九年级人教版数学上册预习 专题15图形的旋转（8大类型精准练+过关检测）（解析版）

这是一份九年级人教版数学上册预习 专题15图形的旋转（8大类型精准练+过关检测）（解析版），共50页。试卷主要包含了旋转，旋转的性质，旋转作图，5，的横坐标是2020，等内容，欢迎下载使用。
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：8大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1.旋转
旋转及旋转的三要素：
在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)．
确定旋转中心、旋转角、对应线段以及对应角的方法
(1)确定旋转中心：在旋转过程中不动的点
(2)确定旋转角：各组对应点与旋转中心所连线段的夹角；
(3)确定对应线段以及对应角：找出旋转前后能重合的点（对应，点），即可找到对应线段和对应角
【课前热身】
1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后求解．
【详解】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；
②传送带上的物品的移动，是平移现象；
③钟摆的运动，是旋转现象；
④荡秋千运动，是旋转现象．
属于旋转的有③④共2个．
故选：B．
2．（24-25九年级上·广西南宁·期末）图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 度，旋转后的风车能与自身重合．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，根据图示信息圆周角分成了4份，由此即可求解，掌握周角的度数，旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：，
∴绕着它的中心旋转，旋转角至少，旋转后的风车能与自身重合，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合．
(1)写出它的旋转中心；
(2)旋转角至少是多少度？
(3)______（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）本题考查的是旋转中心的确定；由点旋转后的对应点是其本身，从而可得旋转中心；
（2）本题考查的是旋转角；由旋转前后B，D为对应点，所以，的夹角为旋转角，从而可得答案，掌握旋转角的定义是解本题的关键；
（3）本题考查的是旋转的性质，正方形的性质，由旋转前后的对应线段线段可得，从而可得答案；熟记旋转的性质是解本题的关键．
【详解】（1）解：逆时针旋转后能够与重合：旋转中心是点．
（2）逆时针旋转后能够与重合：旋转角至少是；
（3）∵正方形，
∴，
由旋转可得：，
∴．
4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上
(1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____；
(2)当旋转角为时，求的度数．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，
（1）根据旋转的性质即可得到结论；
（2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解： 将绕点顺时针旋转一定角度得到，
旋转中心是点，旋转角是和，
故答案为：，，；
（2）将绕点顺时针旋转一定角度得到，
，，，
，
．
知识点2.旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应线段的长度相等（ＡＢ＝ＡB′）；
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠ＡＯA′）；
方法归纳：
１、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转．
２、旋转前后图形的大小和形状没有改变．
【课前热身】
5．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，在中，，，将绕点旋转得到，且点落在上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是旋转性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用，解题关键是熟练掌握旋转性质．由旋转性质得，，结合等边对等角、三角形内角和定理的应用求出和后，根据即可得解．
【详解】解：由旋转性质可得，，，
，
，
，
．
故选：．
6．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转性质得到，然后由求解即可．
【详解】解：由旋转性质得，
∴，
故答案为：3．
7．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，交于点，若，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键．
由旋转的性质得到，，进而推出，根据三角形内角和定理证得，即可求得的度数．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∵，且，
∴．
8．（19-20九年级上·天津·期中）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置．
(1)请写出旋转中心及旋转角的度数；
(2)若，求的度数和的长．
【答案】(1)旋转中心为点，旋转角的度数为；
(2)，．
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理
（1）由旋转的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解．
【详解】（1）解：经过旋转后到达的位置，
∴旋转中心为点，旋转角的度数为；
（2）经过旋转后到达的位置
，
，，
，．
知识点3.旋转作图（重点）
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
方法归纳：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点．
【课前热身】
9．（2022九年级上·全国·专题练习）作图：如图，边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转．画出旋转后的．
【答案】见解析
【分析】按照旋转的性质画图即可．
【详解】解：如图所示．
【点睛】本题考查了旋转作图，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了画旋转图形，连接并延长到使得，同理作出，再顺次连接即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．
11．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．
【答案】图见解析，，
【分析】本题主要考查了旋转的作图，先画出点A、B、C绕点顺时针旋转后的对应点，再依次连接即可，根据图形即可写出点的坐标．
【详解】解：如图，即为所求，.
题型一、生活中的旋转现象
1．（2025·广东东莞·三模）2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（ ）
A．平移B．旋转C．轴对称D．位似
【答案】B
【分析】本题主要考查图形的变换，熟练掌握平移、旋转、轴对称及位似是解题的关键；因此此题可根据平移、旋转、轴对称及位似可进行求解．
【详解】解：由图可知：该图采用的数学变换是旋转；
故选：B．
2．（2025·江苏淮安·一模）如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①③B．①②C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了图形的变换，掌握旋转、平移、轴对称的性质是关键．
根据图形变换，数形结合分析即可判定．
【详解】解：根据题意，其中一条“鱼”经过1次旋转可以与另一条“鱼”重合，或者其中一条“鱼”沿着对称轴折叠，再沿着对称轴折叠可以与另一条“鱼”重合，
∴经过①③的变换即可，
故选：A ．
3．（2025·江苏泰州·二模）在一次数学活动课上，老师在如图所示的正方形网格中，以格点、为圆心绘制两段全等的、，并提问：通过哪种图形变换得到．以下是同学们给出的操作方式，其中无法实现这一变换的是（ ）
A．一次轴对称和一次平移B．两次轴对称
C．一次旋转D．一次轴对称
【答案】D
【分析】本题考查图形的轴对称，平移和旋转的性质，根据题意结合轴对称，平移和旋转的性质即可求解．
【详解】解：A. 先以为对称轴作一次轴对称，再沿方向一次平移，可以得到，故该选项不符合题意
B. 分别以大正方形的对角线为对称轴作两次轴对称，可以得到，故该选项不符合题意
C. 绕点作旋转，作一次旋转，可以得到，故该选项不符合题意
D. 一次轴对称不能得到，故该选项符合题意；
故选：D．
题型二、旋转的三要素
4．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查图形的旋转，牢记图形旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角）是解题的关键．旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点，等于旋转角．
【详解】解：∵点的对应点为点，点的对应点为点，且对应点到旋转中心的距离相等，
∴旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点．
如图，作线段和线段的垂直平分线，其交点为旋转中心．

连接，．
根据旋转的性质，得
．
故选：C．
5．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】A
【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键．根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案．
【详解】 解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， 由图形可知：点在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，
∴旋转中心是点，
故选：A．
6．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，得到（点均为格点），则旋转中心的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为，同时旋转中心在和的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为，
∴交点在和的垂直平分线上，如图，
∴旋转中心的坐标为，
故答案为：．
7．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到．在旋转过程中：

(1)旋转中心是什么，为多少度？
(2)与线段相等的线段是哪一条？
(3)的面积是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转中心的定义、旋转的性质即可求得答案．
（2）根据旋转前后的图形全等，即可直接求得答案．
（3）根据旋转前后的图形全等，即可求得答案．
【详解】（1）观察图形可知，旋转中心为．
∵旋转前后的图形全等，即，
∴．
故答案为： ，；
（2）∵旋转前后的图形全等，即，
∴．
故答案为：．
（3）∵旋转前后的图形全等，即，
∴，，．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，即旋转前后的图形全等，牢记旋转的性质是解题的关键．
题型三、旋转的性质
8．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到位置，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了旋转变换，熟练掌握旋转性质，是解决此题的关键，根据旋转变换的性质得出,根据，求出，进而计算即可得解．
【详解】解：由旋转的性质可知，，
∵，
，
故选：A．
9．（2025·天津和平·三模）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，根据旋转得到，，，，再逐个判断即可．
【详解】解：∵将以点为中心顺时针旋转得到，
∴，
∴，，，，
当时， 才成立，故选项A不一定正确；
现有条件无法证明，，故选项B，C不一定正确；
如图，与交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
故选项D一定正确；
故选：D．
10．（2025·福建福州·三模）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键；连接；由旋转的性质得是等边三角形，则；在，利用含30度角直角三角形的性质及勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，连接；
由旋转的性质得，
∴是等边三角形，
∴；
在，，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴．
故答案为：．
题型四、旋转的有关计算与证明
11．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，在等腰中，，把绕点旋转到的位置，连接、．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，，推出，即可得出结论．
【详解】证明：∵绕点旋转到，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
12．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，绕点按逆时针方向旋转90°得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，连接，交于点．
(1)求的度数；
(2)是延长线上一点，当时，判断和的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，
（1）根据旋转的性质及三角形内角和定理可得答案；
（2）根据旋转的性质可知，再结合已知条件说明，然后根据等角对等边得出答案．
【详解】（1）解：根据旋转可得，
∴．
（2）解：．
证明：由旋转的性质可知，，，
在中，，
，，
，
即，
．
13．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，连接．求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由旋转的性质可求得，的长和的大小，由勾股定理可求得的长，进而可求得的长，再次利用勾股定理即可求得的长．
【详解】解：由旋转的性质可知：
，，，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
在中，根据勾股定理可得：
．
14．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知 是 绕点 顺时针方向旋转后所得的图形，点 恰好在 上，．
(1)求 的度数；
(2)求证：平分
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握旋转后对应边相等，旋转角相等，是解题的关键．
（1）根据，求出的度数，利用旋转的性质，得到，再利用，求出的度数，
（2）利用旋转的性质得到，利用等边对等角求出，利用旋转的性质，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，
，，
，
，
（2）∵，
∴，
又∵，
．
分
题型五、旋转与坐标
15．（2025·海南·模拟预测）如图，的顶点坐标分别为．先将向右平移4个单位，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，则的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，先根据平移方式确定的坐标，再根据旋转方式确定的位置，结合坐标系即可得到答案．
【详解】解；如图所示，和所在位置如下：
∴，
故选：C．
16．（2025·山东淄博·一模）如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形的平移，图形的旋转，图形与坐标，根据题意画出图形即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】解：如图，点的坐标是，
故答案为：．
17．（2025·安徽滁州·三模）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为．
(1)将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出；
(2)以点 O 为旋转中心将逆时针旋转，得到，请画出．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移和旋转，熟练掌握平移的性质和旋转的性质，是解题的关键：
（1）根据平移规则，确定的位置，连线画出；
（2）根据旋转的性质，画出即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如上图，即为所求．
题型六、旋转与基本作图
18．（23-24九年级上·广西河池·期中）如图，是绕着点P旋转得到的，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，请用尺规作图找出点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转中心到对应点的距离相等，得到旋转中心在对应点所连线段的中垂线上，连接，尺规作两条线段的中垂线，交点即为点．
【详解】解：如图，点即为所求；
19．（2025·安徽合肥·三模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边．
(1)画出关于直线成轴对称的；
(2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出．
(3)仅用无刻度直尺作高．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质画出点A、B、C的对应点分别为、、，即可画出；
（2）根据旋转的性质绕点逆时针旋转得到；
（3）在图中找到格点E，连接，有图可知，则为等腰三角形，然后画出的中点H，根据等腰三角形的三线合一的性质，连接即为所求；
【详解】（1）解：如图所示，即为所作；
（2）解：如图所示，即为所作；
（3）解：如图所示，线段即为所作；
．
20．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，请画出；
(2)将向上平移1个单位长度，再向右平移7个单位长度，得到，请画出；
(3)连接，仅用无刻度直尺标出线段的中点．（保留画图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题考查了旋转的作图、平移的作图等知识，熟练掌握作图方法和网格的特点是解题的关键．
（1）找出以点为中心将旋转，得到B、C的对应点，顺次连接即可；
（2）将向上平移1个单位长度，再向右平移7个单位长度，得到的对应点，顺次连接即可；
（3）利用网格的特点找到到点P即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
（3）解：如图，点即为所求．（作图方法不唯一）：
题型七、旋转与变化规律问题
21．（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（ ）

A．71B．72C．73D．74
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可．
【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可，
∵在第四象限，
∴除以4后的余数为2，
∵，
故选D．
．
22．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标．
【详解】解：如图．
，
在第一象限的角平分线上，
叶片每秒绕原点顺时针转动，
，，，，
点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
，
第时，点的对应点的坐标与相同，为．
故选：．
23．（20-21九年级上·黑龙江·期中）如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据图形的翻转，分别得出、、的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可．
【详解】解：由题意可知、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是
依此类推下去，、的横坐标是2017，的横坐标是2018.5，的横坐标是2020，
的坐标是，
故答案为．
【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出、、的横坐标，得出规律是解答此题的关键．
题型八、旋转与几何综合问题
24．（2024·浙江嘉兴·三模）在中，，以点为中心，将顺时针旋转，得到；再以点为中心，将顺时针旋转，得到；连结，

(1)如图，若，，求的长；
(2)如图，，探究与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)平行，理由见详解
【分析】（1）通过旋转的性质得，和，证明四边形为正方形，再根据正方形的性质即可求出．
（2）过点作交于点，由旋转的性质和平行线的性质可得，易证，因为，所以四边形为平行四边形，故可得出．
【详解】（1）解：根据旋转性质可得当时，，
∴四边形为矩形，
∵旋转的性质可得，
∴四边形为正方形，
∴．
∴的长为．
（2）与的位置关系是平行．
理由：如图，过点作交于点，

则，
由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
∴与的位置关系是平行．
【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，旋转的性质，平行线的性质的判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求的长；
(3)若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值．
【答案】(1)，见详解
(2)
(3)或
【分析】（1）根据旋转的不变性证明，再由对应角相等及邻补角即可得证；
（2）设，在中，由勾股定理得：，解方程即可；
（3）分类讨论，分第一次经过点B，经过点A，再次经过点B讨论，根据变化中的不变性，不变的是基本图形关系即，以及位置关系，始终有垂直，继而设，运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：与的位置关系为．
∵，D，E分别为的中点，
∴，即，
∵，即，
∴,
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即：．
（2）解：中，，
∴，同理可求，
∵，
∴，
设，
在中，由勾股定理得：，
解得：（舍负），
∴．
（3）解：①经过点B时，题（2）已求；
②经过点A时，如图所示，
同理可证：，
∴，
∵，
∴，
设，
在中，由勾股定理得：，
解得：（舍负），
即：；
③再次经过点B时，如下图：
同理可证：，，
设，
在中，由勾股定理得：，
解得：（舍负），
即：；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键．
26．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值．
【答案】(1)，
(2)是等腰直角三角形
(3)
【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，；
（2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立；
（3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：是等腰直角三角形．
理由如下：由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接，
∵，
∴当点三点共线时，最大，
如图：
最大时，的面积最大，
最大，
在中，，，
∴由勾股定理得：，
∵点M为中点，
，
在中，，同上可求，
，
同上可得：，
∴，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
27．（22-23九年级下·甘肃武威·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由；
【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系；
【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．

【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】（1）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得．
（2）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得．
（3）把旋转到的位置，连接，先根据SAS证明，由此可得，．又由可得．因此是直角三角形，由此可得，因此．
【详解】（1）如图1，

∵，，
∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，如图1，
∵，
∴，点F，D、G共线，
则，，
，
即，
在和中，，
∴，
∴；
（2），理由如下：如图2，
∵，，
∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，

∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，点F、D、G共线
在和中，，
∴，
∴，
即：，
（3），
理由是：把旋转到的位置，连接，则，．

∵，，
∴，
又∵，
∴，
则在和中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．通过旋转变换构造全等三角形是解题的关键．本题还运用了转化的思想：要想证明两条较短线段之和等于第三条线段，需要将这两条线段转化到一条直线上，希望多加体会．
一、单选题
1．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则旋转角度不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质．先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．
【详解】解：，
则这个图案绕着它的中心旋转或的倍数后能够与它本身重合，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
2．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，以为旋转中心，将顺时针旋转得到，边，相交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得出，，，由三角形的外角性质即可得出答案．
【详解】解：∵将顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
故选：B．
3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过作于，若，则长为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】由旋转得，；再证明，得；再计算出，即可求得的长．
【详解】解：由旋转得，；
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形性质及勾股定理．
4．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转性质可判定为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得的长．熟悉以上性质是解题关键．
【详解】解：由旋转性质可知，，，
则为等腰直角三角形，
．
故选：B．
5．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在正方形中，，点在边上，与关于所在的直线对称，将绕点顺时针旋转得到，连接，则为（ ）
A．B．4C．D．8
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．连接，先根据正方形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据正方形的性质可得的边上的高等于4，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
∵与关于所在的直线对称，
∴，，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵四边形是正方形，
∴，
∴的边上的高等于，
∴，
∴，
故选：D．
6．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在正方形中，对角线，相交于点，是边的中点，连接，，分别交，于点，，将绕点逆时针旋转交的延长线于点．下列结论：；；若三角形的面积为，则正方形的面积为；．其中结论正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，旋转变换，四点共圆等知识，解题的关键是掌握正方形性质并能灵活运用．
连接，由将绕点逆时针旋转交的延长线于点，可得，即知四点共圆， 有，故，，判断正确；设 ，可得，，判断正确；根据三角形的面积为，得，从而正方形的面积为，判断错误；又， 由对称性可得，又即可得，判断正确．
【详解】解：连接，如图：
∵将绕点逆时针旋转交的延长线于点，四边形是正方形，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴，故正确；
设，可得，，
∴，
∴，故正确；
∵三角形的面积为，
∴，
∴，即，
∴，
∴正方形的面积为，故错误；
∵， 由对称性可得，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，即，故正确；
∴正确的有：，共个，
故选：．
二、填空题
7．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上，已知，则的长是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质得出，进而利用得出即可．
【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上，
，
，
，
的长是：．
故答案为：2．
8．（24-25九年级上·重庆忠县·期中）在平面直角坐标系中，为原点坐标，点的坐标是，绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，可证明，根据全等三角形的性质和点A的坐标可得，则．
【详解】解：如图所示，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵点的坐标是，
∴，
由旋转的性质可得
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将抛物线绕顶点旋转后，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数图像的旋转与平移；先求出旋转后的函数式，此时函数图像的开口向上，顶点不变；再求出平移后的函数式即可．
【详解】解：抛物线绕顶点旋转后，解析式为，再向上平移3个单位长度后为；
故答案为：．
10．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）如图，三角形中，，，，，，若，，则线段的长度为 ．
【答案】4
【分析】将绕点A顺时针旋转得到，根据等腰三角形的性质和旋转的性质可得，从而可得，证明，可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到．
∴
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为4．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
11．（24-25九年级上·湖北·期末）如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D，则 °，的长为 ．
【答案】 45
【分析】本题主要考查了旋转的性质、解直角三角形、相似三角形的判断与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：过点作交的延长线于点E，由旋转的性质可得是等腰直角三角形，则；再证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：过点作交的延长线于点E，
∵将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D，
∴，，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．．
故答案为∶ 45，．
12．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查的是旋转的性质，直角三角形的性质、两点之间线段最短，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
连接，首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出，然后再依据两点之间线段最短可得到，即可得的最大值为．
【详解】解：如图连接．
在中，
∵，，
∴，
根据旋转不变性可知，，，
∵P是的中点，
∴，
∵M是的中点，
∴
又∵，即，
∴的最大值为6（此时P、C、M共线）．
故答案为：6．
13．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论：
可以由绕点逆时针旋转得到；
点与的距离为；；
四边形的面积为；其中正确的结论是 ．
【答案】①③④
【分析】根据正三角形性质，得；根据旋转的性质，得，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明，即可判断①；根据勾股定理逆定理，得，结合等边三角形，可判断 ③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质，可计算得，从而判断④．
【详解】解：如图，连接；
为等边三角形，
，；
由题意得：，，
为等边三角形，，
，选项错误；
在与中，
，
，
，
可以由绕点逆时针方向旋转得到，选项正确；
在中，，
为直角三角形，
，，选项正确；
，选项正确．
综上所述，正确选项为，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解．
14．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，已知点P是等腰直角三角形中一点，连接；线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，连接；若， ，，则的长是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，由旋转的性质得，，证明，进而可证，从而，，求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由旋转的性质得，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
∴．
故答案为：3．
三、解答题
15．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，D是等边内一点，将绕点B顺时针旋转得到，连接，，且．
(1)求的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、等边三角形，解题的关键是利用旋转的性质进行求解；
（1）由旋转的性质得：，，易证是等边三角形，推出，结合，即可求解；
（2）取的交点为，通过证明，得出．
【详解】（1）解：由旋转的性质得：，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）证明：根据题意得：，
，
，
，
，
，
，
，
取的交点为，
，
，
．
16．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）证明即可．
（2）连接，证明是等边三角形，得到，利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴；
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴；
∴；
∴；
∵，
∴
∴．
（2）连接，
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴；
∴是等边三角形，
∴；
∵，，，
∴，；
∴；
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
17．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）【问题背景】如图，正方形和正方形，，，三点共线，，，将正方形绕点顺时针旋转，连接，．
【问题解决】
(1)如图，求证：；
(2)如图，在旋转过程中，当，，三点共线时，试求的长；
(3)在旋转过程中，是否存在某时刻，使得，若存在，请直接写出的长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（）根据正方形的性质可得，，，然后证明，由全等三角形的性质即可求证；
（）连接交于点，由四边形是正方形，，则，，，，然后通过勾股定理和线段和差即可求解；
（）过点作，交的延长线于点，由，则，所以，然后通过勾股定理和线段和差即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形和均为正方形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接交于点，
∵四边形是正方形，，
∴，，，，
∴，，
∵，，三点共线，
在中，由勾股定理得，
∴；
（3）解：存在，，如图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中由勾股定理得，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，含角的特殊直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是题的关键．