【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题07 三角恒等变换（知识梳理）

专题07   三角恒等变换（知识梳理）

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重难点突破

知识点一  两角和与差公式的基本应用  

.               

=   (由点的象限决定, ).

例1．（1）、（2021·全国·高一课时练习）的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

结合两角差的余弦公式求得正确结论.

【详解】

原式.

故选：A

（2）、（2021·全国·高一课时练习）已知，若，则________．

【答案】

【分析】

先求出，利用两角和的余弦公式即可求得.

【详解】

因为，，所以，

所以.

故答案为：.

【变式训练1-1】、（2021·全国·高一课时练习）计算：___________.

【答案】

【分析】

利用诱导公式及两角和的正弦公式计算可得；

【详解】

解：

故答案为：

【变式训练1-2】、已知，，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，

【变式训练1-3】、（2021·全国·高二课时练习）的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据两角和差的正弦公式进行求解即可.

【详解】

故选：B

知识点二  两角和与差公式的变形应用与逆向应用

例2.（1）、（2021·全国·高二课时练习）已知，，则（    ）

A．1 B．2

C． D．

【答案】C

【分析】

利用同角三角函数的关系式求出，然后利用正弦的和角公式即可求出答案.

【详解】

因为，，所以，

所以.

故选：C.

（2）（2018·上海交大附中高一开学考试）已知，，且、均为锐角，则______.

【答案】

【解析】由得，所以

，

∴，由于、均为锐角，所以.故答案为：.

【变式训练2-1】、（2021·全国·高二课时练习）（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】

利用和角的正切公式得到，代入即得解.

【详解】

由题得，

所以

.

故选：B

【变式训练2-2】、已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－＜α＜，－＜β＜，则α＋β的值为(　　)

A． B．－

C．或－ D．－或

【答案】B

【解析】由一元二次方程根与系数的关系得tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，∴tan α＜0，tan β＜0.

∴tan(α＋β)＝＝＝.又∵－＜α＜，－＜β＜，且tan α＜0，tan β＜0，

∴－π＜α＋β＜0，∴ α＋β＝－.

知识点三  二倍角与半角公式的应用

.             

.          

例3．（1）、（2021·全国·高二课时练习）已知，则______.

【答案】

【分析】

根据同角的三角函数关系，结合二倍角的正弦公式进行求解即可.

【详解】

，

故答案为：

（2）．（2021·全国·高二课时练习）若，则的值是______.

【答案】

【分析】

利用二倍角的正余公式及同角公式化简给定三角式，再求出的值并代入计算即可.

【详解】

依题意，，

而，

于是得，

所以的值是.

故答案为：

（3）、（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）下列各式中，值为的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于选项A：；对于选项B：；对于选项C：；对于选项D：；故选C

（4）．（2021·江苏·高一课时练习）（多选题）下列四个等式，其中正确的是（　　）

A．tan25°+tan35°tan 25°tan35°

B．

C．cos2sin2

D．4

【答案】ABD

【分析】

由题意利用二倍角公式、两角和差的三角公式逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【详解】

解：对A：，故，故正确；

对B：，故，故正确；

对C：，故错误；

对D：，故正确．

故选：．

【变式训练3-1】、（2021·全国·高二课时练习）若，则______.

【答案】

【分析】

根据同角的三角函数关系式，结合二倍角正切公式进行求解即可.

【详解】

，

所以，

故答案为：

【变式训练3-2】、（2021·全国·高一单元测试）（多选题）下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】

运用二倍角公式，结合诱导公式和特殊角的三角函数值的求法即可得到答案.

【详解】

选项A，，错误；

选项B，，正确；

选项C，，正确；

选项D，，错误.

故选：BC.

【变式训练3-3】、（2020·营口市第二高级中学高一期末）（多选题）化简下式，与相等的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】

对于A：，由解得，即，解得，故A错误；

对于B：因为所以， 故B正确；

对于C：

对于D：

故选：BC

知识点四  三角函数的综合应用

例4．设函数，其中．已知．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．

【解析】（Ⅰ）因为，

所以

由题设知，

所以，．

故，，又，

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

所以．

因为，

所以，

当，

即时，取得最小值．

例5．（2021·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）化简 最小正周期；

（2）当时，．

①当为偶数时， ．．②当为奇数时，同理得： 即可求出m的取值范围．

【详解】

（1）

．

的最小正周期．

（2）由（1）知．

当时，，，

即．

①当为偶数时， ．

由题意，只需．

因为当时，，所以．

②当为奇数时， ．

由题意，只需．

因为当时，，所以．

综上所述，实数的取值范围是．

【点睛】

(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；

(2)求参数的取值范围，通常采用分离参数法．

【变式训练5-1】、已知函数．

(Ⅰ)求的定义域与最小正周期；

(Ⅱ)讨论在区间[]上的单调性．

【解析】(Ⅰ)的定义域为．

所以的最小正周期．

令函数的单调递增区间是

由，得

设，

易知．

所以， 当时， 在区间上单调递增， 在区间上单调递减．

【变式训练5-2】、（2021·浙江·丽水外国语实验学校高三期末）已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【详解】

试题分析：不论研究三角函数的哪一种性质，首先要利用降幂公式和辅助角公式把函数化为的形式之后再开始研究，借助复合函数的思想利用正弦函数的单调性解不等式求出函数的单调增区间；当已知函数值时，转化为正弦函数方程去解，但要注意x的取值范围，解三角方程.

试题解析：

＝

所以，函数的单调递增区间为：

（2）， ，

又，，                  

.

【点睛】不论研究三角函数的哪一种性质，首先要利用降幂公式和辅助角公式把函数化为的形式之后再开始研究，借助复合函数的思想利用正弦函数的单调性解不等式求出函数的单调增区间；有了三角函数的解析式，可以求值、求周期、求单调区间，求最值、求范围、求对称轴、求对称中心、已知函数值求自变量等.

【变式训练5-3】、（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高一期中）已知函数 .

(1) 求的最小正周期和单调递增区间；

(2) 若关于的方程在上有解,求实数的取值范围.

【答案】(1)，单调递增区间为.(2).

【详解】

试题分析：

(1)整理函数的解析式可得，据此可得函数的最小正周期，单调递增区间为.

(2)由题意可得，结合(1)中的函数解析式可知的值域为.而，故.

试题解析：

(1)

，

最小正周期，

函数的单调递增区间满足：，

解得的单调递增区间为.

(2)，所以，

，

所以的值域为.

而，所以，即.

点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：

第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．

第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围．

第三步：求出所求函数的值域(或最值)．