易错07 平行四边形与特殊平行四边形（八大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战中考数学考试易错题（全国通用） 试题 含答案

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易错陷阱一、混淆多边形内角和公式
多边形内角和的计算公式为，其中n为多边形的边数。
易错总结：在计算过程中出错，如将边数误认为是顶点数，或者忘记了减2的步骤。
【例1】如图，在五边形中，，，，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∵五边形中，，，
∴．
故选：B．
【例2】一个正多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个正多边形是正 边形．
【答案】八
【详解】解：设正多边形的边数是，
根据题意得，，
解得，
这个多边形为八边形．
故答案为：八．
易错警示：因为多边形的外角和=360°，也可以求出正多边形的每个外角、每个内角
【变式1-1】花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：依题意正八边形外角和为，
∴每一个外角为．
故选：B．
【变式1-2】一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是 ．
【答案】7
【详解】解：设该多边形的边数为，根据题意，
可得 ，
解得 ，
则这个多边形的边数是7．
故答案为：7．
【变式1-3】已知过n边形的一个顶点有5条对角线，一个m边形的内角和是，则（ ）．
A．10B．11C．12D．13
【答案】D
【详解】∵过n边形的一个顶点有5条对角线，
∴
∴；
∵一个m边形的内角和是，
∴
∴
∴．
故选：D．
易错陷阱二、多边形的截线问题忽略分类讨论
易错提醒：一个边形剪去一个角后，若剪去的一个角只经过一个顶点和一边，则剩下的形状是边形，若剪去的一个角经过两条邻边，则剩下的形状是边形，若剪去的一个角经过两个相邻点，则剩下的形状是边形．所以遇到相关题目时，要分类讨论．
【例3】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A．或B．或C．或D．或或
【答案】D
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，
则，
解得，
多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少，
原来多边形的边数是或或．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况．
【例4】在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大，
(1)求这个多边形的边数；
(2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
【答案】(1)8
(2)或或
【详解】（1）解：设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为，
由题意得，，
解得，
又多边形的外角和为，
多边形的外角个数为，
这个多边形的边数为8；
（2）因为剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
若剪掉一个角后，边数增加了1条，即变成九边形，则此时内角和为；
若剪掉一个角后，边数减少了1条，即变成七边形，则此时内角和为；
若剪掉一个角后，边数不变，即还是八边形，则此时内角和；
将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或．
易错警示：：截线位置不同可能使边数增加、减少或不变，故需考虑全面
【变式2-1】将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数可能是 ．
【答案】5，6，7
【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故答案为：5，6，7．
【变式2-2】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为
【答案】、、
【详解】设内角和为的多边形的边数是，
于是有，
解得，
∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1，
即原多边形的边数为或或；
故答案为：、、
【变式2-3】已知一个多边形的内角和与外角和相加等于，
(1)求这个多边形的边数及对角线的条数；
(2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______．
【答案】(1)边数是12，对角线的条数是54
(2)或或
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为，
，
解得：；
对角线的条数为：；
所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54；
（2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，分以下三种情况：
当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为，
内角和；
当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为12，
内角和；
当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为，
内角和；
综上所述：当新多边形有13条边时内角和为，12条边时内角和为，11条边时内角和为．
故答案为：或或．
易错陷阱三、混淆平行四边形的性质和判定
一、平行四边形的性质
1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图： ；
2.角的性质：两组对角分别相等，如图：
3.对角线的性质：对角线互相平分。如图：
二、平行四边形的判定
1.与边有关的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
易错提醒：在应用平行四边形的判定和性质时要注意题目所给边或角是不是对边、对角，否则容易造成判定和性质的错用．
【例5】如图，，是平行四边形的对角线上的点，．请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
【答案】，，证明见解析
【详解】解：，，证明如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
【例6】如图，在四边形中，，是对角线上的两点．
(1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形．
(2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)见解析
【详解】（1）解：补充：
理由：∵，，
∴四边形为平行四边形；
（2）证明：连接交于O，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
又，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
易错警示：在记忆平行四边形的性质时，就按照边的性质、角的性质、对角线的性质三个方面来记即可；而其判定则是性质的逆定理，所以也从以上三个方向来记，总共有4＋1种判定方法
【变式3-1】如图，把两张宽度都是的纸条交错地叠在一起，相交成角．
(1)用含有的代数式表示重叠部分的面积．
(2)当时，求重叠部分图形的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：过点作于，作于，由题意得，
如图所示，
由题意可知，，，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是菱形；
，，
，
重叠部分的面积；
（2）解：由（1）可知，，
，
重叠部分的周长．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式3-2】如图，四边形是平行四边形，P是上一点，且和分别平分和．
(1)求的度数；
(2)如果，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
和分别平分和，
，，
，
；
（2）解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
同理可得：，
，
由（1）得：，
在中，，，
，
的面积．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，三角形的内角和定理，等角对等边，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
【变式3-3】如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求点D到的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：点E和点F是直线上的两点且，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：设点D到的距离为h，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点D到的距离是
易错陷阱四、题目中没有提供图形，需考虑全面
易错提醒：对于没有给出图形的题目，我们要根据题意自己画出图形，这时候就要注意分类讨论，要时刻保持分类讨论的思想，具体问题具体分析．
【例7】一个平行四边形两条邻边的长度分别是、，且一条底边上的高是，则这个平行四边形的面积是（ ）．
A．B．C．D．或者
【答案】A
【详解】解：假设高是底边上的高，那么和应该组成一个直角三角形，并且是直角边，是斜边，不符合直角三角形中斜边最长；所以，高是底边上的高，
∴这个平行四边形的面积是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积计算，直角三角形的特点，解题的关键是熟练掌握直角三角形中斜边大于直角边．
【例8】在平行四边形中 ，，，点为对角线的中点，连接．当是直角三角形时，的长为
【答案】或
【详解】解： 四边形是平行四边形，点为对角线的中点，
，，
当，即时，平行四边形是菱形，
，
是等边三角形，
；
当时，
，
，
，
；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．
易错警示：若未提供图形，容易因空间想象不足或性质理解偏差导致错误，例如：误判对角线长度或垂直关系，混淆判定条件（如将“一组对边平行且另一组对边相等”错误应用为平行四边形判定）；辅助线绘制不当（如错误连接对角线或作高）影响解题逻辑
【变式4-1】在平行四边形中，的平分线把边分成5和7两部分，则平行四边形的周长是 ．
【答案】34或38
【详解】解：∵平行四边形中，的平分线把边分成5和7两部分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，平行四边形的周长是,
当时，平行四边形的周长是,
∴平行四边形的周长是34或38．
故答案为：34或38．
【变式4-2】已知中，cm，cm，过点B作交所在的直线于H，若cm，则 cm．
【答案】或
【详解】解：①如图，在上，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；
②如图，在的延长线上，
由①同理可求：，
；
综上所述，cm或cm，
故答案：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，找出的不同位置是解题的关键．
【变式4-3】已知在中，和的平分线分别交直线交于点E，F，若，则的长为 ．
【答案】7
【详解】解：由题意知，分三种情况求解：
①在线段上，如图1，
由题意知，，，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②在直线上，如图2，
同①，可知，，
∵，
∴此情况不成立；
③当一点在线段上，一点在线段延长线上，如图3，
同①，可知，，
∵，
∴此情况不成立；
综上所述，的长为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边等知识．解题的关键在于分情况讨论求解．
易错陷阱五、混淆特殊平行四边形的判定和性质
平行四边形和特殊平行四边形之间的逻辑关系：
①平行四边形有一个角是直角的是矩形，再证明有一组邻边相等的就是正方形；
②平行四边行有一组邻边相等并且有一个角是直角的是正方形；
③平行四边形有一组邻边相等的是菱形，再证明有一个角是直角的就是正方形．
易错提醒：解答特殊平行四边形的相关问题时易错在张冠李戴，如将矩形的判定条件和性质误用到菱形上，为了避免此类错误，首先要须充分理解和熟记平行四边形和特殊平行四边形的判定和性质．
【例9】如图，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)与之间的关系是什么？请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)，，理由见解析．
【详解】（1）证明：中，，是中线，
，，
，
为的外角的平分线，
，
，
即，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：，，理由如下：
由（1）知，四边形为矩形，
，
中，是中线，
，
是的中位线，
，．
【例10】如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，且，则的边上的高是（ ）
A．B．C．5D．4
【答案】A
【详解】解：连接，，设的边上的高为h，与于点O，
∵折叠，使点C与点A重合，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
即的边上的高是，
故选：A．
易错警示：若混淆特殊平行四边形的判定与性质，会导致逻辑混乱和解题错误。例如，误将菱形的“对角线互相垂直”作为判定条件（实为性质），或误用矩形“对角线相等”直接判定四边形为矩形（需结合平行四边形前提）。这类错误可能引发条件误用、推理矛盾，甚至无法正确推导边长、角度或面积。
【变式5-1】如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，试求的度数．
【答案】
【详解】解：四边形是正方形，
，
又是等边三角形，
，，
，
，，
，
又，
．
【变式5-2】如图，在菱形中，，分别为上的动点，，点从点向点运动的过程中，试判断的长度是否发生变化？并说明理由．
【答案】的长度不会变化，理由见详解
【详解】解：的长度不变，理由如下，
如图所示，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，即，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的长度不会发生变化．
【变式5-3】如图，在正方形中，点在上，，是的中点，连接，，相交于点，若，则的长为 ．
【答案】/
【详解】解：在正方形中，，
且，是的中点，
，，，
在中，，
．
如图，过点作于点，过点作于点．
，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，平行的性质和判定，平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，根据题意添加辅助线是解题关键．
易错陷阱六、最短路径问题无法对应模型
常见的最短路径模型：已知：如图，定点和定点在定直线的同侧
要求：在直线上找一点，使的值最小（或的周长最小）
解法：作点关于直线的对称点，连接交于，点即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线为线段的中垂线，
由中垂线的性质得：，要使最小，则需值最小
易错提醒：做题中不能找出“最短路径”的模型，分析不出题目中哪些是模型中的点、哪些是模型中的线，从而导致解决不了此类问题
【例11】如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴点B与D关于直线对称，
连接交于点，连接，
则，
，
当B、N、M三点共线时，取得最小值，
则即为所求的点，
则的长即为的最小值，
∵四边形是正方形，
∴是线段的垂直平分线，
又，
在中，，
故的最小值是．
故选：C．
【例12】如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
，
A．12B．13C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，
，，
当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求，
四边形是正方形，
，
点在边上，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
由勾股定理得，，
的最小值是13
故选：B．
【变式6-1】如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（ ）

A．6B．C．12D．
【答案】B
【详解】解：作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如图：

由对称性可得，
，
当，，三点共线，且时，即点在点处，点在点处时，的值最小．
，，
，，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线．
【变式6-2】如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：作点E关于的对称点为，连接交于点P，如图所示，

∵E关于的对称点为，
∴，，
∵正方形的边长为2，点为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵周长，
又∵，
∴周长，
∴周长最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质．
【变式6-3】如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
菱形中，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
根据垂线段最短，此时最短，即最小，
菱形的边长为6，
，
．
的最小值是．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
易错陷阱七、图形变换前后的图形无法结合
易错提醒：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题，要弄清变化的过程，注意其中的不变量与变量，有时候往往是利用其中不变的量证明全等或相似后，再求变的量．所以解决此类问题的关键在于确定图形变换过程中不变量和变量，千万不能找错，否则容易造成后续证明中的错误．
【例13】如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点，交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴，
∵正方形沿方向平移得到正方形，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴，
根据勾股定理可得：，
则，
解得：（负值舍去），
故选：A．
【例14】如图，已知矩形，，，E，F分别为边上的动点，且，将四边形沿翻折到四边形，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：延长交于点，连接
由沿翻折可知直线经过点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
由翻折得到：，
∴，
∴当点三点共线时，取得最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键
易错警示：若无法区分不变量（如线段长度、角度、面积等）和变量（如位置、方向、坐标等），可能导致解题思路混乱或错误。例如，旋转中误判角度变化会导致全等关系错误，平移中混淆坐标变化可能引发计算错误。此外，无法识别对称性中的不变量（如对称轴性质）会导致无法应用定理，而错误代入变量可能使方程建立失败。
【变式7-1】如图，在矩形中，，，，是一动点，是由沿直线翻折得到，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：由折叠可得：，
，，
，
点在以为圆心为半径的圆上运动，
当、、共线时，的值最小，如图，
四边形矩形，
，
在中，，，
，
．
故答案为：．
【变式7-2】如图，在矩形中，，．将矩形绕点C旋转，得到矩形，点A的运动路径为，当点落在边上时，图中阴影部分的周长是 ．
【答案】
【详解】解：连接，，如图所示：
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
过点作于E，则四边形为矩形，
∴，，
由旋转性质，得：，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的长为,
∴图中阴影部分的周长是；
故答案为：.
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，弧长的计算，三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
【变式7-3】如图，将边长为7的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为6时，的长为 ．
【答案】1或6
【详解】解：设，与相交于点，
∵是正方形剪开得到的，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵两个三角形重叠部分的面积为6，
∴，整理得，，
解得：，
即移动的距离等于1或6．
故答案是：1或6．
【点睛】本题考查了平移的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，熟记平移的性质并用平移距离表示出重叠部分的底与高是解题的关键．
易错陷阱八、在动点问题中无法找到对应关系
动点问题：在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．
易错提醒：动点问题可转化为寻找定直线或定点，需要学习如何画辅助线找到定直线或定点
【例15】如图1，在菱形中，，连接，点从点出发，沿方向以的速度运动至点，同时，点从点出发，沿方向以的速度运动至点．设运动时间为(s)，的面积为()，与的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点E，
在菱形中，，
，，，
设，
在中，，
，
，
在中，，
，
点与点N的速度比为，，
点M运动到点A时，点N运动到点D，此时的面积取最大值，
，
，
解得（负值舍去），
菱形的边长为，
故选B．
【例16】如图，在中，，，，为边上一动点于，于，为中点，当点从点运动到点，点运动的路径长为（ ）
A．1.5B．2C．2.4D．2.5
【答案】D
【详解】解：连接，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
点M是的中点，
点M是与的交点，
，
取的中点为，的中点为，连接，
是的中点，M是的中点，
是的中位线，
，
，
是定值，
也是定值，
是定点，
在所在的直线上运动，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
三点共线，
，
当P与B点重台时，M与重合，当P与C点重合时，M与重合，
的运动路径长为的长度，即M运动的路径长为2.5，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理，垂线段最短，中位线性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
易错警示：在动点问题中若无法建立对应关系，解题时会因缺乏关键变量与定量之间的联系导致模型构建失败，难以通过方程或几何性质确定动点轨迹。可能遗漏运动规律中的隐藏条件（如对称性、速度比例），使分类讨论不完整，出现漏解或误判。同时，无法将动态变化转化为静态分析，导致数形结合失效，尤其在涉及最值、特殊图形时易错失得分点
【变式8-1】如图，在中，，，，点D以秒的速度从点C出发沿向A点运动，同时点E以秒的速度从点A出发沿向B点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点D作于点F，连接，设运动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形为菱形？
(2)当t为何值时，的面积为？
(3)当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与相似？
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【详解】（1）解：由题意，．
∵，，，
∴，．
∵，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形，
∴，即，
∴当时，四边形为菱形．
（2）解：由（1）知四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
解得：，，
∴当或时，的面积为；
（3）解：当时，，
∴，
解得：．
当时，，
∴，
解得：，
∴当或时，以A、D、E为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
【变式8-2】如图，在矩形中，，，动点P以的速度沿着折线，运动到点C时停止．已知与关于直线对称，连接．设运动时间为，连接，若是直角三角形，t的值为 ．
【答案】或或7或
【详解】解：连接，如图，
根据轴对称可得，
当时，
则，
，
，
，
，
；
当时，如图，
由题意得，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
解得：或（舍去）；
当时，如图，
∵关于对称，
∴点与点重合，
，
当时，点在的延长线上，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵关于对称，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴
综上所述，当是直角三角形时，的值为或或7或．
故答案为：或或7或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【变式8-3】在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
(1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为；
(2)连接、，当t为何值时，为直角三角形．
【答案】(1)
(2)或或
【详解】（1）解：作交于点，则，
由题意得，，，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
，
解得：，
当时，点P、Q之间的距离为．
（2）解：①若，作交于点，则，
由题意得，，，
，
在中，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，，
或；
②若，
，
四边形是矩形，
，，
，
由①得，，
在中，，
，
解得：，（舍去负值），
；
综上所述，当或或时，为直角三角形．
1．一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（ ）
A．12B．13C．12或13D．11或12或13
【答案】D
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得：
又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1，
原多边形的边数为11或12或13．
故选：D．
2．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，
∴，
∵是线段的中点，，
，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
，
故选： D．
3．如图，将正方形的边绕点逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵边绕点逆时针旋转一定角度得到，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故选：A ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键．
4．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交的延长线于点．若，，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：由作图过程可知，为的平分线，
．
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
5．如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为 ，的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点P作于点P，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，
∵，点O是的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最小值为：，
故答案为：；．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．如图，在长方形中，，把长方形沿直线翻折，点落在边上的点处，若，那么的长等于 ．
【答案】/
【详解】解：∵长方形中，，
∴，
设，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，（舍去），
∴．
故答案为：．
7．如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴.，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴要求的最小值，就是要求的最小值，
当时，取最小值，
在中，，，，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
8．如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，点在边上，且，将绕点旋转，点的对应点为点，连接、，则面积的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点为对角线的中点，
∴，
∵，将绕点旋转，点的对应点为点，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
设到的距离为，则，
当最小时，面积的最小，
过点作与点，交圆于点，则，
∵四边形是矩形，
∴与不重合，
过作于点，连接，
∵，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，
如图，此时与重合，与重合，
∴，
在中，,
∴，
∴，
∴，
∴面积的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，垂线段最短，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键．
9．如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ．
(1)求证：；
(2)若，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：∵平分，平分，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点作，交于点P，交于点，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
∵ ，由（1）知，，
∴，
∴，，
同理可得：
∴
∴在中，，
即，
故，
∴．
10．如图所示，、、、四点在一条直线上，四边形，为平行四边形．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）解：如图所示：
四边形为平行四边形，
，
，
又四边形为平行四边形．
，
，
；；
（2），
，
，
又，，
，
解得：，
又，
．
11．如图，在中，是对角线．
(1)请你用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，分别交、于点、（不写作法、保留作图痕迹）；
(2)判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，则四边形的周长为______．
【答案】(1)见解析；
(2)四边形是菱形，理由见解析；
(3)．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为的垂直平分线：
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
连接、，
，四边形是平行四边形，
，
，，
直线是的垂直平分线，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（3）解： ，，
，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形，
四边形的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及三角形相似的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，垂直平分线的作法及性质，熟练掌握菱形的判定与平行四边形的性质是解题的关键．