第2部分-预习-第27讲 第24章 圆全章复习与测试（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第27讲 第24章 圆全章复习与测试（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共54页。试卷主要包含了圆的定义，与圆有关的位置关系，三角形的外接圆与内切圆，圆中有关计算等内容，欢迎下载使用。

知识点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
要点归纳：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
要点归纳：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
要点归纳：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
知识点二、与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为，OP=，则有
点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
要点归纳：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点在同一个圆上的方法
当时，在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.
(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.
(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
知识点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
要点归纳：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
2．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
知识点四、圆中有关计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
（3）圆面积公式：S＝πr2
（4）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（5）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（6）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（7）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
（8）圆锥的侧面积：S侧=12•2πr•l＝πrl．
（9）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
一．圆的认识（共3小题）
1．（2024春•青州市校级月考）下列说法正确的是
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
【分析】根据直径、弧、弦的定义进行判断即可．
【解答】解：、圆有无数条直径，故本选项说法正确，符合题意；
、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确，符合题意；
、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误，不符合题意；
、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查圆的认识，关键要注意区分：弦与直径，弧与半圆之间的关系．
2．（2024•扶沟县一模）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处．如图，如果该摩天轮主视图的直径为88米，最高点距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟．但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为 12 分钟．
【分析】先求摩天轮转动的角速度为分，再求出（米，则，得，然后求出最佳观赏位置的圆心角为，即可求解．
【解答】解：如图所示：
摩天轮转动的角速度为：分分，
由题意得：，米，米，米，
则（米，（米，
（米，
（米，
，
，
，
，
，
最佳观赏位置的圆心角为，
在运行的一圈里最佳观赏时长为：分（分钟），
故答案为：12．
【点评】本题考查了垂径定理的应用、含角的直角三角形的判定、直角三角形的性质等知识，熟练掌握垂径定理，求出是解题的关键．
3．（2024•即墨区校级一模）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长．
（1）计算：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长 ；
②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长 ；
③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长 ；
④把分成条相等的线段，每个小圆的周长 ；
（2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是： ．
【分析】根据圆的面积公式，将每个圆的面积计算出来，找到和周长的关系即可．
【解答】解：（1）根据，
①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长；
②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长，
③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长；
④把分成条相等的线段，每个小圆的周长．
（2）以为直径的圆的面积为．
把分成两条相等的线段，每个小圆的面积；
把分成三条相等的线段，每个小圆的面积；
把分成四条相等的线段，每个小圆的面积；
把分成条相等的线段，每个小圆的面积．
【点评】此题是一道规律探索题，需要先进行计算，将每个特殊的圆的面积计算出来，通过总结规律得出一般公式．
二．垂径定理（共3小题）
4．（2024•湖北模拟）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是
A．B．C．D．
【分析】作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出的长．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【解答】解：如图，设圆心为，连接，，过点作于点，交于点，
，
，
，
，．
，
设，
，
，，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：．
【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形解决问题．
5．（2024•兴宁区校级模拟）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面宽，净高，则此圆的半径为
A．B．C．D．
【分析】设的半径是米，由垂径定理，勾股定理，列出关于的方程，即可求解．
【解答】解：设的半径是米，
，
（米，
，
，
，
的半径是5米．
故选：．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于半径的方程．
6．（2024•茌平区一模）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点，另一端为点，，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点，，且，，三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为
A．B．C．D．
【分析】连接，，当、、、四点共线时，最长，根据勾股定理求出，然后根据即可解答．
【解答】解：如图所示，连接，，
根据题意可得：，且，，三点在同一直线上，
垂直平分，
，
当、、、四点共线时，最长，
，
在中，由勾股定理得，
，
长最大值为，
故选：．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，添加适当的辅助线是解题的关键．
三．垂径定理的应用（共2小题）
7．（2024•龙岗区校级模拟）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根为
A．B．C．D．
【分析】设圆弧的圆心为，过作于，交于，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可．
【解答】解：设圆弧的圆心为，过作于，交于，连接，如图所示：
则，，
，
，
即这些钢索中最长的一根为，
故选：．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
8．（2024•东莞市校级一模）是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等．该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦长，半径，垂足为，弓形高长．
（1）求的长；
（2）求半径的长．
【分析】（1）根据已知条件和垂径定理，求出即可；
（2）先根据证明，然后设半径 ，最后利用勾股定理列出关于的方程，求出即可．
【解答】解：（1），，
；
（2），
，
设半径 ，则 ，，
，
，
，
，
，
半径的长为．
【点评】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是熟练掌握利用垂径定理和勾股定理解决圆的有关计算．
四．圆心角、弧、弦的关系（共3小题）
9．（2024•碑林区校级模拟）如图，、是的弦，且，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键．
10．（2024•下陆区校级三模）如图所示，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，，，那么的半径为
A．5B．10C．D．
【分析】延长，交于，连接，根据圆周角定理求出，求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系求出，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：延长，交于，连接，
是的直径，
，
和互补，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
的半径是5．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理．圆心角、弧、弦之间的关系，余角和补角，勾股定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
11．（2024•前郭县三模）如图，顶点、、均在上，，则为
A．B．C．D．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【解答】解：由圆周角定理可知：，
，
，
解得，
故选：．
【点评】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是关键．
五．圆周角定理（共2小题）
12．（2024•湖南）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：，
．
又，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆周角定理是解题的关键．
13．（2024•沈阳模拟）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于
A．B．C．D．
【分析】连接，根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，再根据圆周角定理求出即可．
【解答】解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和圆周角定理等知识点，能求出的度数是解此题的关键．
六．圆内接四边形的性质（共2小题）
14．（2024•西乡塘区校级模拟）如图，四边形内接于，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：四边形内接于，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15．（2024•长沙县二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据圆周角定理得到的度数．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
七．点与圆的位置关系（共2小题）
16．（2023秋•江夏区校级期末）已知的半径为3，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是
A．点在外B．点在上C．点在内D．无法确定
【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点与的位置关系．
【解答】解：的半径分别是3，点到圆心的距离为4，
，
点与的位置关系是：点在圆外．
故选：．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
17．（2024•中江县一模）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值
A．3B．C．D．4
【分析】连接，如图，先解方程得，，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，过圆心时，最大，如图，点运动到位置时，最大，然后计算出即可得到线段的最大值．
【解答】解：连接，如图，
当时，，解得，，
，，
是线段的中点，
为的中位线，
，
当最大时，最大，
而过圆心时，最大，如图，点运动到位置时，最大，
，
，
线段的最大值是．
故选：．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．
八．确定圆的条件（共2小题）
18．（2024•绿园区校级三模）将边长为2的小正方形和边长为4的大正方形如图摆放，使得、两点刚好重合，且、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
【分析】由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案．
【解答】解：由题意可知，，，
取的中点，则，，
连接，，，
由勾股定理可得：，，
，
即：点为、、三点所作圆的圆心，
则该圆的半径为，
故答案为：．
【点评】本题考查确定圆的条件，正方形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
19．（2023秋•桥西区期末）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据不共线的三点确定一个圆可得答案．
【解答】解：经过点、、；、、；、、可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个，
故选：．
【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．
九．三角形的外接圆与外心（共2小题）
20．（2024•惠安县模拟）如图，内接于，若，，则的半径为
A．1B．2C．D．
【分析】连接，并延长交于点，连接，由圆周角定理可得与的度数，再由勾股定理即可解答．
【解答】解：连接，并延长交于点，连接，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
的半径．
故选：．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形．
21．（2024•横山区二模）如图，已知内接于，是的直径，过点作，垂足为，交于点，，，则的长为
A．B．C．1D．
【分析】连接，根据垂径定理得到，，，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【解答】解：连接，
是的直径，过点作，
，，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
一十．直线与圆的位置关系（共2小题）
22．（2024•鼓楼区二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是
A．相交B．相切C．相离D．包含
【分析】根据直线与圆的位置关系，即可解答．
【解答】解：这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是相交，
故选：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
23．（2024•崇明区二模）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是
A．或B．
C．D．
【分析】作于，根据勾股定理计算出，再利用面积法计算出，然后根据直线与圆的位置关系得到当时，以为圆心、为半径作的圆与斜边有公共点．
【解答】解：作于，如图，
，，，
，
，
，
以为圆心、为半径作的圆与斜边有公共点时，的取值范围为．
故选：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为：直线和相交；直线和相切；直线和相离．
一十一．切线的性质（共3小题）
24．（2024•宁阳县二模）如图，，分别与相切于点，，，为上一点，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】连接、，根据切线的性质得到，进而在的优弧上找一点，连接、，根据圆周角及内接圆的性质即可解答．
【解答】解：连接、，所在的优弧上找一点，连接、，
，分别与相切于点，，
，，
，
，
，
，
四边形是内接四边形，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了四边形的内角和，圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
25．（2024•澄海区一模）如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则
A．B．C．D．
【分析】先根据切线的性质得到，再利用互余计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
【解答】解：为的直径，是的切线，点是切点，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
26．（2024•北碚区校级模拟）如图，是等边的外接圆，过点作的切线交的延长线于点，若，则的长为
A．2B．3C．D．
【分析】连接，根据等边三角形的性质得到，根据垂径定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，于是得到结论．
【解答】解：连接，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
一十二．切线的判定（共1小题）
27．（2024•石阡县模拟）如图，直线，相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧处．若以的速度由向的方向移动，则 3或7 后，与直线相切．
【分析】当在直线左侧时如图，由，求得，则有即可求得时间；当在直线右侧时，同理求得即可求得时间．
【解答】解：当在直线左侧时，过点作交于点，如图，
，，
，
，
，
则向右移动了，所用时间秒；
当在直线右侧时，如图，
过点作交于点，则，，
，
，
，
则向右移动了，所用时间秒．
故答案为：3或7．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握含角的直角三角形的性质，圆的切线性质是解题的关键．
一十三．切线长定理（共3小题）
28．（2024•凉州区三模）如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为 20 ．
【分析】利用切线长定理，可以得到：，，，据此即可求解
【解答】解：，是圆的切线．
同理，，．
三角形的周长．
故答案是20．
【点评】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．
29．（2023秋•宿城区期中）如图，为的切线，、分别与切于、点，若，，则的长是 2 ．
【分析】由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．
【解答】解：、为的切线，
，
、为的切线，
，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
30．（2022秋•平泉市校级期末）如图所示，是外一点，，分别和切于，两点，是上任意一点，过作的切线分别交，于，．
（1）若的周长为10，则的长为 5 ；
（2）连接、，若，则的度数为 度．
【分析】（1）由于、、都是的切线，可根据切线长定理将的周长转化为切线、的长．
（2）根据切线长定理即可证得 周长等于即可求解；根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求得的度数，然后根据即可求出的度数．
【解答】解：（1）、、分别切于、、，
，，；
；
；
（2）连接、、、，在上取一点，连接、，
、分别切于、；
；
，
；
故答案为：5，．
【点评】本题主要考查了切线长定理，正确理解图形中的线段与角之间的关系是解题的关键．
一十四．三角形的内切圆与内心（共3小题）
31．（2024•江汉区二模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据题干条件一一分析即可，另外再看选项时候选项很容易判断，所以着重证其他选项即可．
【解答】解：与、、分别相切于点、、，
，
，
，
，故选项不符合题意
根据切线长定理，设，，．根据题意，得
，解得，
即．故选项不符合题意；
过点作于，则，
，
，
解得，
，
连接，
与，，分别相切于点，，，
，
，
，
．
故选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形内切圆，熟练掌握切线的性质、勾股定理、圆周角定理等知识点是解题关键．
32．（2024•碑林区校级模拟）如图，中，，，，点为内心，连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则
A．B．1C．D．
【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形内心的定义进行计算即可．
【解答】解：如图，过点作于点，
过内心，
是的平分线，
即，
，
，
，
，
，
在中，，，
，，
在中，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质，掌握三角形内心的定义，直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质是正确解答的关键．
33．（2024•武汉模拟）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为
A．1B．C．D．
【分析】设的内切圆为，与、、 分别相切于点、、，由，，，求得，，连接、、、、、，则，求得；用同样的方法求得，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：设的内切圆为，与、、 分别相切于点、、，
，，，
，，
为斜边上的中线，
，
，
连接、、、、、，则，
，且，，，
，
解得；
同理，
解得，
，
故选：．
【点评】此题重点考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的内切圆的定义和性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
一十五．正多边形和圆（共1小题）
34．（2024•鼓楼区校级二模）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形内切圆半径为
A．B．C．15D．
【分析】如图，设内切圆的圆心为，连接、，则四边形为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于的一元二次方程解决问题．
【解答】解：如图，设内切圆的圆心为，连接、，
则四边形为正方形，
，
，
，
，
，
而，
①，
小正方形内切圆半径为，
小正方形的边长为7，
小正方形的面积为49，
，
②，
把①代入②中得
，
，
（负值舍去），
大正方形内切圆半径为．
故选：．
【点评】本题主要考查了正多边形与圆，三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．
一十六．弧长的计算（共2小题）
35．（2024•越秀区校级三模）如图，点，，在半径为3的上，，则的长为
A．3B．C．D．
【分析】先求出圆心角的度数，再根据弧长公式求出的长度即可．
【解答】解：，
，
的长，
故选：．
【点评】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键．
36．（2024•安徽）若扇形的半径为6，，则的长为
A．B．C．D．
【分析】利用弧长计算公式计算即可．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键．
一十七．扇形面积的计算（共2小题）
37．（2024•西华县三模）如图，边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【分析】根据正方形、圆的对称性得到即可．
【解答】解：如图，延长，交于点，，
由于正方形的中心与半径为2的的圆心重合，由对称性可知，图中①②③④部分的面积是相等的，
所以
，
故选：．
【点评】本题考查正方形的性质，扇形面积的计算，理解正方形、圆的对称性，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
38．（2024•甘井子区校级一模）已知某扇形弧长为，圆心角为，则扇形面积为
A．B．C．D．
【分析】根据弧长公式求出圆的半径，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：设扇形所在的圆的半径为，由弧长公式可得，
，
解得，
所以扇形的面积为．
故选：．
【点评】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，掌握扇形面积的计算方法，弧长的计算方法是正确解答的关键．
一十八．圆锥的计算（共2小题）
39．（2024•红塔区二模）云南十八怪，草帽当锅盖．使用草编的锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，搭配攀枝花木甑子，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道．某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为，高度为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长等于
A．B．C．D．
【分析】首先根据勾股定理求出底面圆的半径，然后求出底面圆的周长，进而可得到圆锥的侧面展开图的弧长．
【解答】解：母线长为，高度为，
底面圆的半径为，
底面圆的周长为，
这个圆锥的侧面展开图的弧长等于．
故选：．
【点评】此题考查了圆锥的底面圆锥的周长等于展开的扇形的弧长，勾股定理，掌握扇形的弧长公式是关键．
40．（2024•松山区二模）一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为
A．B．C．D．
【分析】利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而求得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面圆半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为 ，
，
解得：，
圆锥侧面展开图的弧长为：，
圆锥的底面圆半径是，
圆锥的高为．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
一、单选题
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理进行求解即可得.
【详解】∵，
∴∠ABC=∠AOC=×80°=40°，
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半”是解题的关键.
2．如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4πB．2πC．πD．
【答案】D
【分析】连接，设与交于点E，首先根据垂径定理得到，然后得到阴影部分的面积等于扇形的面积，根据勾股定理求出，最后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接，设与交于点E．
∵，，
∴，
∴．
∴阴影部分的面积等于扇形的面积．
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴
∴解得
∴，
∴阴影部分的面积为．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形的面积是解此题的关键．
3．如图，是的直径，是的切线，切点为点，过点的直线与交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．如果平分，
C．如果平分，那么
D．如果，那么也是的切线
【答案】B
【分析】A．由圆周角定理可得，便可判断正误；
B．由角平分线与等腰三角形的性质可知为等腰直角三角形，可得与的数量关系，便可判断正误；
C．由角平分线与等腰三角形的性质得，便可判断正误；
D．证明，得，便可判断正误．
【详解】解：A．∵、是所对的圆心角、圆周角，
∴；故选项正确，不合题意；
B．∵平分，是的切线，
∴
∵，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故选项错误，符合题意；
C．∵平分，
∴，
∵，则，
∴，
∴，
∵是的切线，为半径，
∴，
∴，
故选项正确，不合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∵，，
∴（SAS），
∴，
∴也是的切线，
故选项正确，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的有关性质与定理，直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，综合应用这些知识解题是关键．
4．在平面中，已知的半径等于，点在直线上，则圆心到直线的距离（ ）
A．等于B．最小值为C．最大值为D．不等于
【答案】C
【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据题意可判断直线与相切，熟记直线与圆的位置关系是解题的关键．
【详解】解：∵的半径等于，点在直线上，
∴直线与相切或相交，
∴圆心到直线的距离最大值为，
故选：C．
5．如图所示，已知点C在以AB为直径的⊙O上运动，AB＝2，以BC为边作等边△BCD，则AD的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将△ABD绕点B逆时针旋转60°，则点D的对应点与点C重合，得到△EBC，连接OC、OE、AE，当点C、点O、点E在同一条直线上时，CE的值最大，此时AD的值最大，根据勾股定理求得OE＝，而OC＝1，可知CE的最大值为1＋．
【详解】解：如图1，
∵△BCD是等边三角形，
∴BC＝BD，∠CBD＝60°，
将△ABD绕点B逆时针旋转60°，则点D的对应点与点C重合，得到△EBC，连接OC、OE、AE，
∵△EBC≌△ABD，
∴EB＝AB＝2，
∵∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∵OA＝OB＝1，
∴OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∴OE，
∵EC≤OC+OE，且OC＝OB＝1，
∴EC≤1，
当点C、点O、点E在同一条直线上时，如图2，
此时EC的值最大，EC＝1，
∵AD＝EC，
∴AD的最大值是1，
故选：C．
【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
6．如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为（ ）

A．B．C． D．
【答案】C
【分析】
根据垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理求出，再根据三角形面积公式进行计算即可．
【详解】
∵是的直径，
∴，
∵，是的半径，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
由于，可设，则，，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得或（舍去），
即，
∴，
，
，
故选：．
【点睛】
此题考查了垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理，掌握垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理是解决问题的前提，求出的长是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴交于点，．若圆心的坐标是，则弦的长度为（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】连接，过点作轴，垂足为，由垂径定理可得；再结合题意可知，，在中，由勾股定理解得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，连接，过点作轴，垂足为，

则，
∵与轴相切于点，圆心的坐标是，
∴轴，且，，
∴，
∴在中，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、垂径定理、切线的性质、勾股定理等知识，正确掌握相关知识并正确做出辅助线构建直角三角形是解题关键．
二、填空题
8．若一个圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的高是 ．
【答案】
【分析】
本题考查了圆锥的侧面积，一元一次方程的应用，勾股定理，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题关键．设圆锥的底面半径为，根据圆锥的侧面积公式列方程，再利用勾股定理，即可求出圆锥的高．
【详解】解：设圆锥的底面半径为，
由题意得：，
解得：，
圆锥的高，
故答案为：．
9．如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ．

【答案】/104度
【分析】根据内切圆得到，，结合三角形内角和定理求解即可得到答案；
【详解】解：
∵是的内切圆，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形内切圆的定义，解题的关键是根据内切圆得到，．
10．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若，，则的值是 ．
【答案】9
【分析】根据切线长定理，可得，由此即可解决问题．
【详解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了切线长定理，考查了数学运算能力．
11．如图，四边形OABC是平行四边形，AB＝1，以点O为圆心，OC长为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D．则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接OB，根据切线的性质可得∠OBA＝90°，根据平行四边形的性质可得AB＝OC＝OB＝1，从而可得∠AOB＝45°，然后利用阴影部分的面积＝△AOB的面积﹣扇形DOB的面积，进行计算即可解答．
【详解】连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBA＝90°，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB＝OC＝1，
∴AB＝OB＝1，
∴∠AOB＝∠OAB＝45°，
∴阴影部分的面积＝△AOB的面积﹣扇形DOB的面积
＝AB•OB﹣
＝×1×1﹣
＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及平行四边形的性质是解题的关键．
12．如图，内切于正方形，为圆心，作，其两边分别交，于点，，若，则的面积为 ．

【答案】
【分析】设与正方形的边切于E，与切于F，则四边形是正方形，求得，，根据证明得到，得到，进而可得到结论．
【详解】解：设与正方形的边切于E，与切于F，

连接，，则四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
13．如图，为的弦，连接、，，请用尺规作图法在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析．（答案不唯一）
【分析】此题考查了尺规作图，以点为圆心，弦为半径画弧，交于点即可得到，解题的关键是熟练掌握尺规作图的有关作法及弧、弦和圆心角的关系．
【详解】以点为圆心，弦为半径画弧，交于点，
如图，
连接，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点即为所求．
14．如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆切线的判定与性质
（1）连接，利用求证即可求证即得证；
（2）通过勾股定理,再通过勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：证明：如图，连接OD
∵
∴，
∵
∴
∴
在与中
∴(SAS)
∴
∵AC是切线．
∴
∴
∵点D在上，OD为半径，且
∴CE是的切线
（2）解：∵CE是的切线
∴
设半径为，在Rt中，，由勾股定理得：
∵，
∴
解得：
∵
∴
设，在Rt中，，由勾股定理得：
∴
解得：
∴CD的长为6
15．如图，点C在⊙O上，点P是⊙O直径AB延长线上一点，连接AC，OC，BC，CP，且有BO＝BC＝BP．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若OP＝4，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明，即可证明；
（2）先根据圆的半径相等结合OP＝4求得AB和BC，再根据圆周角定理可得∠ACB=90°，根据勾股定理即可求得．
【详解】解：（1）∵BO＝BC＝BP，
∴,，
又∵,
∴，
∴,即OC⊥PC，
∴CP是⊙O的切线；
（2）∵OP=4, BO＝BC＝BP．
∴OB=OC=OA=BC=BP=2，AB=4，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，切线的判定定理，圆周角定理．（1）中理解过半径外端且垂直与半径的直线是圆的切线是解题关键；（2）中理解直径所对的圆周角是90°是解题关键．
16．如图， 已知等腰三角形的底角为， 以为直径的与底边交于点， 过作， 垂足为．
(1)证明：为的切线；
(2) 连接， 若， 求的面积．
【答案】（1）见解析（2）
【分析】（1）连接，先证明，，可得∥，由可得，即可得证；
（2）连接，先证明是等边三角形，由BC=4可得DC=OC=2，进而得到，再利用面积公式求解即可．
【详解】（1）连接．
∵
∴
∵等腰三角形的底角为30°,即
∴
∴∥
∵
∴，即为⊙的切线．
（2）连接．
∵，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的切线判定、含30度角的直角三角形的性质以及等腰三角形和等边三角形的性质，此题难度适中，主要掌握辅助线的作法．
17．如图，是的直径，C是的中点，于点E，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的半径及的长．
【答案】（1）见解析；（2）半径为5，BF为
【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠BAC=∠DBC，∠ACB=90°，再利用等角的余角相等得到∠BAC=∠BCE，所以∠BCE=∠CBD，然后根据等腰三角形的判定方法得到结论；
（2）利用得到CB=CD=6，则利用勾股定理可计算出AB=10，从而得到⊙O的半径为5，再利用面积法得到CE=，则利用勾股定理可计算出BE=，设EF=x，则CF=BF=-x，利用勾股定理得到x2+（）2=（-x）2，然后解方程可得到BF的长．
【详解】解：（1）证明：∵C是的中点，即，
∴∠BAC=∠DBC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCE=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，即∠BAC+∠ACE=90°，
∴∠BAC=∠BCE，
∴∠BCE=∠CBD，
∴CF=BF；
（2）∵，
∴CB=CD=6，
在Rt△ABC中，AB==10，
∴⊙O的半径为5，
∵×CE×AB=AC×BC，
∴CE==，
在Rt△BCE中，BE=，
设EF=x，则CF=BF=-x，
在Rt△BEF中，x2+（）2=（-x）2，
解得：x=，
∴BF=-=，
∴O的半径为5，EF的长为．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
18．如图，中弦将圆周分成两部分，是优弧的中点，连接并延长交于点，交于点，连，若，

（1）求的半径；
（2）求弓形的面积；
（3）若是的动点（不与、重合），求图中阴影部分面积的最大值．
【答案】（1）6；（2）+24π；（3）18+6π
【分析】（1）连接OA，根据题意得出∠AOC=120°，从而证明△OAE为等边三角形，得出半径；
（2）连接OB，AC，BC，证明CE垂直平分AB，从而求出△OAB的面积，根据S弓形ACB= S△OAB + 2S扇形OAC求出结果；
（3）过点O作OG⊥AE于点G，并反向延长，与圆O交于点F，由题意可知，当F运动到OF⊥AE的位置时，△FAE的面积最大，求出OG，再根据S△AFE+S扇形OAE-S△OAE可求出结果.
【详解】解：（1）如图，连接OA，
∵中弦将圆周分成两部分，是优弧的中点，
∴为三分之一圆周，
∴∠AOC=120°，
∴∠AOE=60°，
∵OA=OE，
∴△AOE为等边三角形，
又∵AE=6，
∴OA=OE=6，即半径为6；
（2）如图，连接OB，AC，BC，
由题意可知：AC=BC，OA=OB，
∴CE垂直平分AB，
∴AD=BD，E为弧AB的中点，
∵∠AOD=∠BOD=60°，
∴OD=AO=3，
∴AD=，
∴S△OAB=×AB×OD=，
S弓形ACB= S△OAB + 2S扇形OAC=+24π；
（3）如图，过点O作OG⊥AE于点G，并反向延长，与圆O交于点F，
此时△AEF的高最大，即面积最大，
则此时阴影部分面积最大，
在△OAE中，OA=OE=AE=6，AG=EG=3，
∴OG=，
∴FG=6+,
∴S阴影的最大值=S△AFE+S扇形OAE-S△OAE
=×6×（6+）+-×6×
=18+6π.
【点睛】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，等边三角形的性质，求扇形面积，有一定综合性，解题的关键是找到阴影部分面积最大时点F的位置.
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.