人教A 版 2019 高中数学高一上学期（必修一）期末高频考点题型专题训练-24 三角恒等变换（教师版+学生版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25716" 考点1 两角和差的正弦余弦正切 PAGEREF _Tc25716 \h 1
\l "_Tc15346" 【热考题型1】两角和差的正(余)弦公式化简求值 PAGEREF _Tc15346 \h 2
\l "_Tc19010" 【热考题型2】两角和差的正切公式化简求值 PAGEREF _Tc19010 \h 2
\l "_Tc24359" 【热考题型3】求15°、75°等特殊角的三角函数值 PAGEREF _Tc24359 \h 2
\l "_Tc9840" 【热考题型4】逆用和、差角的公式化简求值 PAGEREF _Tc9840 \h 2
\l "_Tc11867" 考点2 二倍角公式 PAGEREF _Tc11867 \h 3
\l "_Tc28211" 【热考题型5】二倍角公式化简求值 PAGEREF _Tc28211 \h 3
\l "_Tc5390" 【热考题型6】给角求值型问题 PAGEREF _Tc5390 \h 4
\l "_Tc26052" 【热考题型7】给值求角型问题 PAGEREF _Tc26052 \h 4
\l "_Tc31362" 【热考题型8】半角公式求值 PAGEREF _Tc31362 \h 5
\l "_Tc25500" 【热考题型9】万能公式求值 PAGEREF _Tc25500 \h 5
\l "_Tc15998" 【热考题型10】二倍角公式证明恒等式 PAGEREF _Tc15998 \h 5
\l "_Tc1721" 考点3 辅助角公式 PAGEREF _Tc1721 \h 6
\l "_Tc4376" 【热考题型11】用辅助角公式化简三角函数式 PAGEREF _Tc4376 \h 7
\l "_Tc16311" 【热考题型12】借助辅助角公式求解三角函数问题 PAGEREF _Tc16311 \h 7
\l "_Tc9683" 易错题型(练易错) PAGEREF _Tc9683 \h 8
\l "_Tc19461" 高分必刷(刷高分) PAGEREF _Tc19461 \h 10
考点1 两角和差的正弦余弦正切
1．两角和差的正弦、余弦和正切公式
（1）两角和与差的正弦：
（2）两角和与差的余弦：
（3）两角和与差的正切：
.
.
注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；
②公式的变形：；
\l "_Tc17993" 【热考题型1】两角和差的正(余)弦公式化简求值
【典型例题1】已知，，则 ．
【变式训练1】已知，，则= ．
【变式训练2】已知，是第三象限角，则的值是 ．
【变式训练3】已知，，，则 .
\l "_Tc17993" 【热考题型2】两角和差的正切公式化简求值
【典型例题1】已知，则 .
【变式训练1】已知，则的值为 .
【变式训练2】已知，都是锐角，，，则 ．
【变式训练3】
\l "_Tc17993" 【热考题型3】求15°、75°等特殊角的三角函数值
【典型例题1】计算（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1】 （ ）
A．B．C．D．
【变式训练2】（ ）．
A．B．C．D．
【变式训练3】 ．
\l "_Tc17993" 【热考题型4】逆用和、差角的公式化简求值
【典型例题1】（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1】的值为( )
A．B．C．D．
【变式训练2】若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3】（ ）
A．B．C．D．
考点2 二倍角公式
1．二倍角公式
（1）二倍角的正弦：；变形
（2）二倍角的余弦：.
（3）二倍角的正切：
2. 升（降）幂缩（扩）角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
半角公式
＝±， ＝±，
以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．
；
万能公式
； ；
\l "_Tc17993" 【热考题型5】二倍角公式化简求值
【典型例题1】已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1】已知，则 ．
【变式训练2】若，，则 ．
【变式训练3】已知角为第二象限角，且，则 ．
\l "_Tc17993" 【热考题型6】给角求值型问题
【典型例题1】（ ）．
A．B．C．D．
【变式训练1】式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2】（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3】的值为（ ）
A．B．C．D．
\l "_Tc17993" 【热考题型7】给值求角型问题
【典型例题1】已知，均为锐角，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1】已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练2】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3】已知，则（ ）
A．B．C．D．5
\l "_Tc17993" 【热考题型8】半角公式求值
【典型例题1】已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1】已知是第三象限的角，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2】若为第三象限角，且，则（ ）
A．B．C．2D．
【变式训练3】已知为锐角，若，则（ ）
A．B．C．D．
\l "_Tc17993" 【热考题型9】万能公式求值
【典型例题1】已知第二象限角满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1】已知且，则（ ）
A．2B．1C．0D．
【变式训练2】已知，则 ．
【变式训练3】已知，求
(1)及的值；
(2)
\l "_Tc17993" 【热考题型10】二倍角公式证明恒等式
【典型例题1】证明下列等式：
(1)
(2).
【变式训练1】求证：．
【变式训练2】（1）证明：；
（2）化简：．
【变式训练3】证明：．
【变式训练4】证明：.
考点3 辅助角公式
1．辅助角公式
对于形如的式子，可变形如下：
=
由于上式中和的平方和为1，
故令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，
或由和共同确定．
三角恒等变换综合应用的解题思路
（1）将化为的形式；
（2）构造
（3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)；
（4）利用研究三角函数的性质；
注：研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcs x转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acs(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质．
\l "_Tc17993" 【热考题型11】用辅助角公式化简三角函数式
【典型例题1】代数式可化为的形式，此时 .
【变式训练1】已知，则（ ）
A.B.C.D.
【变式训练2】若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3】化简下列各式：
（1）R）.
（2）.
（3）.
\l "_Tc17993" 【热考题型12】借助辅助角公式求解三角函数问题
【典型例题1】已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值；
(2)判断并证明函数在区间上的单调性.
【变式训练1】已知函数的周期为.
(1)求的值及函数的单调递增区间；
(2)若，求的最大值和最小值以及取得最值时相应的值．
【变式训练2】．
(1)求的最小正周期；
(2)求函数的对称轴和对称中心；
(3)设方程在区间内的两解分别为，，求的值．
【变式训练3】已知.
(1)将化成的形式；
(2)求在区间上的值域.
易错题型
1．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（ ）
A．B．C．D．
4．的值是（ ）
A．B．C．D．
5．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．
9．已知，则 ．
10． ．
11．已知满足，则 ．
12．已知，是第三象限角，则
13．已知，，则 .
14．化简：（ ）
A．B．C．D．
15．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
16．若，则（ ）
A．B．C．D．
17．已知，则（ ）
A．B．C．D．
18．已知，，，则 .
19．已知，则 .
20．已知，，则 .
21．若且，则 .
22．已知都是锐角，．
(1)求的值；
(2)求的值．
23．已知，且．
(1)求，的值；
(2)已知，且，求的值．
24．（1）已知，求的值；
（2）若，求的值.
25．利用和（差）角公式计算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)
26．求值：
(1)；
(2).
27．已知且，求：
(1)；
(2)．
28．已知函数．
(1)若是三角形中一内角，且，求的值；
(2)若函数在内有唯一零点，求的范围．
29．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若锐角满足，求.
高分必刷
1．已知，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．或
2．已知为钝角，且，则角等于 .
3．若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．下列式子运算正确的有 （ ）
A． B．
C．D．
5．（ ）
A．1B．C．D．
6．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．若，则（ ）
A．0B．C．1D．4
8．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
9．的值为（ ）
A．B．C．D．
10．若，则（ ）
A．B．C．D．1
11．已知，则为第二象限角，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
12．若，则（ ）
A．B．C．D．
13．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
14．已知则等于（ ）
A．B．C．D．
15．利用半角公式，求 ．
16．求值： ．
17． ．
18．若，则 .
19．若，则 .
20．已知，其中
(1)求；
(2)求．
21．已知且，求的值．
22．已知，求证：．
23．（1）已知，，，求的值．
（2）已知，，且，求的值．
24．已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
25．求证下列恒等式：
(1)；
(2)
26．已知．
(1)求的周期；
(2)求在的值域；
(3)若，求的值．
27．已知函数已知.
(1)求函数的周期、对称轴、对称中心;
(2)求在上的单调区间与最值；
(3)若对，不等式恒成立，试求的取值范围.
28．已知函数．
(1)将化简成的形式；
(2)求函数的对称轴方程；
(3)若函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围．