第2部分-预习-第07讲 二次函数（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第07讲 二次函数（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共7页。学案主要包含了例1-1，例1-2，变式1-3，例1-4，变式1-1，变式1-4，变式5-1，变式2-1等内容，欢迎下载使用。

知识点1．二次函数
1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
2.二次函数的一般式
任何一个二次函数的解析式都可化成y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的形式,因此,把y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式.
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【例1-1】下列函数中是二次函数的是( )
A． B． C． D．
【例1-2】已知是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0B．1C．4D．0或4
【变式1-3】下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5)； (6) (为常数)．
【例1-4】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列每组变量之间的关系为二次函数的是（ ）
A．正方形周长与边长的关系
B．菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系
C．速度一定时，路程与时间的关系
D．等边三角形的面积与边长的关系
【变式1-1】以下函数式二次函数的是（ ）
A．B．C． D．
【例1-2】二次函数的常数项是（ ）
A．1B．2C．D．0
【变式1-3】二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ．
【变式1-4】当为何值时，函数是二次函数．
【变式5-1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列变量具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长xB．速度v一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长xD．三角形的高一定时，面积y与底边长x
知识点2．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
【例2】某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2+aB．y＝a（x﹣1）2C．y＝a（1﹣x）2D．y＝a（1+x）2
【变式2-1】在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】一件商品原价为元，连续两次降价，降价率均为，两次降价后该商品的售价价格为元，则与的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】半径是2的圆，如果半径增加x时，增加的面积s与x之间的关系表达式为__________．
易错点：根据二次函数的定义求字母参数的值式，容易忽略二次函数系数不为0这个条件而导致错误
【例3】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣1
考点1：根据二次函数的概念确定字母取值
1.已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（ ）
A．±2B．1C．﹣2D．±1
2.若函数是关于的二次函数，则____．
3．已知函数是二次函数，求m的值．
4．若．
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
考点2：根据实际问题列二次函数的表达式
5．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A．y＝（x﹣35）（400﹣5x）B．y＝（x﹣35）（600﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x）D．y＝（x+5）（200﹣10x）
6.某工厂2017年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为 ．
7．如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．
8．某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
9．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．
（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？
考点3：根据动态问题列二次函数的表达式
10．如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ．
11.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．
(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？
(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）．
（2）当点Q与点C重合时，求t的值．
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
一、单选题
1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）二次函数的常数项为（ ）
A．2B．3C．4D．
3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A．B．或C．D．不存在
二、填空题
5．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是 ．
6．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ．
7．（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为 ．
8．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式是 ．
三、解答题
9.把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项．
10．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，求m的值．
11．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为．
(1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？
12．（22-23九年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接．
(1)若四边形为菱形，则值为多少？
(2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.理解二次函数的概念，能将二次函数化为一般形式
2.能根据概念判断函数是不是二次函数
3.了解实际问题中存在的二次函数关系及对其自变量的要求。