九年级上学期数学压轴必考题型——旋转练习（含答案）

这是一份九年级上学期数学压轴必考题型——旋转练习（含答案），共55页。
1．（2020秋•滨海新区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF，其中，E，F是点B，C旋转后的对应点，BE，CF相交于点D．当旋转到AF∥BE时，则∠CAE的大小是（ ）
A．90°B．75°C．60°D．45°
2．（2021春•安国市期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同一条直线上，则∠B的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
3．（2021春•太原期末）如图，将正六边形ABCDEF绕它的中点O顺时针旋转一定角度，可以使边BA与AF重合，则旋转角的最小度数为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．180°
4．（2021春•本溪期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E点恰好落在AB的延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）
A．AD∥BCB．∠CBE＝∠CC．∠ABD＝∠ED．AD＝BC
5．（2021春•南关区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝25°，在∠ADC的度数是（ ）
A．45°B．60°C．70°D．75°
6．（2021春•开福区期中）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝2，PB＝2．下列结论：①PD＝PB；②EB⊥ED；③△APD≌△AEB；④点B到直线AE的距离为2；⑤S△APB+S△APD＝2+4．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．②③⑤C．②③④D．①③⑤
7．（2021春•抚州期末）如图所示，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一个动点（点D不与B，C重合），将△ADC绕点A顺时针旋转一定角度后得到△AFB，过点F作BC的平行线交AC于点E，连接DF，下列四个结论中：①旋转角为60°；②△ADF为等边三角形；③四边形BCEF为平行四边形；④BF＝AE．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2021春•龙岗区期中）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
9．（2020•开封一模）如图，指针OA，OB分别从与x轴和y轴重合的位置出发，绕着原点O顺时针转动，已知OA每秒转动45°，OB的转动速度是OA的，则第2020秒时，OA与OB之间夹角的度数为（ ）
A．130°B．145°C．150°D．165°
10．（2020秋•金水区校级月考）如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二．填空题
11．（2021•巴中）如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M．若BQ：AQ＝3：1，则AM＝ ．
12．（2021春•潍坊期末）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是 ．
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
13．（2021春•南关区期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A1，AB⊥a于点B，A1D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 ．
14．（2021春•东坡区期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转70°后，转到△A'BC'的位置，且使点C'落在AB的延长线上．已知∠C＝22°，则∠BA'C'＝ ．
15．（2021春•安国市期末）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，完成下列问题：
（1）△B4A5B5的顶点A5的坐标是 ；
（2）△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是 ．
16．（2021春•平顶山期末）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，点D在边AB上，且BD＝1，E是边AC的中点，将线段BD绕点B顺时针旋转，点D的对应点为F，连接AF，EF，当△AEF为直角三角形时，AF＝ ．
17．（2021春•北仑区期末）如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有 ．
①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．
18．（2021春•茅箭区月考）如图，△ABC，△EFG均为边长为4的等边三角形，点D是BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值为 ．
三．解答题
19．（2021•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．
（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；
（2）连接CC1，△ACC1的面积为 ；
（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．





20．（2021•德阳）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．





21．（2021春•卧龙区期末）如图，已知四边形ABCD．
（1）画出四边形ABCD向上平移5格后的四边形A1B1C1D1；
（2）画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A2B2C2D2；
（3）画出四边形ABCD关于直线MN成轴对称的四边形A3B3C3D3；
（4）四边形A2B2C2D2与四边形A3B3C3D3是否对称？若对称，在图中画出对称轴或对称中心．






22．（2021春•东坡区期末）如图，在12×12的网格图中，每个小正方形边长均为1个单位长度．已知△ABC在网格图中的位置如图所示：
（1）在网格图中画出△ABC向右平移6个单位后的图形△A1B1C1；
（2）在网格图中画出△ABC以P为对称中心的图形△A2B2C2．



23．（2021春•仁寿县期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
（1）作出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后所得的△AB2C2；
（3）在OM上做出点P，使△PBC的周长最小．



24．（2021春•卧龙区期末）如图①，我们把一副两个三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝45°，∠C＝30°，
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图②，将图①中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA'B'的位置，求当∠AOA'为多少度时，OB'平分∠COD；
（3）如图③，两个三角尺的直角边OA，OD摆放在同一条直线上，另一条直角边OB，OC也在同一条直线上，将△OAB绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当AB∥CD时，旋转角的度数是 ．









25．（2021春•抚州期末）如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1．
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A3B3C3；
（4）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 ．




26．（2021春•沈河区期末）思维启迪
（1）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，点在AB上，AD＝AC，AE⊥CD垂足为E，点F是BC中点，则EF的长度为 ．
思维探索
（2）如图2，等边三角形ABC的边长为4，AD⊥BC垂足为D，点E是AC的中点，点M是AD的中点，点N是BE的中点，求MN的长．
（3）将（2）中的△CDE绕C点旋转，其他条件不变，当点D落在直线AC上时，画出图形，并直接写出MN长．


27．（2021春•江岸区校级月考）△ABC中，∠A＝45°，∠CBA＝α，点D在边AB上，将线段CD逆时针旋转β得到CE，连接DE．
（1）当α＝45°，β＝90°时，求证：AD2+DB2＝DE2．
（2）当α＝30°，β＝120°时，若CE＝BE，求的值．
人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题 旋转
一．选择题
1．（2020秋•滨海新区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF，其中，E，F是点B，C旋转后的对应点，BE，CF相交于点D．当旋转到AF∥BE时，则∠CAE的大小是（ ）
A．90°B．75°C．60°D．45°
【思路引导】由旋转的性质可得∠EAF＝∠BAC＝40°，AB＝AE，再由平行线的性质得∠FAE＝∠AEB＝40°，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠BAE的度数，即可求解．
【完整解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF，
∴∠EAF＝∠BAC＝40°，AB＝AE，
∵AF∥BE，
∴∠EAF＝∠AEB＝40°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝40°，
∴∠BAE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝100°﹣40°＝60°，
故选：C．
2．（2021春•安国市期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同一条直线上，则∠B的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【思路引导】先由旋转的性质得∠BAD＝150°，AD＝AB，再证△BAD是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
【完整解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，
∴∠BAD＝150°，AD＝AB，
∵点B、C、D在同一条直线上，
∴△BAD是等腰三角形，
∴∠B＝∠BDA＝（180°﹣∠BAD）＝×（180°﹣150°）＝15°，
故选：B．
3．（2021春•太原期末）如图，将正六边形ABCDEF绕它的中点O顺时针旋转一定角度，可以使边BA与AF重合，则旋转角的最小度数为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．180°
【思路引导】连接OA、OB、OF，由正六边形的性质得出∠AOB＝∠AOF＝60°，进而即可求解．
【完整解答】解：连接OA、OB、OF，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝∠AOF＝＝60°，
∴将正六边形ABCDEF绕它的中点O顺时针旋转60°，BA与AF重合，
∴旋转角的最小度数为60°，
故选：A．
4．（2021春•本溪期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E点恰好落在AB的延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）
A．AD∥BCB．∠CBE＝∠CC．∠ABD＝∠ED．AD＝BC
【思路引导】由旋转的性质得到∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝BD，再推出△ABD是等边三角形，得到∠DAB＝∠CBE，于是得到结论．
【完整解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，
∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠DAB＝∠CBE，
∴AD∥BC，
故选：A．
5．（2021春•南关区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝25°，在∠ADC的度数是（ ）
A．45°B．60°C．70°D．75°
【思路引导】由旋转的性质得∠DCE＝∠ACB＝25°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，则△ACE是等腰直角三角形，得∠CAE＝∠E＝45°，再由三角形的外角性质求解即可．
【完整解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴∠DCE＝∠ACB＝25°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE＝∠E＝45°，
∴∠ADC＝∠E+∠DCE＝45°+25°＝70°，
故选：C．
6．（2021春•开福区期中）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝2，PB＝2．下列结论：①PD＝PB；②EB⊥ED；③△APD≌△AEB；④点B到直线AE的距离为2；⑤S△APB+S△APD＝2+4．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．②③⑤C．②③④D．①③⑤
【思路引导】首先通过SAS证明△APD≌△AEB，故③正确；得∠APD＝∠AEB，可得∠BEP＝90°，则EB⊥ED，故②正确；由BP＞BE＝PD，故①错误；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，可得△BEF是等腰直角三角形，求得点B到直线AE的距离为2，故④错误；S△APB+S△APD＝S△APB+S△AEB＝S△AEP+S△BEP，代入计算即可得出⑤正确．
【完整解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠EAP＝90°，
∴∠DAP+∠BAP＝∠BAP+∠BAE＝90°，
∴∠DAP＝∠BAE，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），故③正确；
∴∠APD＝∠AEB，PD＝BE，
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
∴∠APD＝∠AEB＝135°，
∴∠BEP＝90°，
∴EB⊥ED，故②正确；
∵BP＞BE＝PD，故①错误；
过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，
∵AE＝AP＝2，
∴PE＝AE＝2，
∴BE＝，
∵∠AEB＝135°，
∴∠BEF＝45°，
∴BF＝EF＝2，
∴点B到直线AE的距离为2，故④错误；
∵S△APB+S△APD＝S△APB+S△AEB＝S△AEP+S△BEP＝×2×2+×2×4＝2+4，
故⑤正确；
故选：B．
7．（2021春•抚州期末）如图所示，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一个动点（点D不与B，C重合），将△ADC绕点A顺时针旋转一定角度后得到△AFB，过点F作BC的平行线交AC于点E，连接DF，下列四个结论中：①旋转角为60°；②△ADF为等边三角形；③四边形BCEF为平行四边形；④BF＝AE．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路引导】根据旋转的性质得到△AFB≌△ADC，根据全等三角形的性质得到∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，求得∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝60°，于是得到①旋转角为60°正确；②△ADF为等边三角形正确；推出∠ABF＝∠BAC，根据平行线的判定定理得到FB∥AC，推出四边形BCEF是平行四边形，故③四边形BCEF为平行四边形正确；根据平行四边形的性质得到BF＝CE，由于点E不一定是AC的中点，得到AE不一定等于CE，故④BF＝AE错误，
【完整解答】解：∵将△ADC绕点A顺时针旋转一定角度后得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，
∴∠FAB+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝60°，
∴①旋转角为60°正确；②△ADF为等边三角形正确；
∵△AFB≌△ADC，
∴∠ABF＝∠C＝60°．
又∵∠BAC＝∠C＝60°，
∴∠ABF＝∠BAC，
∴FB∥AC，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形，故③四边形BCEF为平行四边形正确；
∴BF＝CE，
∵点E不一定是AC的中点，
∴AE不一定等于CE，故④BF＝AE错误，
故选：C．
8．（2021春•龙岗区期中）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【思路引导】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断
【完整解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF（AAS），
∴OE＝OF，PE＝PF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
9．（2020•开封一模）如图，指针OA，OB分别从与x轴和y轴重合的位置出发，绕着原点O顺时针转动，已知OA每秒转动45°，OB的转动速度是OA的，则第2020秒时，OA与OB之间夹角的度数为（ ）
A．130°B．145°C．150°D．165°
【思路引导】首先求出第一次相遇的时间，再求出第二次相遇所用的时间，探究规律利用规律解决问题即可．
【完整解答】解：设t秒第一次相遇．
由题意：270+15t＝45t，
解得t＝9，
相遇后设m秒第二次相遇，则有45m﹣15m＝360，
解得m＝12，
以后每过12秒相遇一次，
（2020﹣9）÷12＝167…7，
∴2020秒时，7×45°﹣7×15°＝210°，
此时OA与OB的夹角为150°．
解法二：∵已知OA每秒转动45°，360°÷45°＝8，
∴OA转动一周需要8秒，
2020÷8＝252…4，
4×45°＝180°，
∴OA2020秒后在x轴的负半轴上，
同法可得，OB2020秒后在第一象限，与y轴的夹角为60°，
∴∠AOB＝90°+60°＝150°．
故选：C．
10．（2020秋•金水区校级月考）如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【思路引导】连接BF，判定△ACE≌△BCF，即可得到∠CBF＝∠CAE＝30°，进而得出点F的运动轨迹为直线BF，依据当DF⊥BF时，DF最短，即可得到DF的最小值是2．
【完整解答】解：如图，连接BF，
由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CAE，
∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，
∴∠CAE＝30°，BD＝4，
∴∠CBF＝30°，
即点F的运动轨迹为直线BF，
∴当DF⊥BF时，DF最短，
此时，DF＝BD＝×4＝2，
∴DF的最小值是2，
故选：C．
二．填空题
11．（2021•巴中）如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M．若BQ：AQ＝3：1，则AM＝ ．
【思路引导】连接OQ，OP，利用HL证明Rt△OAQ≌Rt△ODQ，得QA＝DQ，同理可证：CP＝DP，设CP＝x，则BP＝3﹣x，PQ＝x+，在Rt△BPQ中，利用勾股定理列出方程（3﹣x）2+（）2＝（x+）2，解方程得x＝，再利用△AQM∽△BQP可求解．
【完整解答】解：连接OQ，OP，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，
∴OA＝OD，∠OAQ＝∠ODQ＝90°，
在Rt△OAQ和Rt△ODQ中，
，
∴Rt△OAQ≌Rt△ODQ（HL），
∴QA＝DQ，
同理可证：CP＝DP，
∵BQ：AQ＝3：1，
∴BQ＝，AQ＝，
设CP＝x，则BP＝3﹣x，PQ＝x+，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：
（3﹣x）2+（）2＝（x+）2，
解得x＝，
∴BP＝，
∵∠AQM＝∠BQP，∠BAM＝∠B，
∴△AQM∽△BQP，
∴，
∴，
∴AM＝．
故答案为：．
12．（2021春•潍坊期末）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是 B，D ．
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
【思路引导】根据轴对称，中心对称，旋转变换的性质一一判断即可．
【完整解答】解：A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3），错误，应该是（﹣2，﹣3）．
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2），正确
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2），错误，应该是（2，﹣3）．
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6），正确，
故答案为：B，D．
13．（2021春•南关区期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A1，AB⊥a于点B，A1D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 15 ．
【思路引导】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【完整解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝5，OD＝3，
∴AB＝2，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×5＝15．
故答案为：15．
14．（2021春•东坡区期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转70°后，转到△A'BC'的位置，且使点C'落在AB的延长线上．已知∠C＝22°，则∠BA'C'＝ 48° ．
【思路引导】由旋转的性质和平角的定义得出∠ABC＝∠A′BC′＝110°，∠C＝∠C′＝22°，再由三角形内角和定理即可求解．
【完整解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转70°后，转到△A'BC'的位置，且使点C'落在AB的延长线上，
∴∠ABC＝∠A′BC′＝180°﹣70°＝110°，∠C＝∠C′＝22°，
∴∠BA′C′＝180°﹣∠A′BC′﹣∠C′＝180°﹣110°﹣22°＝48°，
故答案为：48°．
15．（2021春•安国市期末）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，完成下列问题：
（1）△B4A5B5的顶点A5的坐标是 （9，） ；
（2）△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是 （4n+1，） ．
【思路引导】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4、A5坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．
【完整解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，
∴点A2的坐标是（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×3﹣1＝5，2×0﹣（﹣）＝，
∴点A3的坐标是（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×4﹣1＝7，2×0﹣＝﹣，
∴点A4的坐标是（7，﹣），A5（9，），
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．
故答案为：（9，），（4n+1，）．
16．（2021春•平顶山期末）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，点D在边AB上，且BD＝1，E是边AC的中点，将线段BD绕点B顺时针旋转，点D的对应点为F，连接AF，EF，当△AEF为直角三角形时，AF＝ 或 ．
【思路引导】根据题意，判断出只能是∠AEF＝90°，分两种情形，点B、F、E三点共线，且F在B、E之间，或点B、F、E三点共线，且B在F、E之间，分别通过勾股定理求AF的长即可．
【完整解答】解：∵△ABC是等边三角形，E是边AC的中点，
∴只能是∠AEF＝90°，
当点F在△ABC内时，∠AEF＝90°，此时，点B、F、E三点共线，且F在B、E之间，
∴BE＝，
∴EF＝BE﹣BF＝3﹣1＝2，
∴AF＝；
当点F在△ABC外时，∠AEF＝90°，此时，点B、F、E三点共线，且B在F、E之间，
此时，EF＝BE+BF＝3+1＝4，
∴AF＝，
故答案为：或．
17．（2021春•北仑区期末）如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有 ①②③ ．
①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．
【思路引导】过点E作EF∥AB，由∠AED＝75°得AB∥CD，再由AB＝CD得四边形ABCD为平行四边形；由这是一副三角板且∠AED＝75°得∠BEC＝∠AEC，再证明△AEC≌△BEC得AC＝BC，再由AE＝BE可知CE垂直平分AB；延长CE交AB于G，AB2＝6结合②的结论求出BG、CG，由勾股定理得BC2＝5+2；假设DE⊥AC，结合②必有菱形ABCD，即有∠ABE＝∠ABC＝30°，这与题设矛盾，由此知DE⊥AC错误．
【完整解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∴∠BAE＝∠AEF＝45°，
∵∠AED＝75°，
∴∠FED＝∠AED﹣∠AEF＝30°，
∴∠FED＝∠EDC，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故①正确；
∵∠AED＝75°，∠DEC＝60，
∴∠AEC＝135°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC，
在△AEC与△BEC中，
，
∴△AEC≌△BEC（SAS），
∴AC＝BC，
∵AE＝BE，
∴CE垂直平分AB，故②正确；
延长CE交AB于G，由②知：CG⊥AB，
∵AE＝BE，EG⊥AB，
∴AG＝BG＝GE，
∵AB2＝6，
∴AB＝，AG＝BG＝GE＝，
∵AB＝CD，
∴CD＝，
∵∠EDC＝30°，
∴CE＝ED，
∵EC²+CD²＝ED²，
∴CE＝，
∵BG²+CG²＝BC²，
∴BC2＝5+2，故③正确；
假设DE⊥AC，
∵∠DEC＝60°，
∴∠ACE＝30°，
由②知：∠ACE＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴平行四边形ABCD为菱形，
如图，连接BD，必然有BD⊥AC，
∴E必然在BD上，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，
这与∠ABE＝45°矛盾，不合题意，故④不正确．
故答案为：①②③．
18．（2021春•茅箭区月考）如图，△ABC，△EFG均为边长为4的等边三角形，点D是BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值为 ．
【思路引导】首先证明∠AMF＝90°，判定出点M在以AC为直径的圆上运动，当M运动到BM⊥AC时，BM最短来解决问题．
【完整解答】解：如图，连接AE、EC、CG，
∵DE＝CD＝DF，
∴∠DEC＝∠DCF，∠DFC＝∠DCF，
∵∠DEC+∠DCF+∠DFC＝+∠DCF＝180°，
∴∠ECF＝90°，
∵△ABC、△EFG是边三角形，D是BC、EF的中点，
∴∠ADC＝∠GDC＝90°，
∴∠ADE＝∠GDC，
在△ADE和△GDC中，
，
∴△ADE≌△GDC（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DGC，
∵DA＝DG，
∴∠DAG＝∠DGA，
∴∠GAE＝∠AGC，
∵AG＝GA，
∴△AGE≌△GAC，
∴∠GAK＝∠AGK，
∴KA＝KG，
∵AC＝EG，
∴EK＝KC，
∴∠KEC＝∠KCE，
∵∠AKG＝∠EKC
∴∠KAG＝∠KCE，
∴EC∥AG，
∴∠AMF＝∠ECF＝90°，
∴点M在以AC为直径的圆上运动，
∴当BM⊥AC时，BM最短，
∵AB＝4，
∴OB＝2，AO＝OM＝2，
∴BM的最小值为，
故答案为：．
三．解答题
19．（2021•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．
（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；
（2）连接CC1，△ACC1的面积为 ；
（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．
【思路引导】（1）将A、B、C三点分别绕点A按顺时针方向旋转90°画出依次连接即可；
（2）勾股定理求出AC，由面积公式即可得到答案；
（3）利用相似构造△CFD∽△C1ED即可．
【完整解答】解：（1）如图：
图中△AB1C1即为要求所作三角形；

（2）∵AC＝＝，由旋转旋转知AC＝AC1，
∴△ACC1的面积为×AC×AC1＝，
故答案为：；

（3）连接EF交CC1于D，即为所求点D，理由如下：
∵CF∥C1E，
∴△CFD∽△C1ED，
∴＝，
∴CD＝CC1，
∴△ACD的面积＝△ACC1面积的．
20．（2021•德阳）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．
【思路引导】（1）可证B1是EE1的中点，则EB1＝EE1，根据M、N分别是AE和AE1的中点，则MN∥EB1，MN＝EE1，即可证明；
（2）由S△EAF＝S△FEC，可得AF＝EC．然后通过SAS可证明结论．
【完整解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵△AB1E1是△ABE旋转所得的，
∴AE＝AE1，∠AB1E1＝∠AB1E＝∠B＝90°，
∴B1是EE1的中点，
∴EB1＝EE1，
∵M、N分别是AE和AE1的中点，
∴MN∥EB1，MN＝EE1，
∴EB1＝MN，
∴四边形MEB1N为平行四边形，
（2）△AE1F≌△CEB1，
证明：连接FC，
∵EB1＝B1E1＝E1F，
∴＝，
同理，S＝，
∵＝，
∴S△EAF＝S△FEC，
∵AF∥EC，
∴△AEF底边AF上的高和△FEC底边上的高相等．
∴AF＝EC．
∵AF∥EC，
∴∠AFE＝∠FEC，
在△AE1F和△CEB1中，
，
∴△AE1F≌△CEB1（SAS）．
21．（2021春•卧龙区期末）如图，已知四边形ABCD．
（1）画出四边形ABCD向上平移5格后的四边形A1B1C1D1；
（2）画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A2B2C2D2；
（3）画出四边形ABCD关于直线MN成轴对称的四边形A3B3C3D3；
（4）四边形A2B2C2D2与四边形A3B3C3D3是否对称？若对称，在图中画出对称轴或对称中心．
【思路引导】（1）将四个顶点分别向上平移5个单位，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出四个顶点关于点O的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）分别作出四个顶点关于直线MN的对称点，再首尾顺次连接即可；
（4）结合图形，根据轴对称的定义求解即可．
【完整解答】解：（1）如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求；
（2）如图所示，四边形A2B2C2D2即为所求；
（3）如图所示，四边形A3B3C3D3即为所求；
（4）四边形A2B2C2D2与四边形A3B3C3D3成轴对称，如图所示，对称轴为直线l．
22．（2021春•东坡区期末）如图，在12×12的网格图中，每个小正方形边长均为1个单位长度．已知△ABC在网格图中的位置如图所示：
（1）在网格图中画出△ABC向右平移6个单位后的图形△A1B1C1；
（2）在网格图中画出△ABC以P为对称中心的图形△A2B2C2．
【思路引导】（1）根据平移的性质即可在网格图中画出△ABC向右平移6个单位后的图形△A1B1C1；
（2）根据中心对称的性质即可在网格图中画出△ABC以P为对称中心的图形△A2B2C2．
【完整解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
23．（2021春•仁寿县期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
（1）作出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后所得的△AB2C2；
（3）在OM上做出点P，使△PBC的周长最小．
【思路引导】（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质即可作出△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后所得的△AB2C2；
（3）根据两点之间线段最短，连接BC1与直线OM交于点P，此时△PBC的周长最小．
【完整解答】解：（1）△A1B1C1即为所求；
（2）△AB2C2即为所求；
（3）点P即为所求．
24．（2021春•卧龙区期末）如图①，我们把一副两个三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝45°，∠C＝30°，
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图②，将图①中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA'B'的位置，求当∠AOA'为多少度时，OB'平分∠COD；
（3）如图③，两个三角尺的直角边OA，OD摆放在同一条直线上，另一条直角边OB，OC也在同一条直线上，将△OAB绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当AB∥CD时，旋转角的度数是 105°或285° ．
【思路引导】（1）由平角的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得∠AOB＝∠A'OB'＝45°，由角的数量关系可求解；
（3）分两种情况讨论，如图③﹣1中，当A'B'与OD相交于点E时，如图③﹣2中，当A'B'与AO相交于点F时，由平行线的性质可求解．
【完整解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝180°﹣45°﹣60°＝75°．

（2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，
∴∠AOB＝∠A'OB'＝45°，
∵∠COD＝60°，OB′平分∠COD，
∴∠COB'＝30°，
∴∠COA'＝∠A'OB'﹣∠COB'＝15°，
∴∠A'OB＝∠COB﹣∠COA'＝60°，
∴∠AOA'＝∠AOB+∠A'OB＝105°；

（3）如图③﹣1中，当A'B'与OD相交于点E时，
∵A'B'∥CD，
∴∠D＝∠A'EO＝60°，
∵∠A'EO＝∠B'+∠EOB'，
∴∠EOB'＝60°﹣45°＝15°，
∴∠BOB'＝105°，
如图③﹣2中，当A'B'与AO相交于点F时，
∵A'B'∥CD，
∴∠D＝∠A'FO＝60°，
∴∠A'OF＝180°﹣∠A'FO﹣∠A'＝75°，
∴旋转的角度＝360°﹣75°＝285°，
综上所述：旋转的角度为105°或285°．
故答案为：105°或285°．
25．（2021春•抚州期末）如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1．
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A3B3C3；
（4）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【思路引导】（1）根据旋转的性质即可画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）根据平移的性质即可画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）根据旋转的性质即可画出旋转后对应的△A3B3C3；
（4）根据旋转的性质将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，即可得出旋转中心的坐标．
【完整解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，△A3B3C3即为所求；
（4）旋转中心的坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
26．（2021春•沈河区期末）思维启迪
（1）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，点在AB上，AD＝AC，AE⊥CD垂足为E，点F是BC中点，则EF的长度为 1 ．
思维探索
（2）如图2，等边三角形ABC的边长为4，AD⊥BC垂足为D，点E是AC的中点，点M是AD的中点，点N是BE的中点，求MN的长．
（3）将（2）中的△CDE绕C点旋转，其他条件不变，当点D落在直线AC上时，画出图形，并直接写出MN长．
【思路引导】（1）可证出EF是△BCD的中位线，从而有EF＝＝1；
（2）取AB中点F，连接MF，NF，证明出△MNF是等边三角形，从而MN＝MF＝1；
（3）分两种情况：当点D在线段AC上时，取AE的中点F，取BC的中点G，证出△MNF是直角三角形，利用勾股定理即可求出MN，当点D在AC延长线上时，连接AE，取AE的中点F，证出∠MFN﹣120°，再过点N作NG⊥MF于G，解直角三角形即可．
【完整解答】解：（1）∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴点E是CD的中点，
∵点F是BC中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝＝1．
故答案为：1；
（2）如图2，取AB中点F，连接MF，NF，
∵点M是AD的中点，点F是AB的中点，
∴MF是△ABD的中位线，
∴MF∥BD，MF＝，
∴∠AFM＝∠ABD＝60°，
∵点N是BE的中点，F是AB的中点，
∴NF是△ABE的中位线，
∴NF∥AE，NF＝，
∴∠BFN＝∠BAC＝60°，
∵BD＝AE，
∴MF＝FN，
∴∠NFM＝180°﹣∠BFN﹣∠AFM＝60°，
∴△MNF是等边三角形，
∴MN＝FN＝，
∴AE＝2，
∴MN＝1；
（3）如图，当点D在线段AC上时，取AE的中点F，取BC的中点G，
连接MF、DF、NG、FN，
∵∠DCE＝∠BAC＝60°，
∴AB∥CE，
∵DF是△ACE的中位线，FN是△ABE的中位线，DG是△ABC的中位线，
∴DF∥CE，FN∥AB，DG∥AB，NG∥CE，
∴点F、D、N、G四点共线，
∴DG＝FN＝2，DF＝1，MF＝1，
∴DM＝DF＝DN＝1，
∴∠DMN＝∠DNM，∠MDF＝∠DFM，
∵∠DMN+∠DNM+∠MDF+∠DFM＝180°，
∴∠NMF＝90°，
在Rt△MNF中，由勾股定理得：
MN＝，
当点D在AC延长线上时，连接AE，取AE的中点F，连接FM，FN，过点N作NG⊥MF于G，
同理FM＝1，FN＝2，
∵∠EFN＝∠BAE，
∴∠NFM＝60°+∠EFM＝∠BAE+∠EAC+60°＝120°，
∴∠NFG＝60°，
∴FG＝，NG＝，
∵GM＝2，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：
MN＝，
综上所述：MN＝或．
27．（2021春•江岸区校级月考）△ABC中，∠A＝45°，∠CBA＝α，点D在边AB上，将线段CD逆时针旋转β得到CE，连接DE．
（1）当α＝45°，β＝90°时，求证：AD2+DB2＝DE2．
（2）当α＝30°，β＝120°时，若CE＝BE，求的值．
【思路引导】（1）根据SAS证明△ACD≌△BCE，可证出AD＝BE，∠DBE＝90°，结合勾股定理即可；
（2）在BD的延长线上取点G，使CG＝CB，转化为图1，同理可得∠G＝∠CBE＝30°，借助特殊的直角三角形表示出AD和AB的长度即可解决问题．
【完整解答】证明：（1）如图1，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE，
∵∠A＝＝∠CBA＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴BE2+BD2＝DE2，
∴AD2+BD2＝DE2；
（2）在BD的延长线上取点G，使CG＝BC
∴∠CBA＝∠G＝30°，
由（1）同理得△CGD≌△CBE，
∴∠G＝∠CBE＝30°，
∴设CE＝BE＝CD＝a，∠DCB＝90°，
∴CB＝，BD＝2a，
作CH⊥AB于H，
∴CH＝AH＝，DH＝，BH＝，
∴AD＝，AB＝，
∴．