九年级上学期数学压轴必考题型——图形的旋转练习（含答案）

这是一份九年级上学期数学压轴必考题型——图形的旋转练习（含答案），共61页。
1．（2020秋•滨海新区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF，其中，E，F是点B，C旋转后的对应点，BE，CF相交于点D．当旋转到AF∥BE时，则∠CAE的大小是（ ）
A．90°B．75°C．60°D．45°
2．（2021春•太原期末）如图，将正六边形ABCDEF绕它的中点O顺时针旋转一定角度，可以使边BA与AF重合，则旋转角的最小度数为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．180°
3．（2021春•江岸区校级月考）四边形ADBC中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30，BC＝12，AC＝14，则CD的值为（ ）
A．15B．14C．12+7D．20
4．（2021春•川汇区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一只蚂蚁从原点O出发向右移动1个单位长度到达点P1；然后逆时针转向90°移动2个单位长度到达点P2；然后逆时针转向90°，移动3个单位长度到达点P3；然后逆时针转向90°，移动4个单位长度到达点P4；…，如此继续转向移动下去．设点Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，则x1+x2+x3+…+x2021＝（ ）
A．1B．﹣1010C．1011D．2021
5．（2020秋•涪城区期末）如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF．则AE+PB+PC的最小值为（ ）
A．2B．8C．5D．6
6．（2021春•镇江期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．+1
7．（2021春•开福区期中）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝2，PB＝2．下列结论：①PD＝PB；②EB⊥ED；③△APD≌△AEB；④点B到直线AE的距离为2；⑤S△APB+S△APD＝2+4．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．②③⑤C．②③④D．①③⑤
8．（2021春•抚州期末）如图所示，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一个动点（点D不与B，C重合），将△ADC绕点A顺时针旋转一定角度后得到△AFB，过点F作BC的平行线交AC于点E，连接DF，下列四个结论中：①旋转角为60°；②△ADF为等边三角形；③四边形BCEF为平行四边形；④BF＝AE．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2021春•历城区期末）如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．1B．3C．3D．2.5
10．（2021春•龙岗区期中）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二．填空题
11．（2020秋•惠城区期末）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点A′落在直线BC上，连接AB′，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则AB′的长为 ．
12．（2021春•南关区期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A1，AB⊥a于点B，A1D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 ．
13．（2021春•长春期末）将△ABC绕着点C顺时针旋转60°后得到△DEC，若∠A＝40°，∠B＝110°，则∠BCD的大小是 ．
14．（2021春•建邺区校级期中）如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD，当α为 度时，△AOD是等腰三角形．
15．（2021春•江岸区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，D是BC的中点，F是直线AB上一动点，线段DF绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，当点F运动时，CE的最小值是 ．
16．（2021春•平顶山期末）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，点D在边AB上，且BD＝1，E是边AC的中点，将线段BD绕点B顺时针旋转，点D的对应点为F，连接AF，EF，当△AEF为直角三角形时，AF＝ ．
17．（2021春•北仑区期末）如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有 ．
①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．
18．（2021春•龙华区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D是线段BC上一点，将线段AD绕D点逆时针旋转90°至DE，连接AE、BE．当AD＝3时，BE＝ ．
19．（2021春•工业园区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得△DCE，直线DA、BE相交于点F．取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为 cm．
20．（2021春•武昌区期末）如图是一张面积为10的△ABC纸片，其中BC＝5，∠ABC＝45°，DE是三角形的中位线，M，N分别是线段DE，BC上的动点．沿着虚线将纸片裁开，并将MN两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点D，E旋转180°在同一平面内拼图，使得BD与AD重合，CE与AE重合．则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为 ．
三．解答题
21．（2021•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．
（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；
（2）连接CC1，△ACC1的面积为 ；
（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．





22．（2021•德阳）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．







23．（2021春•卧龙区期末）如图，已知四边形ABCD．
（1）画出四边形ABCD向上平移5格后的四边形A1B1C1D1；
（2）画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A2B2C2D2；
（3）画出四边形ABCD关于直线MN成轴对称的四边形A3B3C3D3；
（4）四边形A2B2C2D2与四边形A3B3C3D3是否对称？若对称，在图中画出对称轴或对称中心．



24．（2021春•南关区期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，将△ABC沿AC方向平移，当点A移动到点A1时，画出平移后的△A1B1C1；
（2）在图②中，作△ABC关于直线MN对称的△DEF，且点D、E、F均在格点上；
（3）在图③中，作△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2．



25．（2021春•仁寿县期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
（1）作出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后所得的△AB2C2；
（3）在OM上做出点P，使△PBC的周长最小．




26．（2020秋•播州区期末）如图，平面直角坐标系中有点A（0，6），B（6，0），点D为线段OB上一个动点（点D不与点O、B重合），点C在AB的延长线且CD＝AD，点C关于x轴的对称点为M，连接DM，AM．
（1）求证：∠OAD＝∠CDB；
（2）点D为OB的中点时，求点M的坐标；
（3）点D在运动的过程中，∠DAM的值是否发生变化？如果变化，请求出∠DAM的度数的取值范围；如果不变，请求出∠DAM的度数．

27．（2021春•九龙坡区校级期末）同学们，等边三角形、等腰直角三角形都是最常见的几何图形．
（1）如图1，以等边△ABC的边BC为腰作等腰直角△BCD，其中∠DBC＝90°，BD＝CB，点D，点A都在BC同侧，延长BD、CA交于点M、连接AD，求∠MAD的度数．
（2）如图2，在（1）的条件下，作BN平分∠DBC交AC于点N，求证：MD＝CN；
（3）如图3，将图（1）的△CBD沿着BC翻折得到△CBD1，连接AD1，P为AD1中点，连接BP并延长交CD1于点Q、请猜测CQ、BP、PQ三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．





28．（2021春•卧龙区期末）如图①，我们把一副两个三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝45°，∠C＝30°，
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图②，将图①中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA'B'的位置，求当∠AOA'为多少度时，OB'平分∠COD；
（3）如图③，两个三角尺的直角边OA，OD摆放在同一条直线上，另一条直角边OB，OC也在同一条直线上，将△OAB绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当AB∥CD时，旋转角的度数是 ．




29．（2021春•淮阴区期末）定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（1）如图1，OP是∠MON的平分线，请你在图1中画出一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．
（2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
①如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．猜想FE和DF之间的数量关系，直接写出结论．
②如图3，在△ABC中，如果∠ACB≠90°，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题 图形的旋转
一．选择题
1．（2020秋•滨海新区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF，其中，E，F是点B，C旋转后的对应点，BE，CF相交于点D．当旋转到AF∥BE时，则∠CAE的大小是（ ）
A．90°B．75°C．60°D．45°
【思路引导】由旋转的性质可得∠EAF＝∠BAC＝40°，AB＝AE，再由平行线的性质得∠FAE＝∠AEB＝40°，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠BAE的度数，即可求解．
【完整解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF，
∴∠EAF＝∠BAC＝40°，AB＝AE，
∵AF∥BE，
∴∠EAF＝∠AEB＝40°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝40°，
∴∠BAE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝100°﹣40°＝60°，
故选：C．
2．（2021春•太原期末）如图，将正六边形ABCDEF绕它的中点O顺时针旋转一定角度，可以使边BA与AF重合，则旋转角的最小度数为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．180°
【思路引导】连接OA、OB、OF，由正六边形的性质得出∠AOB＝∠AOF＝60°，进而即可求解．
【完整解答】解：连接OA、OB、OF，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝∠AOF＝＝60°，
∴将正六边形ABCDEF绕它的中点O顺时针旋转60°，BA与AF重合，
∴旋转角的最小度数为60°，
故选：A．
3．（2021春•江岸区校级月考）四边形ADBC中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30，BC＝12，AC＝14，则CD的值为（ ）
A．15B．14C．12+7D．20
【思路引导】把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接CE，作EM⊥CD于M，则AC＝AE＝14，结合旋转的性质求得∠ADE+∠ADC＝240°，在Rt△EDM中，∠DEM＝30°，然后利用含30°的直角三角形性质及勾股定理列方程求解即可．
【完整解答】解：如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接CE，作EM⊥CD于M，
则AC＝AE＝14，∠CAE＝90°，∠ADE＝∠ABC，DE＝BC＝12，
在Rt△ACE中，CE2＝AC2+AE2，
∴CE＝28，
∵∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣30°﹣90°＝240°，
∴∠ADE+∠ADC＝240°，
∴∠CDE＝120°，即∠EDM＝60°，
在Rt△EDM中，∠DEM＝30°，
∴DM＝DE＝6，ME＝＝6，
在Rt△CEM中，设CD＝x，则CM＝6+x，
∴（6+x）2+（6）2＝282，
解得：x1＝﹣32 （舍去），x2＝20，
∴CD＝20，
故选：D．
4．（2021春•川汇区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一只蚂蚁从原点O出发向右移动1个单位长度到达点P1；然后逆时针转向90°移动2个单位长度到达点P2；然后逆时针转向90°，移动3个单位长度到达点P3；然后逆时针转向90°，移动4个单位长度到达点P4；…，如此继续转向移动下去．设点Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，则x1+x2+x3+…+x2021＝（ ）
A．1B．﹣1010C．1011D．2021
【思路引导】根据各点横坐标数据得出规律，进而得出x1+x2+…+x8；经过观察分析可得每4个数的和为﹣2，把2020个数分为505组，求出x2021＝1011，即可得到相应结果．
【完整解答】解：根据平面坐标系结合各点横坐标得出：x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8的值分别为：1，1，﹣2，﹣2，3，3，﹣4，﹣4；
∴x1+x2+…+x8＝﹣4，
∵x1+x2+x3+x4＝1+1﹣2﹣2＝﹣2，
x5+x6+x7+x8＝3+3﹣4﹣4＝﹣2，
x97+x98+x99+x100＝﹣2，
∴x1+x2+…+x2020＝﹣2×（2020÷4）＝﹣1010，
∵x2021＝1011，
∴x1+x2+x3+…+x2021＝1，
故选：A．
5．（2020秋•涪城区期末）如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF．则AE+PB+PC的最小值为（ ）
A．2B．8C．5D．6
【思路引导】连接PE，BF，过B作AF垂线交FA延长线于G，由旋转性质得AP＝AE，∠PAE＝∠CAF＝60°，PC＝EF，再证明△APE为等边三角形，将AE+PB+PC转化为PB+PE+EF≥BF，再在直角△BGF中由勾股定理求出BF即可．
【完整解答】解：如图，连接PE，BF，过B作AF垂线交FA延长线于G，
∵△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，
∴AP＝AE，∠PAE＝∠CAF＝60°，PC＝EF，
∴△APE为等边三角形，
即AE＝PE，
∴AE+PB+PC＝PB+PE+EF≥BF，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝120°，
∴∠BAG＝60°，
∴AG＝AB＝2，GF＝2+6＝8，
∴BG＝＝＝2，
∴BF＝＝＝2．
故选：A．
6．（2021春•镇江期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．+1
【思路引导】连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG＝AE，连接PG，GE，通过SAS证明△AEF≌△AGP，得PG＝EF＝2，再利用勾股定理求出GE的长，在△GPE中，利用三边关系即可得出答案．
【完整解答】解：连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG＝AE，连接PG，GE，
∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，
∴AF＝AP，∠PAF＝90°，
∴∠FAE+∠PAE＝∠PAE+∠PAG＝90°，
∴∠FAE＝∠PAG，
在△AEF和△AGP中，
，
∴△AEF≌△AGP（SAS），
∴PG＝EF＝2，
∵BC＝3，CE＝2BE，
∴BE＝1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE＝，
∵AG＝AE，∠GAE＝90°，
∴GE＝＝，
在△GPE中，PE＞GE﹣PG，
∴PE的最小值为GE﹣PG＝﹣2，
故选：B．
7．（2021春•开福区期中）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝2，PB＝2．下列结论：①PD＝PB；②EB⊥ED；③△APD≌△AEB；④点B到直线AE的距离为2；⑤S△APB+S△APD＝2+4．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．②③⑤C．②③④D．①③⑤
【思路引导】首先通过SAS证明△APD≌△AEB，故③正确；得∠APD＝∠AEB，可得∠BEP＝90°，则EB⊥ED，故②正确；由BP＞BE＝PD，故①错误；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，可得△BEF是等腰直角三角形，求得点B到直线AE的距离为2，故④错误；S△APB+S△APD＝S△APB+S△AEB＝S△AEP+S△BEP，代入计算即可得出⑤正确．
【完整解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠EAP＝90°，
∴∠DAP+∠BAP＝∠BAP+∠BAE＝90°，
∴∠DAP＝∠BAE，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），故③正确；
∴∠APD＝∠AEB，PD＝BE，
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
∴∠APD＝∠AEB＝135°，
∴∠BEP＝90°，
∴EB⊥ED，故②正确；
∵BP＞BE＝PD，故①错误；
过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，
∵AE＝AP＝2，
∴PE＝AE＝2，
∴BE＝，
∵∠AEB＝135°，
∴∠BEF＝45°，
∴BF＝EF＝2，
∴点B到直线AE的距离为2，故④错误；
∵S△APB+S△APD＝S△APB+S△AEB＝S△AEP+S△BEP＝×2×2+×2×4＝2+4，
故⑤正确；
故选：B．
8．（2021春•抚州期末）如图所示，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一个动点（点D不与B，C重合），将△ADC绕点A顺时针旋转一定角度后得到△AFB，过点F作BC的平行线交AC于点E，连接DF，下列四个结论中：①旋转角为60°；②△ADF为等边三角形；③四边形BCEF为平行四边形；④BF＝AE．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路引导】根据旋转的性质得到△AFB≌△ADC，根据全等三角形的性质得到∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，求得∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝60°，于是得到①旋转角为60°正确；②△ADF为等边三角形正确；推出∠ABF＝∠BAC，根据平行线的判定定理得到FB∥AC，推出四边形BCEF是平行四边形，故③四边形BCEF为平行四边形正确；根据平行四边形的性质得到BF＝CE，由于点E不一定是AC的中点，得到AE不一定等于CE，故④BF＝AE错误，
【完整解答】解：∵将△ADC绕点A顺时针旋转一定角度后得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，
∴∠FAB+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝60°，
∴①旋转角为60°正确；②△ADF为等边三角形正确；
∵△AFB≌△ADC，
∴∠ABF＝∠C＝60°．
又∵∠BAC＝∠C＝60°，
∴∠ABF＝∠BAC，
∴FB∥AC，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形，故③四边形BCEF为平行四边形正确；
∴BF＝CE，
∵点E不一定是AC的中点，
∴AE不一定等于CE，故④BF＝AE错误，
故选：C．
9．（2021春•历城区期末）如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．1B．3C．3D．2.5
【思路引导】由题意分析可知，点F为主动点，运动轨迹是线段AB，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，也是一条线段，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【完整解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G的轨迹也是一条线段，
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，
从而可知△EBH为等边三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FBE＝90°，
∴∠GHE＝∠FBE＝90°，
∴点G在垂直于HE的直线HN上，
延长HG交DC于点N，
过点C作CM⊥HN于M，则CM即为CG的最小值，
过点E作EP⊥CM于P，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+2＝3，
故选：B．
10．（2021春•龙岗区期中）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【思路引导】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断
【完整解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF（AAS），
∴OE＝OF，PE＝PF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
二．填空题
11．（2020秋•惠城区期末）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点A′落在直线BC上，连接AB′，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则AB′的长为 ．
【思路引导】证明∠ACB′＝90°，利用勾股定理求出AB′即可．
【完整解答】解：如图，
由旋转的性质可知，CB＝CB′＝2，∠ABC＝∠BCB′＝45°，
∴ACB′＝90°，
∴AB′＝＝＝，
故答案为：
12．（2021春•南关区期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A1，AB⊥a于点B，A1D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 15 ．
【思路引导】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【完整解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝5，OD＝3，
∴AB＝2，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×5＝15．
故答案为：15．
13．（2021春•长春期末）将△ABC绕着点C顺时针旋转60°后得到△DEC，若∠A＝40°，∠B＝110°，则∠BCD的大小是 90° ．
【思路引导】由三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由旋转的性质得出∠BCD的度数，即可求解．
【完整解答】解：∵∠A＝40°，∠B＝110°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣110°＝30°，
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转60°后得到△DEC，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝30°+60°＝90°，
故答案为：90°．
14．（2021春•建邺区校级期中）如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD，当α为 110或140或125 度时，△AOD是等腰三角形．
【思路引导】由旋转知：△COD是等边三角形，故可表示出∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，然后分三类分别解方程即可．
【完整解答】解：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴CO＝CD，∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠ODC＝60°，
∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α，
∴∠AOC＝250°﹣α，
∴∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
当∠DAO＝∠DOA时，
2（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，
解得α＝140°，
当∠AOD＝∠ADO时，
190°﹣α＝α﹣60°，
解得α＝125°，
当∠OAD＝∠ODA时，
190°﹣α+2（α﹣60°）＝180°，
解得α＝110°，
综上：α＝140°或125°或110°．
故答案为：110或140或125．
15．（2021春•江岸区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，D是BC的中点，F是直线AB上一动点，线段DF绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，当点F运动时，CE的最小值是 3+ ．
【思路引导】先将△CDE绕点D顺时针旋转90°得到△C'DF，把CE转化为C'F，由于F是直线AB上一动点，故C'F的最小值是C'G，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边一半、D为BC中点以及勾股定理求出C'N、NC即可．
【完整解答】解：将△CDE绕点D顺时针旋转90°得到△C'DF，过C'作AB垂线交AB延长线于G，过D作DM⊥AB于M，作DN⊥C'G于N，
在△ABC是等边三角形中，AB＝4，D是BC的中点，
由旋转性质可得，CD＝C'D＝2，CE＝C'F，∠C'DB＝90°，
∵F是直线AB上一动点，
∴当点F运动时，C'F的最小值是C'G，
∵∠DMG＝∠MGN＝∠GND＝90°，
∴四边形DMGN为矩形，
∴DM＝NG，DN∥MG，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠MDB＝30°，∠BDN＝60°，即∠C'DN＝30°，
∴MB＝＝2，C'N＝C'D＝，
∴DM＝＝3，
∴C'G＝C'N+NG＝3+．
故答案为：3+．
16．（2021春•平顶山期末）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，点D在边AB上，且BD＝1，E是边AC的中点，将线段BD绕点B顺时针旋转，点D的对应点为F，连接AF，EF，当△AEF为直角三角形时，AF＝ 或 ．
【思路引导】根据题意，判断出只能是∠AEF＝90°，分两种情形，点B、F、E三点共线，且F在B、E之间，或点B、F、E三点共线，且B在F、E之间，分别通过勾股定理求AF的长即可．
【完整解答】解：∵△ABC是等边三角形，E是边AC的中点，
∴只能是∠AEF＝90°，
当点F在△ABC内时，∠AEF＝90°，此时，点B、F、E三点共线，且F在B、E之间，
∴BE＝，
∴EF＝BE﹣BF＝3﹣1＝2，
∴AF＝；
当点F在△ABC外时，∠AEF＝90°，此时，点B、F、E三点共线，且B在F、E之间，
此时，EF＝BE+BF＝3+1＝4，
∴AF＝，
故答案为：或．
17．（2021春•北仑区期末）如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有 ①②③ ．
①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．
【思路引导】过点E作EF∥AB，由∠AED＝75°得AB∥CD，再由AB＝CD得四边形ABCD为平行四边形；由这是一副三角板且∠AED＝75°得∠BEC＝∠AEC，再证明△AEC≌△BEC得AC＝BC，再由AE＝BE可知CE垂直平分AB；延长CE交AB于G，AB2＝6结合②的结论求出BG、CG，由勾股定理得BC2＝5+2；假设DE⊥AC，结合②必有菱形ABCD，即有∠ABE＝∠ABC＝30°，这与题设矛盾，由此知DE⊥AC错误．
【完整解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∴∠BAE＝∠AEF＝45°，
∵∠AED＝75°，
∴∠FED＝∠AED﹣∠AEF＝30°，
∴∠FED＝∠EDC，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故①正确；
∵∠AED＝75°，∠DEC＝60，
∴∠AEC＝135°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC，
在△AEC与△BEC中，
，
∴△AEC≌△BEC（SAS），
∴AC＝BC，
∵AE＝BE，
∴CE垂直平分AB，故②正确；
延长CE交AB于G，由②知：CG⊥AB，
∵AE＝BE，EG⊥AB，
∴AG＝BG＝GE，
∵AB2＝6，
∴AB＝，AG＝BG＝GE＝，
∵AB＝CD，
∴CD＝，
∵∠EDC＝30°，
∴CE＝ED，
∵EC²+CD²＝ED²，
∴CE＝，
∵BG²+CG²＝BC²，
∴BC2＝5+2，故③正确；
假设DE⊥AC，
∵∠DEC＝60°，
∴∠ACE＝30°，
由②知：∠ACE＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴平行四边形ABCD为菱形，
如图，连接BD，必然有BD⊥AC，
∴E必然在BD上，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，
这与∠ABE＝45°矛盾，不合题意，故④不正确．
故答案为：①②③．
18．（2021春•龙华区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D是线段BC上一点，将线段AD绕D点逆时针旋转90°至DE，连接AE、BE．当AD＝3时，BE＝ ．
【思路引导】如图，过点A作AJ⊥BC于J，过点E作EH⊥BC于H．证明△AJD≌△DHE（AAS），推出DJ＝EH＝1，DH＝AJ＝BJ，推出EH＝BH＝1，可得结论．
【完整解答】解：如图，过点A作AJ⊥BC于J，过点E作EH⊥BC于H．
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，AJ⊥BC，
∴BC＝AB＝4，BJ＝CJ＝2，
∵AD＝3，
∴DJ＝＝＝1，
∵∠AJD＝∠DHE＝∠ADE＝90°，
∴∠ADJ+∠EDH＝90°，∠ADJ+∠DAJ＝90°，
∴∠EDH＝∠DAJ，
在△AJD和△DHE中，
，
∴△AJD≌△DHE（AAS），
∴DJ＝EH＝1，DH＝AJ＝BJ，
∴BH＝DJ＝1，
∴BE＝＝＝，
当点D落在线段BJ上时，同法可得BE＝，
故答案为：．
19．（2021春•工业园区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得△DCE，直线DA、BE相交于点F．取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为 4 cm．
【思路引导】设∠BCE＝∠ACD＝α，可得∠CBE＝∠CEB＝∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，根据四边形内角和可得∠BFA＝90°，取AB的中点H，连接HG、HF，则HG＝AC，HF＝AB，继而可得FG≤HG+HF，即可得到答案．
【完整解答】解：取AB的中点H，连接HG、HF，如图：
∵△DEC是由△ABC绕C点旋转得到，
∴CE＝CB，CD＝CA，∠BCE＝∠ACD，
设∠BCE＝∠ACD＝α，则∠CBE＝∠CEB＝∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，
在四边形BCDF中，∠BFA＝360°﹣∠BCD﹣∠CDA﹣∠CBE＝360°﹣（90°+α）﹣2（90°﹣α）＝90°，
在RT△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，
∴AB＝5cm，
Rt△ABF中，HF＝AB＝cm，
∵HG是△ABC中位线，
∴HG＝AC＝cm，
而FG≤HF+HG＝4cm，
∴当F、H、G在一条直线上时，FG最大，最大值为HF+HG＝4cm，
故答案为：4．
20．（2021春•武昌区期末）如图是一张面积为10的△ABC纸片，其中BC＝5，∠ABC＝45°，DE是三角形的中位线，M，N分别是线段DE，BC上的动点．沿着虚线将纸片裁开，并将MN两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点D，E旋转180°在同一平面内拼图，使得BD与AD重合，CE与AE重合．则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为 ﹣4 ．
【思路引导】首先说明拼成的四边形是平行四边形，周长＝2MN+10，求出MN的最小值，最大值，可得结论．
【完整解答】解：如图，
由旋转的性质可知，BC＝N′N″，M′M″＝2DE，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∴M′M″∥N′N″，M′M″＝N′N″，
∴四边形M′M″N″N′是平行四边形，
∴四边形M′M″N″N′的周长＝2MN+10，
如图，连接BE，过点A作AH⊥BC于H，EJ⊥BC于J．
∵S△ABC＝•BC•AH＝10，BC＝5，
∴AH＝4，
∵∠ABC＝45°，
∴AH＝BH＝4，
∴CH＝CB﹣BH＝5﹣4＝1，
∵AH∥EJ，AE＝EC，
∴JH＝JC＝，
∴EJ＝AH＝2，BJ＝BH+JH＝，
∴BE＝＝＝，
当MN⊥BC时，MN的值最小，此时拼成的四边形纸片周长的值最小，最小值＝14，
当MN与线段BE重合时，MN的值最大，此时拼成的四边形纸片周长的最大，最大值＝+10，
∴拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值的差为﹣4．
故答案为﹣4．
三．解答题
21．（2021•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．
（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；
（2）连接CC1，△ACC1的面积为 ；
（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．
【思路引导】（1）将A、B、C三点分别绕点A按顺时针方向旋转90°画出依次连接即可；
（2）勾股定理求出AC，由面积公式即可得到答案；
（3）利用相似构造△CFD∽△C1ED即可．
【完整解答】解：（1）如图：
图中△AB1C1即为要求所作三角形；

（2）∵AC＝＝，由旋转旋转知AC＝AC1，
∴△ACC1的面积为×AC×AC1＝，
故答案为：；

（3）连接EF交CC1于D，即为所求点D，理由如下：
∵CF∥C1E，
∴△CFD∽△C1ED，
∴＝，
∴CD＝CC1，
∴△ACD的面积＝△ACC1面积的．
22．（2021•德阳）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．
【思路引导】（1）可证B1是EE1的中点，则EB1＝EE1，根据M、N分别是AE和AE1的中点，则MN∥EB1，MN＝EE1，即可证明；
（2）由S△EAF＝S△FEC，可得AF＝EC．然后通过SAS可证明结论．
【完整解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵△AB1E1是△ABE旋转所得的，
∴AE＝AE1，∠AB1E1＝∠AB1E＝∠B＝90°，
∴B1是EE1的中点，
∴EB1＝EE1，
∵M、N分别是AE和AE1的中点，
∴MN∥EB1，MN＝EE1，
∴EB1＝MN，
∴四边形MEB1N为平行四边形，
（2）△AE1F≌△CEB1，
证明：连接FC，
∵EB1＝B1E1＝E1F，
∴＝，
同理，S＝，
∵＝，
∴S△EAF＝S△FEC，
∵AF∥EC，
∴△AEF底边AF上的高和△FEC底边上的高相等．
∴AF＝EC．
∵AF∥EC，
∴∠AFE＝∠FEC，
在△AE1F和△CEB1中，
，
∴△AE1F≌△CEB1（SAS）．
23．（2021春•卧龙区期末）如图，已知四边形ABCD．
（1）画出四边形ABCD向上平移5格后的四边形A1B1C1D1；
（2）画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A2B2C2D2；
（3）画出四边形ABCD关于直线MN成轴对称的四边形A3B3C3D3；
（4）四边形A2B2C2D2与四边形A3B3C3D3是否对称？若对称，在图中画出对称轴或对称中心．
【思路引导】（1）将四个顶点分别向上平移5个单位，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出四个顶点关于点O的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）分别作出四个顶点关于直线MN的对称点，再首尾顺次连接即可；
（4）结合图形，根据轴对称的定义求解即可．
【完整解答】解：（1）如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求；
（2）如图所示，四边形A2B2C2D2即为所求；
（3）如图所示，四边形A3B3C3D3即为所求；
（4）四边形A2B2C2D2与四边形A3B3C3D3成轴对称，如图所示，对称轴为直线l．
24．（2021春•南关区期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，将△ABC沿AC方向平移，当点A移动到点A1时，画出平移后的△A1B1C1；
（2）在图②中，作△ABC关于直线MN对称的△DEF，且点D、E、F均在格点上；
（3）在图③中，作△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2．
【思路引导】（1）根据平移的性质即可在图①中，将△ABC沿AC方向平移，当点A移动到点A1时，画出平移后的△A1B1C1；
（2）根据轴对称的性质即可在图②中，作△ABC关于直线MN对称的△DEF，且点D、E、F均在格点上；
（3）根据中心对称的性质即可在图③中，作△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2．
【完整解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△DEF即为所求；
（3）如图，△A2B2C2即为所求．
25．（2021春•仁寿县期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
（1）作出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后所得的△AB2C2；
（3）在OM上做出点P，使△PBC的周长最小．
【思路引导】（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质即可作出△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后所得的△AB2C2；
（3）根据两点之间线段最短，连接BC1与直线OM交于点P，此时△PBC的周长最小．
【完整解答】解：（1）△A1B1C1即为所求；
（2）△AB2C2即为所求；
（3）点P即为所求．
26．（2020秋•播州区期末）如图，平面直角坐标系中有点A（0，6），B（6，0），点D为线段OB上一个动点（点D不与点O、B重合），点C在AB的延长线且CD＝AD，点C关于x轴的对称点为M，连接DM，AM．
（1）求证：∠OAD＝∠CDB；
（2）点D为OB的中点时，求点M的坐标；
（3）点D在运动的过程中，∠DAM的值是否发生变化？如果变化，请求出∠DAM的度数的取值范围；如果不变，请求出∠DAM的度数．
【思路引导】（1）证明∠OAB＝∠OBA＝45°，由DA＝DC，推出∠DAB＝∠DCA，再由∠ABO＝∠CDB+∠DCB＝45°，∠OAD+∠DAB＝45°，推出∠OAD＝∠CDB；
（2）如图，连接CM交OB于T．证明△AOD≌△DTC（AAS），求出点C的坐标，再根据对称性确定点M的坐标；
（3）证明∠MDB＝∠OAD，再根据三角形的外角的性质证明∠ADM＝∠AOD＝90°即可．
【完整解答】（1）证明：∵A（0，6），B（6，0），
∴OA＝OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵DA＝DC，
∴∠DAB＝∠DCA，
∵∠ABO＝∠CDB+∠DCB＝45°，∠OAD+∠DAB＝45°，
∴∠OAD＝∠CDB；

（2）解：如图，连接CM交OB于T．
∵D是OB的中点，OB＝6，
∴OD＝DB＝3，
∵DC，DM关于x轴对称，
∴CM⊥x轴，
在△AOD和△DTC中，
，
∴△AOD≌△DTC（AAS），
∴OA＝DT＝6，OD＝CT＝3，
∴OT＝OD+DT＝9，
∴C（9，﹣3），
∵C，M关于x轴对称，
∴M（9，3）．

（3）解：结论：∠ADM＝90°，不变．
理由：∵C，M关于x轴对称，
∴∠CDB＝∠MDB，
∵∠OAD＝∠CDB，
∴∠MDB＝∠OAD，
∵∠ADB＝∠AOD+∠OAD＝∠ADM+∠MDB，
∴∠ADM＝∠AOD＝90°．
27．（2021春•九龙坡区校级期末）同学们，等边三角形、等腰直角三角形都是最常见的几何图形．
（1）如图1，以等边△ABC的边BC为腰作等腰直角△BCD，其中∠DBC＝90°，BD＝CB，点D，点A都在BC同侧，延长BD、CA交于点M、连接AD，求∠MAD的度数．
（2）如图2，在（1）的条件下，作BN平分∠DBC交AC于点N，求证：MD＝CN；
（3）如图3，将图（1）的△CBD沿着BC翻折得到△CBD1，连接AD1，P为AD1中点，连接BP并延长交CD1于点Q、请猜测CQ、BP、PQ三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．
【思路引导】（1）由等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，由余角的性质可得∠ABM＝∠M＝30°，BD＝AB，由等腰三角形的性质可得∠BDA＝∠BAD＝75°，即可求解；
（2）由“SAS”可证△DBN≌△CBN，可得CN＝DN，∠DNB＝∠CNB＝75°，可证DM＝DN＝CN；
（3）延长QB使EB＝CQ，连接AQ，AE，由“SAS”可证△ABE≌△ACQ，可得AE＝AQ，由“HL”可证Rt△APE≌Rt△D1PQ，可得PQ＝EP，可得结论．
【完整解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵∠DBC＝90°，BD＝CB，
∴∠ABM＝∠M＝30°，BD＝AB，
∴∠BDA＝∠BAD＝75°，
∴∠MAD＝180°﹣∠BAC﹣∠BAD＝45°；
（2）如图2，连接DN，
∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN＝45°，
∴∠BNC＝75°，
在△DBN和△CBN中，
，
∴△DBN≌△CBN（SAS），
∴CN＝DN，∠DNB＝∠CNB＝75°，
∴∠DNM＝30°＝∠M，
∴DM＝DN，
∴DM＝CN；
（3）PQ＝BP+CQ，理由如下：
如图3，延长QB使EB＝CQ，连接AQ，AE，
∵将△CBD沿着BC翻折得到△CBD1，
∴BC＝D1B，∠CBD1＝90°，
∴AB＝BD1，∠ABD1＝150°，
∵P为AD1中点，
∴BP是AD1的垂直平分线，∠ABP＝75°，
∴AQ＝D1Q，∠ABE＝105°，BP⊥AD1，
∵∠ACQ＝∠ACB+∠BCQ＝75°，
∴∠ACQ＝105°＝∠ABE，
又∵AB＝AC，CQ＝BE，
∴△ABE≌△ACQ（SAS），
∴AE＝AQ，
在Rt△APE和Rt△D1PQ中，
，
∴Rt△APE≌Rt△D1PQ（HL），
∴PQ＝EP，
∴PQ＝BP+EB＝BP+CQ．
28．（2021春•卧龙区期末）如图①，我们把一副两个三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝45°，∠C＝30°，
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图②，将图①中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA'B'的位置，求当∠AOA'为多少度时，OB'平分∠COD；
（3）如图③，两个三角尺的直角边OA，OD摆放在同一条直线上，另一条直角边OB，OC也在同一条直线上，将△OAB绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当AB∥CD时，旋转角的度数是 105°或285° ．
【思路引导】（1）由平角的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得∠AOB＝∠A'OB'＝45°，由角的数量关系可求解；
（3）分两种情况讨论，如图③﹣1中，当A'B'与OD相交于点E时，如图③﹣2中，当A'B'与AO相交于点F时，由平行线的性质可求解．
【完整解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝180°﹣45°﹣60°＝75°．

（2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，
∴∠AOB＝∠A'OB'＝45°，
∵∠COD＝60°，OB′平分∠COD，
∴∠COB'＝30°，
∴∠COA'＝∠A'OB'﹣∠COB'＝15°，
∴∠A'OB＝∠COB﹣∠COA'＝60°，
∴∠AOA'＝∠AOB+∠A'OB＝105°；

（3）如图③﹣1中，当A'B'与OD相交于点E时，
∵A'B'∥CD，
∴∠D＝∠A'EO＝60°，
∵∠A'EO＝∠B'+∠EOB'，
∴∠EOB'＝60°﹣45°＝15°，
∴∠BOB'＝105°，
如图③﹣2中，当A'B'与AO相交于点F时，
∵A'B'∥CD，
∴∠D＝∠A'FO＝60°，
∴∠A'OF＝180°﹣∠A'FO﹣∠A'＝75°，
∴旋转的角度＝360°﹣75°＝285°，
综上所述：旋转的角度为105°或285°．
故答案为：105°或285°．
29．（2021春•淮阴区期末）定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（1）如图1，OP是∠MON的平分线，请你在图1中画出一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．
（2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
①如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．猜想FE和DF之间的数量关系，直接写出结论．
②如图3，在△ABC中，如果∠ACB≠90°，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【思路引导】（1）根据角平分线的性质得到AB＝AC，利用HL定理证明Rt△AOB≌Rt△AOC，得到答案；
（2）①在AC上截取CH＝CD，连接FH，分别证明△FCD≌△FCH、△AEF≌△AHF，根据全等三角形的性质证明即可；
②在AC上截取CG＝CD，连接FG，由“SAS”可证△FCD≌△FCG，根据全等三角形的性质得到FD＝FG，∠CFG＝∠CFD＝60°，证明△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得到FG＝FE，等量代换证明结论．
【完整解答】解：（1）如图1，在射线OP上取点A，作AB⊥OM于B，AC⊥ON于C，
∵OP是∠MON的平分线，AB⊥OM，AC⊥ON，
∴AB＝AC，
∴Rt△AOB≌Rt△AOC，
则AOB和Rt△AOC是一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形；
（2）①FE＝DF，
理由如下：如图2，在AC上截取CH＝CD，连接FH，
∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝15°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝75°，
∵CE是∠ACB的平分线，∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
在△FCD和△FCH中，
，
∴△FCD≌△FCH（SAS），
∴FH＝FH，∠FHC＝∠FDC＝75°，
∴∠AHF＝105°，
∵∠AEF是△BCE的外角，
∴∠AEF＝∠B+∠BCE＝105°，
∴∠AEF＝∠AHF，
∴△AEF≌△AHF（AAS），
∴FE＝FH，
∴FE＝DF；
②、①中结论仍然成立，FE＝DF，
理由如下：如图3，在AC上截取CG＝CD，连接FG，
∵∠B＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠BCA）＝60°，
∴∠AFC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CFD＝60°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠BCE，
在△FCD和△FCG中，
∴△FCD≌△FCG（SAS），
∴FD＝FG，∠CFG＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG＝60°，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFE≌△AFG（ASA），
∴FG＝FE，
∴FE＝DF．