(1)若方程有两个实数根，求m的值．
(2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【答案】(1)
(2)17
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，
方程根的判别式，
解得；
（2）解：由题意，分以下两种情况：
①当长为7的边是等腰的腰时，
则7是方程的一个根，
因此有，
解得或，
当时，方程为，解得或，
此时等腰的周长为，
当时，方程为，解得或，
此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去；
②当长为7的边是等腰的底边时，
则，即方程有两个相等的实数根，
则
∴，
方程为，解得，
此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去，
综上，这个三角形的周长为17．
8．（1）如下图，在中，是边上的高，．求的度数；

（2）如下图，已知是的中线，的周长比的周长大．求与的差．

【答案】（1）；（2）4
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵是边上的中线，
∴，
∴的周长的周长
，
∴与的差为．
9．如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，且，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
在和中，，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
10．如图，是的角平分线，，交于点．是的角平分线吗？请说明理由．
【答案】是的角平分线，理由见解析
【详解】解：是的角平分线，理由如下：
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
三角形的重要线段
概念
图形
几何语言表示
三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
是的上高线，
三角形的中线
三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段
是的上的中线.
∴，
三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
是的的平分线，
线段的垂直平分线
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线
是上的垂直平分线，
∴，