易错05 二次函数（八大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战中考数学考试易错题（全国通用） 试题 含答案

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易错陷阱一、忽略二次函数中a≠0
二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数.
其中是自变量，分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．
易错总结：题目中未指明函数是一次还是二次，要对函数进行分类讨论．
例1．已知二次函数开口向下，则 ．
【答案】
【详解】解：二次函数开口向下，
且，
解得：，
故答案为：．
例2．若二次函数有最小值，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：二次函数有最小值，
抛物线开口向上，二次项系数为正数，
，
解得：，
故答案为： ．
易错警示：在二次函数中，二次项系数不能为0，否则就不再是二次函数。这是一个基本但重要的性质，有时可能会被忽略
变式1-1．关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？
【答案】乙的说法对，理由见解析
【详解】解：乙的说法对，理由如下：
，
∵，
∴，
∴无论取何值，，
∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对．
变式1-2．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
【答案】A
【详解】解：抛物线与轴有交点，
关于的方程有实数根，且，
，且，
解得：且，
故选：A．
变式1-3．若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
【答案】B
【详解】解：当时，即，，与直线不平行，故有交点，
当时，函数的图象与直线有交点，
即时，
，
综上所述：实数的取值范围是，
故选：B．
易错陷阱二、画图时忽略了开口方向
二次函数中，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下
易错总结：在做题的时候，的情况比较多，则会习惯性以为每个图都是开口向上的，这是一个不好的习惯
例3．已知抛物线与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与轴的交点坐标；
(3)当在什么范围时，？当在什么范围时，？
【答案】(1)；
(2)，；
(3)当时，；当或时，．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，由解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标为和；
（3）解：由得，
∴抛物线的开口向下，又抛物线与轴的交点坐标为和，
∴当时，；当或时，．
例4．已知抛物线是常数，且）经过点，对称轴为直线，有下列结论：
①抛物线经过点；
②当时，；
③当关于x的方程有两个相等的实数根时，．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】解：∵抛物线是常数，且）经过点，对称轴为直线，
∴抛物线经过点，故①正确；
由题意得，
∴，
∵抛物线是常数，且）经过点
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故②错误；
方程化为，
∵，，
∴方程化为：，即，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴
解得：或（舍），故③正确，
∴正确的有2个，
故选：C．
易错警示：始终画成向上，会导致对函数性质的理解出现系统性偏差。具体表现为：无法正确判断函数的最值（最大值或最小值混淆）、增减性方向错误（开口向下时误认为对称轴右侧y值随x增大而增大）
变式2-1．直线与抛物线在同一平面直角坐标系内，直线与抛物线有两个交点，设两个交点间的距离为d，则下列说法正确的是（ ）
甲：当时，．
乙：当时，．
丙：符合条件的m的取值范围是．
A．甲、乙、丙三人都对B．只有甲对
C．只有乙对D．只有丙对
【答案】D
【详解】解：∵
，
令，
解得：，，
∴当时，直线与抛物线两个交点坐标为，，
此时两个交点间距离为：，
∵抛物线的开口向下，
∴当越小时，这两个交点间距离越大，
∴当时，，故甲的说法错误；
令，
解得：，，
∴当时，直线与抛物线两个交点坐标为，，
此时两个交点间距离为：，故乙说法错误；
∵抛物线的顶点坐标为，开口向下，
∴当时，直线与抛物线有2个交点，即符合条件的m的取值范围是，故丙说法正确；
综上分析可知，只有丙说法正确，
故选：D．
变式2-2．已知抛物线过点，，若抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，依题意，抛物线过点，，顶点在第一象限，
∴，
∵对称轴在轴的右侧，
∴，则，
∵抛物线过点，，
∴，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴，
即
故选：B．
变式2-3．已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴函数图象开口向下，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴关于对称轴的对称点为，
∵当时，y随x的增大而增大， ，
∴．
故答案为：B．
易错陷阱三、混淆二次函数中不同系数的作用
在二次函数中：①决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；
②和共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左边；当a与b异号时，对称轴在轴右边．
③决定抛物线与轴交点，抛物线与y轴交于．
易错提醒：需熟悉二次函数中系数代表的意义
例5．二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线，则过点 和点的直线一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】解：图象开口向上，对称轴为，图象与轴交于正半轴，与轴无交点，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴点在轴的正半轴上，点在第二象限，
∴过点 和点的直线一定不经过第三象限，
故选：C ．
例6．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 （ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】解：二次函数的开口向上，
，
一次函数中，随的增大而增大，
抛物线的对称轴直线在轴左侧，
，
，
抛物线交轴的负半轴，
，
，
一次函数交于轴的正半轴，
一次函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
易错警示：混淆二次函数系数的作用会导致对图像特征的错误分析。例如，若将系数的开口方向与系数的纵轴截距混淆，会误判抛物线开口或顶点位置；错误理解与对称轴的关系（如忽略的符号对对称轴方向的影响）会推导出错误的顶点坐标。此外，混淆的作用可能误判抛物线与x轴的交点数量。这些混淆会直接影响解题准确性，尤其在图像分析、最值求解及实际应用题中产生系统性偏差
变式3-1．如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．下列结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．方程的两个根为，
【答案】D
【详解】解：抛物线开口向下，
，
，
，
，故A错误；
抛物线与轴交于，点，
，故B错误；
∵，
∴，故C错误；
∵抛物线与轴交于，点
方程的两个根为，，故D正确．
故选：D．
变式3-2．如图，抛物线顶点坐标为，对于下列结论：①；②；③；④若方程没有实数根，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，顶点坐标为，开口向下，
∴，对称轴为直线，，
∴，
抛物线与y轴交于负半轴，
∴，
∴，
故①结论正确；
∵由图象可知：当时，，
∴，
故②结论错误；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，
解得，
故结论③正确；
∵方程没有实数根，
∴方程没有实数根，
∴，
解得:．
故④结论正确．
故选：C．
变式3-3．如图是二次函数（为常数）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①②③⑤D．①④⑤
【答案】B
【详解】解：抛物线开口向下，与y轴的交点位于正半轴，
，，
对称轴在y轴右侧，
a，b异号，
，
，
故①正确；
对称轴是直线，
，
，
，
故②正确；
抛物线与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，
抛物线与x轴的另一交点在点和之间，如图：
当时，，
，
故③错误；
由图可知，当时，y有最大值，
即，
（m为实数）；
故④正确；
如上图，当时，可能大于0，也可能小于0，
故⑤错误；
综上可知，正确的有①②④，
故选B．
易错陷阱四、平移变换易出错
与之间的关系
函数平移到的两种方法：
①（口诀:左加右减）（口诀:上加下减）；
②（口诀:上加下减）（口诀:左加右减）；
易错提醒：图象平移中，记得提取系数之后再进行左右平移变换
例7．将携物线向右平移6个单位，所得的抛物线解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：将抛物线向右平移6个单位长度，所得的抛物线解析式为：．
故选：C．
例8．将抛物线向上平移m个单位后经过点，则m的值为 ．
【答案】4
【详解】解：由题意得，平移后的函数解析式为，
代入得：，
解得：，
故答案为：4．
易错警示：二次函数的平移与一次函数的平移规律一样，但是二次函数平移需要先把一般式转化成顶点式，然后再根据平移规律平移
变式4-1．如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，抛物线经过点和点．

(1)点的坐标为______，点的坐标为______．
(2)求抛物线的函数表达式．
(3)将正方形沿轴向右平移，使点落在抛物线上，求平移的距离．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵三个小正方形的边长均为1，，边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，抛物线经过点和点，
∴，则，
∵点到轴的距离为，到轴的距离为，
∴，
故答案为：；；
（2）解：把点代入得，
，
解得，，
∴抛物线的函数表达式为；
（3）解：当时，，
整理得，，
解得，，
∴，
∴平移的距离为．
变式4-2．已知抛物线过点，顶点为Q，抛物线
(1)求a的值和点Q的坐标．
(2)求证：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上．
【答案】(1)，
(2)见解析
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线，
∴；
（2）证明：将向左平移个单位长度得到对应点的坐标为，
当时，，
∴在抛物线上．
变式4-3．已知抛物线经过点、、三点．
(1)求，的值及二次函数的表达式；
(2)将抛物线沿轴向左平移，所得抛物线经过点，点平移后的对应点为点，求平移后新抛物线的解析式和点的坐标．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：已知抛物线经过点、、三点，将点、、分别代入，
，
解得：，
；
（2）解：将抛物线沿轴向左平移，设平移距离为，
则平移后的抛物线方程为：，
抛物线经过点，
则，
，
，
整理得到：，
解得：（舍去）或，
，
点平移后的对应点为点，
故平移后新抛物线的解析式和点．
易错陷阱五、二次函数解决不等式不会看关键点
函数与不等式：可以看作当一个函数的函数值大（小）于另一个函数的函数值，通过两个函数的交点可求自变量相应的取值范围
易错提醒：容易把这类题型与求函数解析式题型混淆，直接去求函数解析式，思路错误后容易出现求解不出解析式的情况，导致无法做出答案
例9．如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】解：由图象得：不等式的解集是：，
故答案为：．
例10．如图，直线与坐标轴分别交于B，C两点，其中点坐标，抛物线与直线交于，两点．
(1)求抛物线的解析式及点坐标；
(2)直接写出关于不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)或
【详解】（1）直线经过，
∴，
，
直线，
令，则，
∴直线与轴交点．
抛物线经过，
，
∴，
抛物线解析式：，
令，
解得，
．
（2）由题意，∵，
∴，
∴关于x不等式的解集与不等式的解集相同．
∴关于x不等式的解集可以看作在的图象上方部分及相交的对应的自变量的取值范围．
∴结合图象可得，或．
变式5-1．如图，直线与抛物线交于点，，则不等式的解集为（ ）
A．或B． C． D．或
【答案】B
【详解】解：由图象可得，不等式的解集为．
故选：B．
变式5-2．如图，抛物线与直线相交于和，

(1)求和的值，及抛物线的解析式：
(2)结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，，
(2)或
【详解】（1）将代入得，
，
解得，
，
将代入得，
，
将和分别代入得
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由图可知：当或时抛物线在直线上方，
所以不等式的解集为或．
变式5-3．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：关于的不等式的解集为，
令
∴由图象得
∴和是方程的两个根，
∴，
∴设，
∴，
∴不等式化为：，
∴，
令，当时，则，
解得：，
∵开口向上，
∴当时，，
∴解析为：，
故选：C．
易错陷阱六、解决实际问题忽略自变量的取值范围
应用题的处理方式：
1.待定系数法：若题目提供的信息中明确二次函数，可设为，然后求出对应的参数．
2.列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于因变量（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式，并且要特别注意自变量的范围.
易错提醒：学生在应用函数解决实际问题时，容易忽视问题的实际背景，或者不理解如何将实际问题转化为数学问题
例11．如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，设矩形菜园的面积为（单位：米），的长为（单位：米）则关于的函数关系式是 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
例12．如图1是抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升3米后，则水面宽 米
【答案】
【详解】解：∵米，
∴当时，，
当水位上升3米时，，
把代入得，，
解得，
此时水面宽米，
故答案为：．
易错警示：忽略自变量的取值范围，会导致答案脱离实际或数学错误。例如，时间、人数等变量若取负值，或几何问题中边长违反“三角形两边之和大于第三边”的规则，结果将失去实际意义
变式6-1．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．
(1)请写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为？
(3)当x为多少时，矩形的面积最大？最大为多少？
【答案】(1)，；
(2)当，时面积等于；
(3)当x为时，矩形的面积最大，最大值为
【详解】（1）解：依题意，∵，且篱笆长为以及宽建造一扇门，
∴，
∴，
∵墙的长度不超过44，
∴，
即；
（2）解：依题意，，
，（舍）
当，时面积等于；
（3）解：∵，
∴函数的开口向下，故在对称轴处取得最大值，
则在取值范围之内，
把代入，解得，
答：当x为时，最大值为．
变式6-2．如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图所示，经过测量，可知斜坡的函数表达式为．
(1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离．
【答案】(1)
(2)米
【详解】（1）解：令，则，
则，
根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，
则设抛物线解析式为，
将代入，
可得：，
解得：，
∴水柱所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：对于抛物线，
令，得：，
整理可得：，
解得：，（舍去），
∴此时喷到处的水柱距出水口的水平距离米．
变式6-3．某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
假设一段时间内，不计其它因素和费用．解答下列问题：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？请说明理由；
(3)求公司销售这种绿茶最大周利润，此时周销售单价是多少？
【答案】(1)
(2)周销售单价定为80元，理由见解析
(3)当周销售单价为90元时．这种绿茶最大周利润为1800元
【详解】（1）设与的函数关系式为，把代入可得：
，
解得，，
；
（2），
（由－，舍去），
，
即周销售单价定为80元；
（3）周销售利润，
，
当周销售单价为90元时．这种绿茶最大周利润为1800元．
易错陷阱七、含参求最值时忘分类讨论
易错提醒：含参最值问题中，系数的符号不知道，函数的增减性就不清楚，故最值位置需分类讨论
例13．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
当抛物线开口向上时，，得抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵，
∴在这个范围内，
∵y的最小值为，
∴，与矛盾，
当抛物线开口向下时，，故抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小，
∵，
∴当时，取得最小值，且最小值为，
由y的最小值为，
得，
解得．
故选：B．
例14．已知二次函数，当，且时，的最小值为，最大值为，则 ．
【答案】0
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上，大致图象如下：
且，
，
分两种情况讨论：
第种情况：当时，此时，
∴当时，y随x增大而减小，
当时，y取最小值，即，
当时，最大值为，，
解得：或（舍）
∴，
当时，此时，
根据图象可得：当时，函数取得最小值，解得（舍）
故答案为：0．
易错警示：若忽略分类讨论，会导致错误结论。例如：当参数变化引起对称轴位置或区间范围改变时，未分类可能误判最值出现的位置（如顶点或区间端点），进而影响解题准确性。中考中此类问题常结合动态条件，缺乏分类思维易丢分，
变式7-1．已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（ ）
A．1B．C．1或D．1或
【答案】C
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵当时，该二次函数有最小值2，
∴当时，当时，，
∴，
解得：；
当时，对称轴为直线，
故当时，取得最小值为，
∴，
解得：；
综上所述，的值为1或，
故选：C．
变式7-2．二次函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为（ ）
A．1B．C．或2D．1或
【答案】D
【详解】解：二次函数的对称轴为，
当时，二次函数有最大值，
解得：，
当时，二次函数有最小值，
二次函数的对称轴为，
，
当时，有最大值，
可得：，
解得：，
综上所述的值为或．
故选：D．
变式7-3．当时，二次函数的最小值为0，则 ．
【答案】
【详解】解：，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线：
若 ，则
当时，y有最小值，解得：
若 ，在时， y随x的增大而减小，
时，y有最小值，
解得：（不合题意，舍去），
综上：
故答案为：．
易错陷阱八、与几何结合时考虑不全面
易错提醒：在做几何与函数相结合的题目时，要注意结合几何性质来确定函数，有时候往往需要分类讨论，做此题的方法，最好可以在直角坐标系中画出几何图形，有利于解题思路的打开
例15．如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标；
(3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴
∴点
将点和点代入得：
，
解得：
∴
（2）解：过点作轴，如图所示：
设点，则
∴
∴当，即点时，有最大；
（3）解：设点，
时，
解得：
∴；
时，
解得：或
∴或；
时，
解得：
∴；
综上所述，或或或
【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形问题，掌握二次函数的函数与性质是解题关键．
例16．已知抛物线与x轴交于两点，顶点为P，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式及点P的坐标．
(2)将这条抛物线平移，使斜平移后的抛物线经过点Q，交y轴于点E．
若点Q恰好在原抛物线上，是否存在以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在点Q的坐标为或使得以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：把代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线顶点P的坐标为；
（2）解：在中，当，
解得或，
∴，
设，，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
当为对角线，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
综上所述，存在点Q的坐标为或使得以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形．
易错警示：若考虑不全面会导致以下问题：①遗漏动点或图形位置的多种情况（如点在线段上方/下方），出现漏解；②混淆二次函数与一般函数的概念，忽略一次函数等特殊情况；③错误计算闭区间最值或面积最值
变式8-1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P在线段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值．
(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)）或．
【详解】（1）解：代入，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：令，则，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴t的值为2；
（3）解：存在点P，使，理由如下：
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∴P点坐标为）或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
变式8-2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，在抛物线上是否存在一点，使面积为8，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)存在，或或
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点
∴，
解得：，
∴解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
∵，
∴顶点为，
∵抛物线与抛物线关于原点成中心对称，
∴对于抛物线顶点为，，
∴抛物线：，
如图：
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
当时，，
解得：，
∴
当时，，
解得：，
∴或
综上所述，或或．
变式8-3．在平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点C，对称轴为直线．
(1)求抛物线L的表达式；
(2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线，使其经过原点．若在第二象限的抛物线上存在点P，使为等腰直角三角形，请求出抛物线的表达式．
【答案】(1)
(2)或或
【详解】（1）解：由题意，得，
解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：当时，，
∴，则，
∵，
∴，
由平移后抛物线过原点，可设表达式是，分三种情况：
①当为等腰直角三角形的斜边，如解图①所示，作轴于点Q，
，
，，
．
又，
，
，
，
点坐标是，
把代入得，，
．
∴平移后抛物线表达式为；
②当为等腰直角三角形的斜边，如解图②所示，过作轴于H，
同上可得，
，
点坐标是，
把代入得，，
．
∴平移后抛物线表达式为；
③当为等腰直角三角形的斜边，如解图③所示，
此时是的中点，
，
，
把代入得，．
∴平移后抛物线表达式为．
综上所述，平移后抛物线表达式为或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质等知识，要注意数形结合和分类讨论思想方法的运用．
1．若关于的函数是二次函数，则的值为（ ）
A．0B．2C．或2D．
【答案】B
【详解】解：关于的函数是二次函数，
且，
解得：，
故选：B．
2．二次函数 与一次函数（）的图象在同一坐标系中的大致位置是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：，一次函数经过一三象限，
二次函数的图象由向右平移k个单位得到，
故B正确；
故选：B．
3．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，下列结论：
①；
②该抛物线与轴的另一个交点坐标是；
③若点和在该抛物线上，则；
④对任意实数，不等式总成立．其中正确的有 ．
【答案】①③④
【详解】解：对称轴是直线，
，
故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故②错误；
将代入，可得，
由图像可知，此时图像在轴上方，故，故①正确；
时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故③正确；
时，函数有最大值，
故，即不等式总成立，故④正确；
故答案为：①③④．
4．已知抛物线（是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为，则；④抛物线是由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到的．其中一定正确的是 ．
【答案】②③/③②
【详解】解：∵抛物线的顶点为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的符号无法判断，故结论①错误；
∵，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，故结论②正确；
∵，，
∴，
∵的一个根为，
∴，
∴，故结论③正确；
∵抛物线的顶点为，
∴，
∴将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到，故结论④错误；
∴一定正确的是②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解的定义，用表示、的值是解题的关键．
5．已知二次函数，在时有最小值，则（ ）
A．5B．5或C．5或D．或
【答案】C
【详解】解：当时，
二次函数的开口向上，
此时该函数对称轴为直线，
即当时，函数有最小值，
∵二次函数（）在时有最小值，
∴，
解得，；
当时，
二次函数的开口向下，
此时该函数对称轴为直线，
即当时，y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而减小，
∵二次函数的自变量x的取值范围为，
∴当时，函数有最小值，
∵二次函数（）在时有最小值，
∴，
解得，；
综上，或，
故选：C．
6．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．
其中正确的序号是 ．
【答案】①②③
【详解】解：观察图象，可知，，，
，故①符合题意；
该抛物线的对称轴为直线，，
，，
点，点，
当时，，即，故②符合题意；
抛物线的对称轴为直线，即，
，
，
，
，
，
，
，故③符合题意；
当时，函数有最大值，
由，可得，
若为任意实数，则，故④不符合题意，
综上，正确的序号是①②③；
故答案为：①②③
7．已知二次函数的最大值为5，求a的值．
【答案】a的值为2或
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴抛物线的开口向下，且顶点的纵坐标为，
∵二次函数的最大值为5，
∴，
解得或，
∵a的值为2或．
8．在2024年巴黎奥运会跳水比赛中，中国跳水运动员以其精湛的技术和完美的表现赢得了全世界的瞩目，为了研究跳水运动员的运动轨迹，我们建立了如下的数学模型．跳水运动员从跳板起跳后，其身体（视为一点）在空中的运动轨迹可以近似地看作是一条抛物线．已知跳板的长度为，跳板距水面的高度为．运动员起跳后，在离起跳点（跳板右端）水平距离处达到距水面的最大高度．分别以，所在直线为轴和轴，点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求跳水运动员在空中的运动轨迹对应的函数解析式；
(2)求跳水运动员入水点距池边点的水平距离（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：跳板的长度为，运动员起跳后，在离起跳点（跳板右端）水平距离处达到距水面的最大高度，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数解析式为，
抛物线过点，
将点代入，得，
跳水运动员在空中的运动轨迹对应的函数解析式；
（2）解：由（1）知，抛物线对应的函数解析式，
当时，则，
解得，（不符合题意，舍去），
跳水运动员入水点C距池边点O的水平距离为．
9．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若抛物线上存在一点（不与点重合），使得，请求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或或
【详解】（1）解：抛物线与轴相交于两点，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴，
.
设P点纵坐标为m，
∵，
∴，
整理得：，
，
点的纵坐标为3或，
令，得，
令，得（舍去），，
∴点的坐标为或或．
10．如图1，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若点P是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点Q，当最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最小，求出此时点M的坐标；
(3)若点P在直线上的运动过程中，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，P点坐标为或或或
【详解】（1）解：∵抛物线交y轴于点，则，
再把代入抛物线，得：，
解得：，
所以抛物线的函数表达式为．
（2）解：设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴当时，最大为，此时，
当时，，
解得：或1，即
设直线的表达式为，代入B、Q两点坐标，
得，
解得，
∴直线的表达式为，
∵抛物线的对称轴为直线，把代入，得，
∴M点坐标为．
（3）解：存在，理由如下：
由抛物线的对称轴为直线、、 ，
设，
∴，
①当时，即，
得，
解得：，
∴P点坐标为或；
②当时，即，
得，
解得或1（舍去），
∴P点坐标为；
③当时，易知P点的横坐标为，
代入中得，
∴P点坐标为．
综上，P点坐标为或或或．
周销售单价x（元/千克）
70
75
80
85
90
95
周销售量y（千克）
100
90
80
70
60
50