第2部分-预习-第27讲 第24章 圆全章复习与测试（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第27讲 第24章 圆全章复习与测试（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共20页。试卷主要包含了圆的定义，与圆有关的位置关系，三角形的外接圆与内切圆，圆中有关计算等内容，欢迎下载使用。

知识点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
要点归纳：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
要点归纳：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
要点归纳：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
知识点二、与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为，OP=，则有
点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
要点归纳：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点在同一个圆上的方法
当时，在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.
(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.
(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
知识点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
要点归纳：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
2．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
知识点四、圆中有关计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
（3）圆面积公式：S＝πr2
（4）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（5）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（6）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（7）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
（8）圆锥的侧面积：S侧=12•2πr•l＝πrl．
（9）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
一．圆的认识（共3小题）
1．（2024春•青州市校级月考）下列说法正确的是
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
2．（2024•扶沟县一模）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处．如图，如果该摩天轮主视图的直径为88米，最高点距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟．但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为 分钟．
3．（2024•即墨区校级一模）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长．
（1）计算：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长 ；
②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长 ；
③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长 ；
④把分成条相等的线段，每个小圆的周长 ；
（2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是： ．
二．垂径定理（共3小题）
4．（2024•湖北模拟）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是
A．B．C．D．
5．（2024•兴宁区校级模拟）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面宽，净高，则此圆的半径为
A．B．C．D．
6．（2024•茌平区一模）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点，另一端为点，，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点，，且，，三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为
A．B．C．D．
三．垂径定理的应用（共2小题）
7．（2024•龙岗区校级模拟）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根为
A．B．C．D．
8．（2024•东莞市校级一模）是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等．该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦长，半径，垂足为，弓形高长．
（1）求的长；
（2）求半径的长．
四．圆心角、弧、弦的关系（共3小题）
9．（2024•碑林区校级模拟）如图，、是的弦，且，若，则的度数为
A．B．C．D．
10．（2024•下陆区校级三模）如图所示，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，，，那么的半径为
A．5B．10C．D．
11．（2024•前郭县三模）如图，顶点、、均在上，，则为
A．B．C．D．
五．圆周角定理（共2小题）
12．（2024•湖南）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为
A．B．C．D．
13．（2024•沈阳模拟）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于
A．B．C．D．
六．圆内接四边形的性质（共2小题）
14．（2024•西乡塘区校级模拟）如图，四边形内接于，若，则的度数是
A．B．C．D．
15．（2024•长沙县二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是
A．B．C．D．
七．点与圆的位置关系（共2小题）
16．（2023秋•江夏区校级期末）已知的半径为3，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是
A．点在外B．点在上C．点在内D．无法确定
17．（2024•中江县一模）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值
A．3B．C．D．4
八．确定圆的条件（共2小题）
18．（2024•绿园区校级三模）将边长为2的小正方形和边长为4的大正方形如图摆放，使得、两点刚好重合，且、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
19．（2023秋•桥西区期末）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为
A．1B．2C．3D．4
九．三角形的外接圆与外心（共2小题）
20．（2024•惠安县模拟）如图，内接于，若，，则的半径为
A．1B．2C．D．
21．（2024•横山区二模）如图，已知内接于，是的直径，过点作，垂足为，交于点，，，则的长为
A．B．C．1D．
一十．直线与圆的位置关系（共2小题）
22．（2024•鼓楼区二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是
A．相交B．相切C．相离D．包含
23．（2024•崇明区二模）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是
A．或B．
C．D．
一十一．切线的性质（共3小题）
24．（2024•宁阳县二模）如图，，分别与相切于点，，，为上一点，则的度数是
A．B．C．D．
25．（2024•澄海区一模）如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则
A．B．C．D．
26．（2024•北碚区校级模拟）如图，是等边的外接圆，过点作的切线交的延长线于点，若，则的长为
A．2B．3C．D．
一十二．切线的判定（共1小题）
27．（2024•石阡县模拟）如图，直线，相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧处．若以的速度由向的方向移动，则 后，与直线相切．
一十三．切线长定理（共3小题）
28．（2024•凉州区三模）如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为 ．
29．（2023秋•宿城区期中）如图，为的切线，、分别与切于、点，若，，则的长是 ．
30．（2022秋•平泉市校级期末）如图所示，是外一点，，分别和切于，两点，是上任意一点，过作的切线分别交，于，．
（1）若的周长为10，则的长为 ；
（2）连接、，若，则的度数为 度．
一十四．三角形的内切圆与内心（共3小题）
31．（2024•江汉区二模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是
A．B．C．D．
32．（2024•碑林区校级模拟）如图，中，，，，点为内心，连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则
A．B．1C．D．
33．（2024•武汉模拟）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为
A．1B．C．D．
一十五．正多边形和圆（共1小题）
34．（2024•鼓楼区校级二模）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形内切圆半径为
A．B．C．15D．
一十六．弧长的计算（共2小题）
35．（2024•越秀区校级三模）如图，点，，在半径为3的上，，则的长为
A．3B．C．D．
36．（2024•安徽）若扇形的半径为6，，则的长为
A．B．C．D．
一十七．扇形面积的计算（共2小题）
37．（2024•西华县三模）如图，边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
38．（2024•甘井子区校级一模）已知某扇形弧长为，圆心角为，则扇形面积为
A．B．C．D．
一十八．圆锥的计算（共2小题）
39．（2024•红塔区二模）云南十八怪，草帽当锅盖．使用草编的锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，搭配攀枝花木甑子，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道．某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为，高度为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长等于
A．B．C．D．
40．（2024•松山区二模）一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为
A．B．C．D．
一、单选题
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
2．如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4πB．2πC．πD．
3．如图，是的直径，是的切线，切点为点，过点的直线与交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．如果平分，
C．如果平分，那么
D．如果，那么也是的切线
4．在平面中，已知的半径等于，点在直线上，则圆心到直线的距离（ ）
A．等于B．最小值为C．最大值为D．不等于
5．如图所示，已知点C在以AB为直径的⊙O上运动，AB＝2，以BC为边作等边△BCD，则AD的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为（ ）

A．B．C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴交于点，．若圆心的坐标是，则弦的长度为（ ）

A．3B．4C．5D．6
二、填空题
8．若一个圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的高是 ．
9．如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ．

10．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若，，则的值是 ．
11．如图，四边形OABC是平行四边形，AB＝1，以点O为圆心，OC长为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D．则图中阴影部分的面积为 ．
12．如图，内切于正方形，为圆心，作，其两边分别交，于点，，若，则的面积为 ．

三、解答题
13．如图，为的弦，连接、，，请用尺规作图法在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
14．如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
15．如图，点C在⊙O上，点P是⊙O直径AB延长线上一点，连接AC，OC，BC，CP，且有BO＝BC＝BP．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若OP＝4，求AC的长．
16．如图， 已知等腰三角形的底角为， 以为直径的与底边交于点， 过作， 垂足为．
(1)证明：为的切线；
(2) 连接， 若， 求的面积．
17．如图，是的直径，C是的中点，于点E，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的半径及的长．
18．如图，中弦将圆周分成两部分，是优弧的中点，连接并延长交于点，交于点，连，若，

（1）求的半径；
（2）求弓形的面积；
（3）若是的动点（不与、重合），求图中阴影部分面积的最大值．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.