第2部分-预习-第11讲 二次函数与一元二次方程（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第11讲 二次函数与一元二次方程（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共13页。学案主要包含了二次函数与一元二次方程的关系，抛物线与不等式的关系等内容，欢迎下载使用。

知识点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
要点归纳：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点归纳：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
要点归纳：
求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.
知识点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即 （△＞0）
要点四、抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
要点归纳：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
考点1：二次函数图象与x轴交点情况判断
【例1】下列函数的图象与x只有一个交点的是( )
A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1
【变式1-1】（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ ．
【变式1-2】（2023秋·九年级课时练习）已知抛物线，当 时，抛物线与轴有两个公共点；当 时，抛物线与轴有一个公共点；当 时，抛物线与轴没有公共点．
【变式1-3】（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）已知二次函数（m为常数）
(1)若该二次函数图像经过，求二次函数解析式；
(2)求证：不论m取何值，该二次函数图像与x轴总有两个交点；
(3)当时，y的最小值为，求m的值．
考点2：利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴
【例2】如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．
【变式2-1】（2023·广东惠州·二模）已知抛物线经过点和点，则该抛物线的对称轴为（ ）
A．y轴B．直线C．直线D．直线
【变式2-2】二次函数的图象与轴相交于和两点，则该抛物线的对称轴是 ．
【变式2-3】如图，抛物线与轴交于，、，两点，交轴于点，且．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标及对称轴方程．
（2）在抛物线上是否存在一点使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点3:利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围
【例3】若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋eq \f(1,2)m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )
A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－2
【变式3-1】函数的图象与轴只有一个交点，则的值为
A．0B．0或2C．0或2或D．2或
【变式3-2】若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为
A．0B．0或2或C．2或D．0或或
【变式3-3】（2023春·福建福州·九年级校考期中）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，若，则b的取值范围是 ____________________．
考点4：利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解
【例4】小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
【变式4-1】若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为
A．，B．，C．，D．，
【变式4-2】已知二次函数的部分图象如图，则关于的一元二次方程的解为
A．，B．，C．，D．，
【变式4-3】（2023·四川绵阳·统考二模）二次函数的部分对应值如列表所示：则一元二次方程的解为______ ．
考点5：利用抛物线解一元二次不等式
【例5】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( )
A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1
【变式5-1】（2023秋·九年级课时练习）二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．或
【变式5-2】（2024•任城区校级四模）已知一次函数和二次函数的部分自变量和对应的函数值如表：
则关于的不等式的解集是
A．B．C．或D．不能确定
【变式5-3】（2023•官渡区二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）和直线y＝kx（k＞0）交于点O和点A，则不等式ax2+bx＜kx的解集为 ．
考点6：确定抛物线相应位置的自变量的取值范围
【例6】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是( )
A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3
【变式6-1】（2023秋•雷州市期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是
A．B．C．D．或
【变式6-2】．（2024•织金县一模）二次函数的图象过点，则使函数值成立的的取值范围是
A．或B．C．或D．
【变式6-3】．（2023秋•丰台区期末）已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示：
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）直接写出当时，的取值范围．
一．选择题
1．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2023·四川绵阳·一模）二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．或C．或D．
3．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知二次函数，当y＝0时，x的值是（ ）
A．2或B．或6C．或1D．或
5．（23-24九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024•观山湖区二模）抛物线的部分图象如图所示，其与轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是
A．B．C．D．
二．填空题
7．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）如图，已知抛物线，则关于的方程的解是 ．

8．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知函数与函数的图象大致如图所示，那么不等式的解集是 ．
9．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ．
10．（23-24九年级上·重庆江津·期中）二次函数和一次函数的图象如图所示，则时，的取值范围是 .
11．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，其与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，则当时，的取值范围是 ．
12．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ．
13．（2023·四川南充·统考二模）如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则__________．
14．（2024•宿迁模拟）新定义：，，为二次函数，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，，，若“图象数”是，，的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ．
15．（2024•高青县模拟）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点，、，是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，．其中正确的有 （填序号）．
三．解答题
16．（2023秋•朝阳区期末）已知一次函数和二次函数，下表给出了，与自变量的几组对应值：
（1）求的解析式；
（2）直接写出关于的不等式的解集．
17．已知二次函数的图象经过点．
（1）求该抛物线的对称轴，以及点的对称点的坐标．
（2）若该抛物线与轴交于，和，两点（其中．
①若，求的值；
②若，求的取值范围．
18．（2024•莒南县模拟）已知二次函数．
（1）求该二次函数图象与轴的交点坐标，
（2）若，当时，的最大值是4，求当时，的最小值；
（3）已知，为平面直角坐标系中两点，当抛物线与线段有且只有一个公共点时，请求出的取值范围．
19．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点．交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．
2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．
3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．
判别式
二次函数
一元二次方程
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
判别式
抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0
或
△＝0
（或）
无解
△＜0
全体实数
无解
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
0
0
3
8
0
1
2
4
8
3
0
3
0
1
2
3
4
5
4
3
2
1
0
0
3
4
3
0