（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练专题19 三角函数伸缩变换及其应用（2份，原卷版+解析版）

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考点一：用五点法作函数的图象
用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
考点二：函数中有关概念
表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相．
考点三：由得图象通过变换得到的图象
1、振幅变换：
，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．
2、周期变换：
函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．
3、相位变换：
函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．
4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径
【典型例题】
例1．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）根据表中数据，求函数的解析式；
（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值；
（3）在（2）条件下，求在上的增区间.
【解析】（1）由表可知，①，②，联立①②解得，，
.
（2）∵向左平行移动个单位后可得：，
再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）可得：，
令，，∴，，∴当时，此时最小值为；
（3）因为，令，，所以，，又，∴或，∴增区间为，.
例2．将函数向右平移个单位得到函数
（I）求的解析式；
（II）用“五点法”做出函数在一个周期内的函数图像.
【解析】（I）由题意；
（II）列表：
描点连线：
例3．已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为
(1)求函数的单调递增区间和其图象的对称轴方程;
(2)先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线C，再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求x的取值范围.
【解析】（1）因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，，所以，
由，可得，，
所以函数的单调递增区间为，
由得，所以所求对称轴方程为
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，
把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到的图象，
由得，所以，，
所以，，所以x的取值范围为
例4．已知函数的部分图象如图．
(1)求f（x）的表达式；
(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
【解析】（1）根据图象，可得，，∴
∴，将代入f（x），得，即，，
又，∴，∴．
（2）将函数（x）的图象向右平移个单位长度，得曲线C，由题得，
∵在[0，]上有两个不同的实数解，∴在[0，]上有两个不同的实数解．
∵，令，∴，则需直线与的图象在有两个不同的公共点．画出在时的简图如下：
∴实数m的取值范围是．
例5．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.
(1)根据条件具体写出关于的函数表达式；
(2)在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？
【解析】（1）中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即，，，
最低点到地面距离为10 m，所以，，又，则，
所以所求表达式为；
（2），，
取一个周期内，有，，．
所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过85m．
【过关测试】
一、单选题
1．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
【答案】A
【解析】根据题意得，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到，再向右平行移动个单位长度即可得到函数的图象.故选：A.
2．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到，再向左平移个单位，得到，令，，则，.显然，时，对称轴方程为，其他选项不符合.
故选：B
3．函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由函数，，的部分图象知，，，解得，再由五点法作图可得，解得；，
．故选：A．
4．已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是图象的一条对称轴；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【解析】对于①，的最小正周期为，故①正确；
对于②，，所以②不正确；
对于③，把函数的图象上所有点向左平移个单位长度得到，所以③不正确.故选：A.
5．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当时，（ ）
A．6B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得：，，所以，所以，
当时，，可得，即，因为，所以，所以，
所以，当时，，
此时，即点，所以，故选：A.
6．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为时，，则，
因为时，，则，
故，作出函数图象：
数形结合即可得到，故选：B.
7．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，因为，所以为偶函数，所以，解得，又，所以的最小值为．故选：D．
8．将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，再向下平移1个单位长度，最后向左平移个单位长度，得到函数的图象.若对任意，都存在，使得，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题，，又对任意，都存在，使得，故在上的值域包含在上的值域.又当时，，即在上的值域包含.又当时， ，且有解，故区间包含，排除AB；又当时，，因为，故不包含不合题意排除D；当时，此时，故，故此时在上的值域包含满足条件.综上所述满足条件，故选：C
二、多选题
9．函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）．
A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
【答案】ACD
【解析】由题图可知，，周期，所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，从而，故A正确；
令，，得，，故B错误；
令，，得，，故C正确；
函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
可得到，故D正确．故选：ACD.
10．把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．在区间上的最大值为
C．图像的一个对称中心为D．图像的一条对称轴为直线
【答案】AD
【解析】的图像向左平移个单位长度得函数，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数，其最小正周期为，A选项正确；
由，得，则当，即时，取最大值为，B选项错误；
令，，得，，所以函数的对称中心为，，所以不成立，C选项错误；令，，解得，，所以函数的对称轴为，，当时，，D选项正确；故选：AD.
11．如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q距离水平地面的高度与时间的函数为
B．点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为
C．经过10分钟点Q距离地面35米
D．摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟
【答案】CD
【解析】由题意知，OQ在分钟转过的角为，所以以OQ为终边的角为，
所以点Q距离水平地面的高度与时间的关系为，故A错误；
由，得，所以不是对称中心，故B错误；
经过10分钟，，故C正确；由，得，得，解得，共20分钟，故D正确.故选：CD
12．已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．若，则在上是单调增函数
B．若，则正整数的最小值为2
C．若，把函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数
D．若在上有且仅有3个零点，则
【答案】ABD
【解析】依题意，，对于A，，，当时，有，则在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确；
对于B，因，则是函数图像的一条对称轴，，整理得，而，即有，，故B正确；
对于C，，，依题意，函数，
这个函数不是奇函数，其图像关于原点不对称，故C不正确；
对于D，当时，，依题意，，解得，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．函数，的部分图象如图所示，则______．
【答案】0
【解析】由图象可知，函数的周期T＝8，所以，故，
因为，，所以．
故答案为：0.
14．已知函数在区间上是增函数，将函数的图像向左平移个单位后得到的图像与将其向右平移个单位后所得到的图像重合．则的值为________.
【答案】2
【解析】因为函数在区间上是增函数，所以，即；
函数的图像向左平移个单位后得到的函数为，
函数的图像向右平移个单位后所得到的函数为；
因为二者的图像重合，所以，，即.所以.故答案为：2.
15．已知函数的图象如图所示，将函数f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则关于x的方程在区间[－2022，2022]上有________个实数解．
【答案】8088
【解析】由图可知，由，得，因为，所以．
由，得，所以，
又因为所以，所以，所以．将函数f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，所以，最小正周期为1，因为关于x的方程在区间[0，1）上有2个实数解，所以关于x的方程在区间[－2022，2022]上有8088个实数解．
故答案为：8088.
16．将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若在上没有零点，则的取值范围______．
【答案】
【解析】由题意，，
因为在上没有零点，所以半周期，即，
因为，所以，
所以， 或，解得：或
所以，的取值范围是故答案为：.
四、解答题
17．已知函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值.
【解析】（1）根据函数，，的部分图像，
可得，，．
再根据五点法作图，，，故有．
根据图像可得，是的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为，．
（2）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向右平移个单位，得到的图像，即，
令，，解得，，可得的减区间为，，
结合，可得在上的单调递减区间为．
又，故当，时，取得最大值，即；
当，时，取得最小值，即．
18．某同学用“描点法”画函数在区间上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并在给出的直角坐标系中，画出在区间上的图象；
(2)利用函数的图象，直接写出函数在上的单调递增区间；
(3)将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，若图象的一个对称中心为，求的最小值
【解析】(1)因为，所以数据补全如下表：
故在区间上的图象如下图所示：
(2)令，解得，
所以函数在上的单调递增区间为，
(3)向左平移个单位得到，
的一个对称中心，，，
又，的最小值为．
19．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时刻与水深值（单位：）记录表：
经过长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可以近似用函数来描述．
(1)根据以上数据，求出时，函数的表达式；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），问该船在一天内（）何时能进入港口？
【解析】(1)，，，；
由表格数据知：最小正周期，即，；
，，
解得：，又，，.
(2)由题意知：若该船能进入港口，则需，
即，；，，
则当或或，即或或时，，
该船可在、和进入港口.
20．已知的最小正周期为，图像关于直线对称.
(1)求函数的解析式；
(2)将的图像上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图像上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，求的单调递增区间．
【解析】(1)因为的最小正周期为，所以；
因为图像关于直线对称，所以，即，
因为，所以；所以.
(2)由题意得；，，即，；
所以的单调递增区间为.
21．已知函数.
(1)求函数图象的对称轴；
(2)将函数图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数k的取值范围.
【解析】（1）因为，所以.
令，，解得，，所以函数图象的对称轴为直线，.
（2）依题意，将函数的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为.函数在上有两个零点，
即函数的图象与直线在上有两个交点，如图所示，
所以，即，所以实数k的取值范围为.
22．已知函数，且的最小正周期为，将的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数，其中为的一条对称轴．
(1)求函数与的解析式；
(2)若方程在区间有解，求实数t的取值范围．
【解析】(1)由条件则且的最小正周期为，则
即，将的图像沿轴方向向左平移个单位，得到函数
且为的一条对称轴，即由可得
从而可得，．
(2)由（1）可知
记
即，
再记，，
代入中，则的值域求解问题等价于，的值域，
当时，；当时，
因此的值域为，也即为
原命题“若方程在区间有解”
即等价于在内有解
只需即可，解得即为所求．0
0
5
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