九年级上学期数学压轴必考题型——多边形与圆练习（含答案）

这是一份九年级上学期数学压轴必考题型——多边形与圆练习（含答案），共48页。
1．（2021•绍兴）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．（2021•海陵区一模）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）．图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．S变化，l不变B．S不变，l变化
C．S变化，l变化D．S与l均不变
3．（2021•成都模拟）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（ ）
A．30°或150°B．60°或120°C．30°D．60°
4．如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点A（﹣1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（ ）
A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）
5．（2021•连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（2018•石家庄二模）老师在微信群发了这样一个图：以线段AB为边作正五边形ABCDE和正三角形ABG，连接AC、DG，交点为F，下列四位同学的说法不正确的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（2018•江岸区校级模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（ ）
A．B．C．2D．
8．（2017•河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4B．1.1C．0.8D．0.5
二．填空题
9．（2021春•碑林区校级期末）如图，在正六边形ABCDEF中，连接CE，AD，AD与CE交于点O，连接OB，若正六边形边长为4，则OB的长为 ．
10．（2021•徐州模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD，则∠CBD的度数是 ．
11．（2021•江西）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 ．
12．（2021•曲江区校级模拟）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC距离为 ．
13．（2021•建邺区一模）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，以C为圆心，CB为半径画弧交AD于点F，连接CF，则∠CFD＝ °．
14．（2020秋•海曙区期末）如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长 ．
15．（2020•宁波模拟）如图，正五边形ABCDE内接于半径为4的圆O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，FB，则FA•FB的值为 ．
16．（2020•浙江自主招生）如图所示，已知AB＝10，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正六边形APCDEF，以PB为底作等腰三角形BPN，连接PD，DN，则△PDN的面积的最大值是 ．
17．（2020•浙江自主招生）如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF＝2，则PQ的长度为 ．
18．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并延长交圆于点E，则DE的长为 ．
三．解答题
19．（2021•鼓楼区二模）如图，在正六边形ABCDEF中，以AD为对角线作正方形APDQ，AP、DP与BC分别交于M、N．
（1）∠BAM＝ °；
（2）若AB＝4，求MN的长．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.1，可以直接利用（1）的结论）




20．（2020秋•庐阳区期末）已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点．
（1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD；
（2）如图2，若图中PE＝OE，求的值．

21．（2020秋•金寨县期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D，E重合），求∠CPD的余角的度数．



22．（2020•通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；
（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．



23．（2021•武汉模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．

24．（2019秋•垦利区期中）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°．
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么∠DON＝ 度，并说明理由．
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝ ，且∠EON＝ 度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）



25．（2019•鼓楼区校级模拟）如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是 ；图2中，∠APN的度数是 ，图3中∠APN的度数是 ．
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） ．


26．（2018•平房区二模）如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．
（1）求证：AE＝FB；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有与△ABM全等的三角形．




27．（2017•槐荫区一模）（1）如图1，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，求正六边形的边长．
（2）如图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12．求证：AB＝AC．
人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题 多边形与圆
一．选择题
1．（2021•绍兴）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【思路引导】根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90°，则∠BOC＝90°，然后根据圆周角定理求解．
【完整解答】解：连接OB、OC，如图，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：B．
2．（2021•海陵区一模）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）．图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．S变化，l不变B．S不变，l变化
C．S变化，l变化D．S与l均不变
【思路引导】如图，连接OA，OC．证明△HOC≌△GOA（ASA），可得结论．
【完整解答】解：如图，连接OA，OC．
∵∠HOB＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，
∴∠HOC＝∠GOA，
在△OHC和△OGA中，
，
∴△HOC≌△GOA（ASA），
∴AG＝CH，
∴S阴＝S四边形OABC＝定值，l＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝定值，
故选：D．
3．（2021•成都模拟）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（ ）
A．30°或150°B．60°或120°C．30°D．60°
【思路引导】构造圆心角，分两种情况，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．
【完整解答】解：连接OA，OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
当点P不在上时，
∠APB＝∠AOB＝30°，
当点P在上时，
∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣30°＝150°，
故选：A．
4．如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点A（﹣1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（ ）
A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）
【思路引导】连接OB，证△AOB是等边三角形，得AB＝OA＝1，过B作BG⊥OA于点G，则AG＝OA＝，BG＝AG＝，得B（，），C（，），E（，﹣），再由题意得P，Q第一次相遇地点的坐标在点C（，），第二次相遇地点在点E（，﹣），第三次相遇地点在点A（﹣1，0），如此循环下去，即可求出第2021次相遇地点的坐标．
【完整解答】解：连接OB，如图所示：
∵A（1，0），O为正六边形的中心，
∴OA＝1，∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
过B作BG⊥OA于点G，
则AG＝OA＝，BG＝AG＝，
∴B（，），
∴C（，），E（，﹣），
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），
此时点P的路程为1×2＝2，点的Q路程为2×2＝4，
此时P，Q相遇地点的坐标在点C（，），
以此类推：第二次相遇地点在点E（，﹣），
第三次相遇地点在点A（﹣1，0），
…如此下去，
∵2021÷3＝673…2，
∴第2021次相遇地点在点E，E的坐标为（，﹣），
故选：C．
5．（2021•连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【思路引导】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
【完整解答】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故选：B．
6．（2018•石家庄二模）老师在微信群发了这样一个图：以线段AB为边作正五边形ABCDE和正三角形ABG，连接AC、DG，交点为F，下列四位同学的说法不正确的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【思路引导】利用对称性可知直线DG是正五边形ABCDE和正三角形ABG的对称轴，再利用正五边形、等边三角形的性质一一判断即可；
【完整解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，△ABC是等边三角形，
∴直线DG是正五边形ABCDE和正三角形ABG的对称轴，
∴DG垂直平分线段AB（丁正确），DG平分∠CDE．
∵∠ABC＝∠BCD＝∠EDC＝108°，
∴∠BCA＝∠BAC＝36°，
∴∠DCA＝72°．正三角形ABG中，∠BAG＝60°，
∴∠BAC+∠BAG＝36°+60°＝96°，
∴AC与AG不垂直（乙不正确）．
由∠CDE+∠DCA＝108°+72°＝180°，得DE∥AC（丙正确）．
∴∠CDF＝EDF＝∠CFD，∴△CDF是等腰三角形（甲正确）．
总之，丁、甲、丙正确，乙不正确，
故选：B．
7．（2018•江岸区校级模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（ ）
A．B．C．2D．
【思路引导】设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a．因为BC、CD、MN是切线，可得BE＝CE＝CF＝DF＝a，MK＝ME，NK＝NF，设MK＝ME＝x，NK＝NF＝y，在Rt△CMN中，因为MN＝x+y，CN＝a﹣y，CM＝a﹣x，可得到（x+y）2＝（a﹣y）2+（a﹣x）2，推出ax+ay+xy＝a2，根据S△AMN＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△CMN﹣S△ADN，构建方程求出a即可解决问题．
【完整解答】解：设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a．
∵BC、CD、MN是切线，
∴BE＝CE＝CF＝DF＝a，MK＝ME，NK＝NF，设MK＝ME＝x，NK＝NF＝y，
在Rt△CMN中，∵MN＝x+y，CN＝a﹣y，CM＝a﹣x，
∴（x+y）2＝（a﹣y）2+（a﹣x）2，
∴ax+ay+xy＝a2，
∵S△AMN＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△CMN﹣S△ADN＝4，
∴4a2﹣×2a×（a+x）﹣（a﹣x）（a﹣y）﹣×2a×（a+y）＝4，
∴a2﹣（ax+ay+xy）＝4，
∴a2＝4，
∴a＝2或﹣2（负值舍去），
∴AB＝2a＝4，
∴⊙O的半径为2．
故选：C．
8．（2017•河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4B．1.1C．0.8D．0.5
【思路引导】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，由此即可判断．
【完整解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，
故选：C．
二．填空题
9．（2021春•碑林区校级期末）如图，在正六边形ABCDEF中，连接CE，AD，AD与CE交于点O，连接OB，若正六边形边长为4，则OB的长为 2 ．
【思路引导】在Rt△BCO中，求出OC，可得结论．
【完整解答】解：在正六边形ABCDEF中，BC＝CD＝DE＝4，∠BCD＝∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝∠DEC＝30°，
∵AD⊥CE，
∴OC＝OE＝CD•cs30°＝2，
∵∠BCO＝∠BCD﹣∠DCO＝90°，
∴OB＝＝＝2，
故答案为：2．
10．（2021•徐州模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD，则∠CBD的度数是 30° ．
【思路引导】求出∠BCD,利用等腰三角形的性质求解即可．
【完整解答】解：在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝120°,
∵CB＝CD,
∴∠CBD＝∠CDB＝(180°﹣120°)＝30°,
故答案为：30°．
11．（2021•江西）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 9或10或18 ．
【思路引导】连接DF,DB,BF．则△DBF是等边三角形．解直角三角形求出DF,可得结论．当点N在OC上，点M在OE上时，求出等边三角形的边长的最大值，最小值，可得结论．
【完整解答】解：连接DF,DB,BF．则△DBF是等边三角形．
设BE交DF于J．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴由对称性可知，DF⊥BE,∠JEF＝60°,EF＝ED＝6,
∴FJ＝DJ＝EF•sin60°＝6×＝9,
∴DF＝18,
∴当点M与B重合，点N与F重合时，满足条件，
∴△DMN的边长为18，
如图，当点N在OC上，点M在OE上时，
等边△DMN的边长的最大值为6≈10.39，最小值为9，
∴△DMN的边长为整数时，边长为10或9，
综上所述，等边△DMN的边长为9或10或18．
故答案为：9或10或18．
12．（2021•曲江区校级模拟）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC距离为 2 ．
【思路引导】连接OB交AC于M，根据圆内接正多边形的性质得到∠AOB＝∠BOC＝45°，AB＝BC，由垂径定理可求得AM，得到OM⊥AC，在等腰Rt△AOC中，根据勾股定理求出OA，在等腰Rt△AOM中，根据勾股定理求出OM，即为点O到AC距离为2．
【完整解答】解：连接OB交AC于M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，
∴＝，∠AOC＝90°，
∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，
∵OA＝OC，
∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，
∴∠OAM＝∠AOB，
∴AM＝OM，
在Rt△AOC中，
∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，
∴2OA2＝AC2＝42＝16，
∴OA＝2，
在Rt△AOM中，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴2OM2＝（2）2，
∴OM＝2，
∴点O到AC距离为2，
故答案为：2．
13．（2021•建邺区一模）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，以C为圆心，CB为半径画弧交AD于点F，连接CF，则∠CFD＝ 72 °．
【思路引导】由多边形的内角和与正多边形的定义求得∠CDE＝∠E＝108°，AE＝DE，由等腰三角形的性质求得∠EDA＝54°，进而求得∠CDF＝72°，再根据等腰三角形的性质即可求得∠CFD．
【完整解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CDE＝∠E＝＝108°，AE＝DE，
∴∠EDA＝∠EAD＝（180°﹣∠E）＝54°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDA＝108°﹣36°＝72°，
∵CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝72°，
故答案为：72．
14．（2020秋•海曙区期末）如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长 ．
【思路引导】作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，可得四边形ABPN是平行四边形，根据六边形ABCDEF是正六边形，可得△ANG是等边三角形，然后证明△CPG∽△HDC，对应边成比例即可解决问题．
【完整解答】解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，
∴四边形ABPN是平行四边形，
∴PN＝AB＝6，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，
∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，
∴△ANG是等边三角形，
∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，
∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，
∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，
∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，
∴∠PCG＝∠DHC，
∵∠CPG＝∠D，
∴△CPG∽△HDC，
∴＝，
∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，
∴DH＝，
∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．
故答案为：．
15．（2020•宁波模拟）如图，正五边形ABCDE内接于半径为4的圆O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，FB，则FA•FB的值为 16 ．
【思路引导】连接OA，OB，OB交AF于J．利用相似三角形的性质证明OF2＝FJ•FA，再证明△AOJ≌△OFB，推出OJ＝BF＝FJ即可解决问题．
【完整解答】解：连接OA，OB，OB交AF于J．
∵OF⊥BC，
∴＝，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝72°，∠BOF＝36°，
∴∠AOF＝108°，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝∠FOJ＝36°，
∴OJ＝JF，
∵AO＝AJ，OB＝OF，∠OAJ＝∠FOB，
∴△AOJ≌△OFB（SAS），
∴OJ＝BF，
∵∠OFJ＝∠AFO，∠FOJ＝∠OAF，
∴△FOJ∽△FAO，
∴＝，
∴OF2＝FJ•FA，
∵FJ＝OJ＝FB，
∴FA•FB＝OF2＝16．
故答案为16．
16．（2020•浙江自主招生）如图所示，已知AB＝10，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正六边形APCDEF，以PB为底作等腰三角形BPN，连接PD，DN，则△PDN的面积的最大值是 ．
【思路引导】根据正六边形的性质求得EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六边形的每一个内角为120°，进而求得∠ADP＝30°，从而求得PD＝PA，设PA＝x．则PB＝10﹣x，根据等腰三角形的性质求得PM＝PB＝（10﹣x），根据三角形的面积就可得出S△PDN＝PD•PM＝﹣（x﹣5）2+，从而得出△PDN的面积的最大值．
【完整解答】解：连接AD，作NM⊥PB于M，
∵六边形APCDEF是正六边形，
∴EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六边形的每一个内角为120°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADP＝30°
∴PD＝PA，
∵DP⊥AB，NM⊥PB
∴PD∥MN，
∴PM就是△PDN的PD边的高，
设PA＝x．则PB＝10﹣x，
∵在等腰△BPN中，MN⊥PB，
∴PM＝PB＝（10﹣x），
∴S△PDN＝PD•PM＝×x×（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+（0＜x＜10），
∴△PDN的面积的最大值为：．
故答案为：．
17．（2020•浙江自主招生）如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF＝2，则PQ的长度为 2﹣2 ．
【思路引导】先判断出PQ⊥CF，再求出AC＝2，AF＝2，CF＝2AF＝4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可．
【完整解答】解：如图，
连接PF，QF，PC，QC，
∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心，
∴PF是∠AFC的角平分线，FQ是∠CFE的角平分线，
∴∠PFC＝∠AFC＝30°，∠QFC＝∠CFE＝30°，
∴∠PFC＝∠QFC＝30°，
同理，∠PCF＝∠QCF
∴PQ⊥CF，
∴△PQF是等边三角形，
∴PQ＝2PG；
易得△ACF≌△ECF，且内角是30°，60°，90°的三角形，
∴AC＝2，AF＝2，CF＝2AF＝4，
∴S△ACF＝AF×AC＝×2×2＝2，
过点P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，
∵点P是△ACF的内心，
∴PM＝PN＝PG，
∴S△ACF＝S△PAF+S△PAC+S△PCF
＝AF×PM+AC×PN+CF×PG
＝×2×PG+×2×PG+×4×PG
＝（1++2）PG
＝（3+）PG
＝2，
∴PG＝＝﹣1，
∴PQ＝2PG
＝2（﹣1）
＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
18．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并延长交圆于点E，则DE的长为 ．
【思路引导】连接CE，作出EF⊥CD，运用相似三角形的性质，得出EF，PF的长，再根据勾股定理即可得出结论．
【完整解答】解：连接CE，作EF⊥PF．
∵∠DAP＝∠PCE，∠APD＝∠CPE，
∴△APD∽△CPE，
∴＝，
∵P为边CD的中点
∴PD＝PC＝，PA＝＝，
＝，
∴PE＝，
∵FE∥AD
∴△APD∽△EPF，
∴＝，
∴＝，
∴PF＝，
∴EF＝＝1，
∴DE＝＝＝，
故答案为：．
三．解答题
19．（2021•鼓楼区二模）如图，在正六边形ABCDEF中，以AD为对角线作正方形APDQ，AP、DP与BC分别交于M、N．
（1）∠BAM＝ 15 °；
（2）若AB＝4，求MN的长．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.1，可以直接利用（1）的结论）
【思路引导】（1）利用正多边形的性质分别求出∠DAB，∠DAP即可．
（2）连接BE交AD于点O，连接OP交BC于H．想办法求出OP，OH，再求出PH，利用等腰直角三角形的性质可得结论．
【完整解答】解：（1）在正六边形ABCDEF中，∠DAB＝60°，
在正方形AQDP中，∠DAP＝45°，
∴∠BAM＝∠DAB﹣∠DAP＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15．

（2）连接BE交AD于点O，连接OP交BC于H．
在正六边形ABCDEF 中，CD＝BC＝AB＝4，∠BAF＝∠ABC＝∠C＝∠CDE＝120°，
AO、BO 平分∠BAF、∠ABC，OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝∠CBO＝×120°＝60°，
∴△ABO 是等边三角形，
∴BC∥AD，AO＝BO＝AB＝4，
∴AD＝2AO＝8，
在正方形APDQ 中，AP＝DP，∠APD＝90°，
∵AO＝DO，
∴PO＝AD＝4，PO⊥AD，∠APO＝∠DPO＝∠APD＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠MHP＝∠AOP＝90°，
∴∠BHO＝90°，
∴sin∠OBH＝，
∵∠OBH＝60°，BO＝4，
∴OH＝4×sin60°＝2，
∵PH＝MH＝OP−OH＝4−2，
∴MN＝2MH＝8−4≈1.1．
20．（2020秋•庐阳区期末）已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点．
（1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD；
（2）如图2，若图中PE＝OE，求的值．
【思路引导】（1）连接DE，由是正方形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD＝OC，由等腰直角三角形的性质得到EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°，∠EBD＝∠EDB，
由圆周角的性质得到∠POD＝∠ABD＝22.5°，进而得到∠EDC＝67.5°，∠CED＝67.5°，根据等腰三角形的判定即可得到CE＝CD；
（2）根据正方形的性质和圆周角定理及角平分线的性质证得∠1＝∠2＝∠PDE，由三角形内角和定理求出∠2＝30°，根据含30°直角三角形的性质和勾股定理得到DE＝2OE，OD＝OE，进而得到OD＝OA＝OE，AE＝（﹣1）OE，EC＝（+1）OE，代入即可得到结果．
【完整解答】（1）证明：如图1，连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝OC，
∴EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵点P是弧AD的中点，
∴∠PBD＝∠ABD＝×∠AOD＝22.5°，
∴∠EDC＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CE＝CD；
（2）解：如图2，连接DE，DP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠EOD＝90°，OA＝OD，
∴∠P＝∠BAD＝90°，
∵PE＝OE，
∴∠PDE＝∠2，由（1）知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠PDE，
∴∠1+∠2+∠PDE＝90°，
∴∠2＝30°，
∴OE＝DE，
∴DE＝2OE，
∴OD＝＝OE，
∴＝，
∴OD＝OA＝OE，
∴AE＝OA﹣OE＝（﹣1）OE，EC＝OE+OC＝（+1）OE，
∴＝＝2﹣．
21．（2020秋•金寨县期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D，E重合），求∠CPD的余角的度数．
【思路引导】连接OC，OD，先由正五边形的性质求出∠COD的度数，再根据圆周角定理求出∠CPD的度数，即可解决问题．
【完整解答】解：如图，连接OC，OD．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∴∠CPD的余角的度数为90°﹣36°＝54°．
22．（2020•通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；
（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
【思路引导】（1）证明△ABP≌△DEQ（SAS），可得BP＝EQ，同理PE＝BQ，由此即可证明；
（2）求出t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，求出矩形面积和正六边形面积，即可得出结论．
【完整解答】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，
在△ABP和△DEQ中，，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP＝EQ，
同理可证PE＝QB，
∴四边形PEQB为平行四边形．
（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，
当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：
则∠EAF＝∠AEF＝30°，
∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，
∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．
当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：
同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，
∴AE＝＝6，
∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；
∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，
∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．
23．（2021•武汉模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
【思路引导】（1）欲证明AE＝DE，只要证明＝．
（2）连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．证明△ADE≌△CDF（AAS），推出AE＝CF，推出S△ADE＝S△CDF，推出S四边形AECD＝S△DEF，再利用等腰三角形的性质构建方程求出DE，即可解决问题．
【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝DE．

（2）解：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EF＝DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝DE，
∴DE＝+1，
∴S△DEF＝DE2＝+．
24．（2019秋•垦利区期中）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°．
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么∠DON＝ 90 度，并说明理由．
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝ EM ，且∠EON＝ 108 度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）
【思路引导】（1）利用△ABC是正三角形，可得∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，又因BM＝AN，所以△ABN≌△BCM，∠ABN＝∠BCM，所以∠NOC＝∠BCM+∠OBC＝∠ABN+∠OBC＝60°；
（2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，AN＝DM，∠DON＝90°；
（3）同（1），利用三角形全等可知在正五边形中，AN＝EM，∠EON＝108°．
【完整解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，
在△ABN和△BCM中，，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠ABN＝∠BCM，
又∵∠ABN+∠OBC＝60°，
∴∠BCM+∠OBC＝60°，
∴∠NOC＝60°；

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM＝∠ABN＝90°，AD＝AB，
又∵AM＝BN，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴AN＝DM，∠ADM＝∠BAN，
又∵∠ADM+∠AMD＝90°，
∴∠BAN+∠AMD＝90°
∴∠AOM＝90°；即∠DON＝90°；

（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A＝∠B，AB＝AE，
又∵AM＝BN，
∴△ABN≌△EAM（SAS），
∴AN＝ME，
∴∠AEM＝∠BAN，
∴∠NOE＝∠NAE+∠AEM＝∠NAE+∠BAN＝∠BAE＝108°．
故答案为：90°，EM，108°．
25．（2019•鼓楼区校级模拟）如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是 60° ；图2中，∠APN的度数是 90° ，图3中∠APN的度数是 108° ．
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） ．
【思路引导】根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可．
【完整解答】解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°；
同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．

（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．
26．（2018•平房区二模）如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．
（1）求证：AE＝FB；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有与△ABM全等的三角形．
【思路引导】（1）证明△AFE与△BAF全等，利用全等三角形的性质证明即可；
（2）先证明△ABM≌△DEN，同理得出△ABM≌△FEM≌△CBN，
【完整解答】证明：（1）∵正六边形ABCDEF，
∴AF＝EF＝AB，∠AFE＝∠FAB，
在△AFE与△BAF中，
，
∴△AFE≌△BAF（SAS），
∴AE＝FB；
（2）与△ABM全等的三角形有△DEN，△FEM，△CBN；
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝DE，∠BAF＝120°，
∴∠ABM＝30°，
∴∠BAM＝90°，
同理∠DEN＝30°，∠EDN＝90°，
∴∠ABM＝∠DEN，∠BAM＝∠EDN，
在△ABM和△DEN中，
，
∴△ABM≌△DEN（ASA）．
同理利用ASA证明△FEM≌△ABM，△CBN≌△ABM．
27．（2017•槐荫区一模）（1）如图1，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，求正六边形的边长．
（2）如图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12．求证：AB＝AC．
【思路引导】（1）连接OD，求出∠O＝60°，证出△OCD是等边三角形，得出CD＝OC＝4即可；
（2）由勾股定理的逆定理证出AD⊥BC，再由线段垂直平分线的性质即可得出AB＝AC．
【完整解答】（1）解：连接OD，如图所示：
∵六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，
∴∠O＝＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
即正六边形的边长为4；

（2）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD＝BC＝5，
∵AB＝13，AD＝12，
∴BD2+AD2＝52+122＝169＝132＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，
又∵BD＝CD，
∴AB＝AC．