人教版（2024）九年级上册课题学习图案设计练习题

这是一份人教版（2024）九年级上册课题学习图案设计练习题，文件包含专题13几何图形的旋转综合的六类综合题型压轴题专项训练数学人教版九年级上册原卷版docx、专题13几何图形的旋转综合的六类综合题型压轴题专项训练数学人教版九年级上册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。

类型一、线段绕某点旋转综合问题
例1．在等边三角形中，点D为边上的一点，连接．
(1)如图1，若，，求的长．
(2)如图2将线段绕点A顺时针旋转到，连接交于点F．求证：；
【变式1-1】在等腰直角三角形中，，过点作，为直线上一动点，将射线绕点逆时针旋转90°，交直线于点，连接．
(1)如图①，当点在线段上时，线段，，之间的数量关系为________；
(2)当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明．
类型二、等腰直角三角形绕点旋转综合问题
例2．已知和是两个全等的等腰直角三角形，．
(1)如图1，和分别与边交于点，过点作，且使，连接，求证：
①；
②；
(2)如图2，与边交于点，与的延长线交于点，请探究和之间的数量关系，并说明理由．
【变式2-1】已知：和都是等腰直角三角形，．
(1)如图①E在上，点D在上时，线段与AD的数量关系是______，位置关系是______；
(2)把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______．
类型三、等边三角形绕点旋转综合问题
例3．（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，和都是等边三角形，连结、交于点O，且分别交、于点F、G．求证：；
（2）若将图1中的绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，和都是等边三角形，的度数变化吗？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由；
（3）如图3，在中，，，，以为边向外作等边，直接写出的长．
【变式3-1】（1）问题发现
如图1，和都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，连接，直线与相交于点F．填空：
①线段与之间的数量关系为_________；
②的度数为_________．
（2）拓展探究
当绕点C逆时针旋转到图2的位置时，（1）中的两个结论是否还成立？请根据图2的情形给出证明．
（3）问题解决
已知，，若绕点C逆时针旋一周，当点E位于线段的垂直平分线上时，请直接写出的面积．
类型四、平行四边形的旋转综合问题
例4．如图，将平行四边形绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形，使点B落在边上的点E处，连接．
(1)求证：平分．
(2)如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且，，求平行四边形的面积．
(3)如图3，连接交于点H，求证：点H为的中点．
【变式4-1】如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接．

(1)求证：平分；
(2)连接交于点．
①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由；
②如图3，若，请直接写出的面积 ．
类型五、矩形的旋转综合问题
例5．将矩形绕点B顺时针旋转得到矩形，点的对应点分别为．
(1)如图1，当点落在上时，求证：四边形为平行四边形；
(2)如图2，当过点C时，若，求的长．
【变式5-1】如图1，在矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，点的对应点落在边上，过点作于点，连接．
(1)求证：①；②；③四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接交于点．
①求的长；
②过点作交于点，求证：四边形是正方形．
类型六、正方形的旋转综合问题
例6．如图1，将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，连结，经观察分析，发现，从而可进一步证出．
(1)如图2，将正方形绕O点逆时针旋转一定的角度，求证：，；
(2)如图3，将正方形绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，直接写出的长．
【变式6-1】【课本再现】
如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动．
【问题发现】
（1）①线段之间的数量关系是_______________；
②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________．
【拓展应用】
（2）如图2，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接．矩形可绕点转动，猜想之间的数量关系，并进行证明．
【类比迁移】
（3）如图3，在中，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积．
一、解答题
1．如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点F恰好落在的延长线上．

(1)证明：；
(2)证明：的延长线经过点B．
2．【问题情境】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F．
【猜想证明】
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．
3．在等腰中，，且．
（1）如图1，若也是等腰直角三角形，且，的顶点在的斜边上，连．
①线段与的关系为________，并证明你的结论．
②求证：；
（2）如图2，为上一点，，则的长为________．
4．如图1，在正方形中，，将线段绕点C逆时针旋转至，连接．
(1)当时，求的长度；
(2)如图2，过点D作交于点F，连接．
①求证：．
②当点F是中点时，求与的面积比．
5．如图1，已知在和中，，点分别在边上，绕点A逆时针旋转一定角度．
(1)①如图2，若，，，连接，求证：；
②在①的条件下，已知，，当点在直线上时，求的面积；
(2)若，，，点不与点重合，是的中点，点在线段上，连接，是所在平面内一点，连接、，和关于直线成轴对称图形，连接，求的最小值．
6．如图1，在菱形中，，，连接，交于点．
(1)求菱形的面积；
(2)如图2，将菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，点，，，的对应点分别为，，，．
①当点落在上时，判断与的位置关系，并说明理由；
②连接，当平行于菱形ABCD一边时，求出的值；
(3)在（2）的条件下，连接，当垂直于菱形的一边时，直接写出的长．
7．（1）【问题初探】
苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1，正方形的边长为2，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论．
爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路：
浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直，相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化．
小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．
通过他们的思路点拨，你认为：（填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为．
（2）【类比探究】
①如图，矩形中，，，点是边的中点，，点在上，点在上，则四边形的面积为，；
②如图，若将（）中的“正方形”改为“，边长为的菱形”，其他条件不变，当时，四边形的面积是．
③如图，在②的条件下，当点在对角线上运动到且旋转至时，的长度为______．
（3）【拓展延伸】
如图5，（为钝角），，是钝角，平分，，，，，点是上一点，那么的长为______．
8．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
【实践探究】：
（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则_____；
【解决问题】：
（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，，．
①如图2，当时，求证：平分；写出证明过程
②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则______；
【迁移应用】：
（3）如图4，正方形的边长为，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则______；
（4）如图5，在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，则_____．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc4263" 典例详解
\l "_Tc2684" 类型一、线段绕某点旋转综合问题
\l "_Tc27297" 类型二、等腰直角三角形绕点旋转综合问题
\l "_Tc18937" 类型三、等边三角形绕点旋转综合问题
\l "_Tc12934" 类型四、平行四边形的旋转综合问题
\l "_Tc4941" 类型五、矩形的旋转综合问题
\l "_Tc22301" 类型六、正方形的旋转综合问题
\l "_Tc30963" 压轴专练
知识点：1. 线段旋转的基本性质：旋转前后线段长度不变，对应端点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，线段所在直线的夹角与旋转角相关。2. 三角形及圆的关联知识：旋转形成的等腰三角形（对应点与中心构成）、定长线段旋转的轨迹为圆（以旋转中心为圆心）。
解题技巧：1. 定位端点对应点：通过作等长线段、构造旋转角，确定线段两端点的对应位置，利用全等或相似转化关系。2. 动态问题转化：涉及线段旋转的动态变化时，以旋转中心为定点，分析端点轨迹（圆），结合几何图形性质（如直径所对圆周角为直角）求解极值或位置关系。
知识点：1. 等腰直角三角形性质与旋转性质的结合：两直角边相等、直角为90°，旋转后对应边、角不变，形成新的等腰直角三角形或全等三角形。2. 特殊角度与线段关系：旋转角常为90°或45°，可推导线段垂直、相等关系，如旋转后对应直角边垂直且相等。
解题技巧：1. 锁定旋转核心：以等腰直角顶点或斜边中点为旋转中心，标记对应顶点，利用“边等、角等”构造全等（如SAS）。2. 转化线段关系：遇复杂图形，通过旋转将分散的边、角集中到直角三角形中，利用勾股定理或线段垂直关系求解。
知识点：1. 等边三角形性质与旋转的融合：三边相等、三角均为60°，旋转后对应边、角不变，易形成新等边三角形或全等三角形。2. 特殊旋转角的作用：旋转角常为60°或120°，可推导线段相等、夹角为60°或120°，如旋转后对应边夹角等于旋转角。
解题技巧：1. 聚焦旋转中心：以顶点或中心为旋转中心，标记对应顶点，利用“边等、角60°”构造全等（如SAS）或相似。2. 转化分散条件：通过旋转将分散线段集中，利用60°角构造等边三角形，或结合30°-60°直角三角形边角关系求解。
知识点：1. 平行四边形性质与旋转的结合：对边平行且相等、对角线互相平分，旋转后对应边保持平行（或夹角等于旋转角），对应角相等，易形成全等图形。2. 旋转产生的特殊关系：以对角线交点为中心旋转180°可与原图形重合，旋转其他角度时，对应顶点连线被旋转中心平分，易推导线段平行或相等关系。
解题技巧：1. 抓住对称中心：优先考虑以对角线交点为旋转中心，利用“中心对称”性质标记对应顶点，转化线段等量关系。2. 构造辅助线：遇复杂图形，通过旋转一组对边或顶点，将非特殊角转化为已知角，结合平行线性质（如内错角相等）推导边、角关系。
知识点：1. 矩形性质与旋转的叠加：对边相等、四角为直角、对角线相等且互相平分，旋转后对应边保持垂直或平行（取决于旋转角），对角线对应线段相等，易形成全等矩形。2. 旋转产生的垂直关系：以对角线交点为中心旋转时，对应顶点连线被平分；旋转90°时，邻边对应线段垂直，可推导线段垂直且相等关系。
解题技巧：1. 聚焦对角线特性：利用矩形对角线相等且互相平分的特点，以交点为旋转中心时，通过对应顶点连线的中点性质转化等量关系。2. 转化角度关系：遇旋转角非90°时，结合矩形直角特征，构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数求解线段长度。
知识点：1. 正方形性质与旋转的结合：四边相等、四角为直角、对角线垂直且相等，旋转后对应边垂直或平行（夹角等于旋转角），对角线对应线段垂直且相等，易形成全等正方形或等腰直角三角形。2. 特殊旋转角的作用：旋转90°时，邻边对应线段垂直且相等；旋转180°时，与原图形中心对称，可推导线段垂直、中点等关系。
解题技巧：1. 锁定旋转中心：以顶点、中心或对角线交点为中心，利用“边等、角90°”标记对应顶点，构造全等（如SAS）。2. 转化垂直关系：通过旋转将分散线段集中，结合正方形直角和对角线垂直特性，利用勾股定理或等腰直角三角形性质求解。