易错04 一次函数与反比例函数（六大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战中考数学考试易错题（全国通用） 试题 含答案

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易错陷阱一、一次函数忽略了
函数定义的理解：一次函数定义为形如的函数，其中和是常数，且。
易错总结：容易犯的错误是忽略了的条件，或者对函数的自变量和因变量的理解不清晰。
例1．已知函数．
(1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？
(2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？
(3)若函数的图象经过点和，求m，n的值．
例2．若关于的函数是一次函数，则的值为（ ）
A．B．2C．D．1
变式1-1．已知关于的函数．
(1)若该函数为二次函数，求的值；
(2)若该函数为一次函数，求的值．
变式1-2．一次函数的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．B．
C．D．且
变式1-3．若函数是一次函数，则 ．
3易错陷阱二、一次函数y=ax+b中不理解a,b对函数图像的影响。
一次函数中的决定直线的倾斜方向和增减性：当时，直线从左向右上升，函数值随自变量增大而增大;时则相反。决定直线与轴的交点位置，时交点在正半轴，时在负半轴，其符号与共同影响直线经过的象限。两者结合可全面描述一次函数的图像特征与变化规律。
易错总结：不理解对函数图像的影响
例3．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，则
B．它的图像经过第一、二、三象限
C．它的图像必经过点
D．y的值随x值的增大而增大
例4．若一次函数（是常数，）的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是 ．
变式2-1．若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式2-2．直线和在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
变式2-3．已知一次函数满足，且随的增大而减小，则该一次函数的大致图象是大致是（ ）
A．B．
C．D．
易错陷阱三、混淆反比例函数的增减性质
反比例函数的图象及性质
易错总结：混淆对反比例函数增减的影响，可能记成时，在每个象限内，值随值的增大而增大，有时候还遗漏在每个象限内
例5．已知点，是反比例函数图象上的点，若，则一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
例6．在函数（为常数）的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为 ．
变式3-1．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式3-2．点，，在反比例函数的图象上，且有，则有（ ）
A．B．C．D．
变式3-3．若点，都在反比例函数的图象上，当时，则k的取值范围是 ．
易错陷阱四、不会结合不等号与图象关键点
函数与不等式：可以看作当一个函数的函数值大（小）于另一个函数的函数值，通过两个函数的交点可求自变量相应的取值范围
易错提醒：容易把这类题型与求函数解析式题型混淆，直接去求函数解析式，思路错误后容易出现求解不出解析式的情况，导致无法做出答案
例7．若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
例8．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集．
变式4-1．如图，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点．
(1)求直线的函数表达式．
(2)求点的坐标，并结合函数图象直接写出当时的取值范围．
变式4-2．如图，函数与函数的图象交于点和点，点是点A关于轴的对称点，连接，．
(1)分别求这两个函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集．
变式4-3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过反比例函数的图象上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若，求的面积；
(3)请直接写出当时，不等式解集．
易错陷阱五、应用题忽略自变量的取值范围
应用题的处理方式：
1.待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数的类型，若是一次函数可设为，若是反比例函数可设解析式为，然后求出对应的参数．
2.列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于因变量（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式，并且要特别注意自变量的范围.
易错提醒：学生在应用一次函数解决实际问题时，容易忽视问题的实际背景，或者不理解如何将实际问题转化为数学问题
例9．为绿化校园，重庆一中计划购进A、B两种树苗，若购买A树苗10棵，B树苗20棵，需要2300元，若购买A树苗20棵，B树苗10棵，需要2500元：
(1)求A、B两种树苗单价各是多少？
(2)学校计划购买A、B两种树苗，共21棵，且购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
例10．在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．
设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．
(1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；
(2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用．
变式5-1．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．
(1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
变式5-2．受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
(1)分别写出该化工厂对生产线进行升级改造期间以及改造后与的函数表达式；（不用写出自变量取值范围）
(2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？
(3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？
变式5-3．为创建省级文明城市，改善人居环境，幸福社区投资1万元修建一个矩形植物园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长，平行于墙的边的费用为200元，垂直于墙的边的费用为150元，设平行于墙的边长为，垂直于墙的一边长为．
(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)若植物园面积为，求的值；
(3)求植物园的最大面积．
易错陷阱六、一次函数与反比例函数图象识别时混淆
一次函数与反比例函数综合题时，需注意两者的图像特征与参数关系。一次函数（形如）为直线，反比例函数（形如）为双曲线，需结合图像位置（象限分布）判断参数符号。
易错提醒：联立方程求交点坐标时，注意代入消元并检验解的合理性。当题目涉及函数值比较或不等式时，应通过图像交点分析解集范围。若涉及几何问题（如面积），需结合坐标轴分割法或利用点的对称性简化计算。对于存在性问题（如特殊点或图形），需结合函数性质与几何条件分类讨论
例11．如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
例12．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ．
变式6-1．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，且与过点的正比例函数图象交于点（点不在同一象限），则点的坐标为 ．
变式6-2．一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于A，B两点，其中点，
(1)求该反比例函数表达式．
(2)若把一次函数的图象向下平移b个单位长度，使之与反比例函数的图象只有一个交点，求b的值．
变式6-3．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数（）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为.
(1) ，并求反比例函数的解析式.
(2)已知点，过点P作平行于y轴的直线，交直线于点C，交函数（）的图象于点D.
①当时，求线段的长；
②若，结合函数的图象，直接写出m的取值范围.
1．下列图象中，函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为 ．
4．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（ ）
A．B．1C．3D．0
5．反比例函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
6．数学课上，李老师让同学们利用学习函数获得的经验去研究函数的图象特征．甲同学认为：该函数图象一定不经过第二象限，乙同学认为：该函数图象关于直线对称．以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲乙都正确B．甲乙都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
7．已知一次函数的图象与两坐标轴交于点，，且，则 ．
8．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价元，售价元；乙种服装每件进价元，售价元．现计划购进两种服装共件，其中甲种服装不少于件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若购进件服装的总费用不超过元，求最大利润为多少元
(3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为元，求的值．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点，．
(1)求，对应的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
10．如图，双曲线与直线交于点．
(1)求k的值；
(2)直接写出关于x的不等式的解集；
(3)若直线与双曲线，直线和y轴分别交于点B，C，D，且B，C，D中的两点关于第三点对称，求a的值．
反比例函数的图象是双曲线
图象
性质
（1）图象分别位于第一、三象限；
（2）在每个象限内，值随值的增大而减小
（1）图象分别位于第二、四象限；
（2）在每个象限内，值随值的增大而增大
对称性
反比例的图像关于原点的对称
型号
载客量
租金单价
A
30人/辆
380元/辆
B
20人/辆
280元/辆