第2部分-预习-第07讲 二次函数（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第07讲 二次函数（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共16页。学案主要包含了例1-1，例1-2，变式1-3，例1-4，变式1-1，变式1-4，变式5-1，变式2-1等内容，欢迎下载使用。

知识点1．二次函数
1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
2.二次函数的一般式
任何一个二次函数的解析式都可化成y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的形式,因此,把y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式.
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【例1-1】下列函数中是二次函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A选项：是一次函数，故此选项错误；
B选项：，是二次函数，故此选项正确；
C选项：，为一次函数，故此选项错误；
D选项：是组合函数，不是二次函数，故此选项错误．
故选：B．
【例1-2】已知是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0B．1C．4D．0或4
【答案】C
【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解即可．
【详解】由题意得：，且，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如(a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数．
【变式1-3】下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5)； (6) (为常数)．
【答案】(1)不是二次函数，是一次函数
(2)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0
(3)不是二次函数
(4)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是-3
(5)时，不是二次函数
(6)时，不是二次函数
【分析】（1）观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数；
（2）根据二次函数的定义即可判断；
（3）根据二次函数的定义即可判断；
（4）根据二次函数的定义即可判断；
（5）根据二次函数的定义即可判断；
（6）根据二次函数的定义即可判断．
【详解】（1）不是二次函数，是一次函数；
（2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0；
（3）不是二次函数；
（4），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是；
（5）时，不是二次函数；
（6）时，不是二次函数．
【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
【例1-4】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列每组变量之间的关系为二次函数的是（ ）
A．正方形周长与边长的关系
B．菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系
C．速度一定时，路程与时间的关系
D．等边三角形的面积与边长的关系
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义．分别列出关系式，根据二次函数的定义，进行选择即可．
【详解】解：A. 正方形周长与边长的关系，是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
B. 菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系，是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
C. 速度一定时，路程与时间的关系，是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
D. 等边三角形的面积与边长的关系，是二次函数关系，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【变式1-1】以下函数式二次函数的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项错误；
B、由得到，是一次函数，故本选项错误；
C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
D、由原函数解析式得到，符合二次函数的定义，故本选项正确．
应选：D．
【例1-2】二次函数的常数项是（ ）
A．1B．2C．D．0
【答案】A
【分析】根据二次函数定义：是二次项；是一次项；是常数项，从而得到答案．
【详解】解：根据二次函数定义可知，二次函数的常数项是，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数定义，熟记二次函数定义：是二次项；是一次项；是常数项是解决问题的关键．
【变式1-3】二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ．
【答案】 3
【详解】解：二次函数的二次项系数是，一次项系数是3，
故答案为：；3．
【变式1-4】当为何值时，函数是二次函数．
【答案】
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴且，
解得：，
即当为时，函数是二次函数．
【变式5-1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列变量具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长xB．速度v一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长xD．三角形的高一定时，面积y与底边长x
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数是二次函数是解题的关键．
【详解】解：A、，是一次函数，错误；
B、，v一定，是一次函数，错误；
C、，是二次函数，正确；
D、，h一定，是一次函数，错误；
故选C．
知识点2．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
【例2】某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2+aB．y＝a（x﹣1）2C．y＝a（1﹣x）2D．y＝a（1+x）2
【解答】解：依题意，
得y＝a（1+x）2．
故选：D．
【变式2-1】在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可．
【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键．
【变式2-2】一件商品原价为元，连续两次降价，降价率均为，两次降价后该商品的售价价格为元，则与的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题的数量关系是：原价×（1-x）（1-x）=售价，设出原价，列出方程即可解答．
【详解】∵降价率为x，根据题意列方程得，
∴y=50（1-x）（1-x）=50（1-x）2．
故选B．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，解答此题注意两次降价x的标准不同，第一次x以原价为标准，第二次x以第一次降价后的价格为标准．
【变式2-3】半径是2的圆，如果半径增加x时，增加的面积s与x之间的关系表达式为__________．
【答案】
【分析】根据增加的面积=增加后的面积-原来的面积建立等式就可以得出结论．
【详解】解：由题意，得
S=π（2+x）2-4π，
S=πx2+4πx．
故答案为：S=πx2+4πx．
【点睛】本题考查了圆的面积公式的运用，根据圆的面积公式求二次函数的解析式的运用，灵活运用圆的面积公式是解题的关键．
易错点：根据二次函数的定义求字母参数的值式，容易忽略二次函数系数不为0这个条件而导致错误
【例3】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣1
【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．
【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+1≠0，
解得a＝﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
易错总结：求二次函数中字母参数的值，要根据二次函数定义，在保证二次函数中含自变量的代数式是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0的条件。解此题时，容易忽略二次项次数不为0这个条件，得出错解-5或-1.
考点1：根据二次函数的概念确定字母取值
1.已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（ ）
A．±2B．1C．﹣2D．±1
【解答】解：由题意得：
|m|＝2且m﹣2≠0，
∴m＝±2且m≠2，
∴m＝﹣2，
故选：C．
2.若函数是关于的二次函数，则____．
【答案】
【详解】解：∵函数是关于的二次函数，
∴，
解得，
故答案为：．
3．已知函数是二次函数，求m的值．
【答案】
【详解】解：是二次函数，得
，
解得：．
4．若．
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：(1)当是二次函数时，
有，
解得，
∴当时，此函数是二次函数；
（2）当是一次函数时，
有，
解得或，
∴或时，此函数是一次函数．
考点2：根据实际问题列二次函数的表达式
5．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A．y＝（x﹣35）（400﹣5x）B．y＝（x﹣35）（600﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x）D．y＝（x+5）（200﹣10x）
【解答】解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得：y＝（x﹣35）（400﹣5x），
故选：A．
6.某工厂2017年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为 ．
【解答】解：根据题意，得：y关于x的函数关系式为y＝100（1+x）2（x＞0）．
故答案为：y＝100（1+x）2（x＞0）．
7．如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．
【答案】S＝- x2＋30x（0＜x＜30）
【详解】∵铁丝的长是60cm，一边长xcm，
∴另一边长是（30-x）cm，
∴S=x（30-x）＝- x2＋30x（0＜x＜30）.
8．某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
【答案】，y是x的函数
【详解】解：这种产品的原产量是，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量，
即①
①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数．
9．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．
（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）
；
（2）．
考点3：根据动态问题列二次函数的表达式
10．如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ．
【答案】
【详解】，，
．
四边形 是 的内接矩形，
，，，
，
．
，，
∴，
，
．
11.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．
(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？
(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？
【答案】(1)5s
(2)
【详解】（1）解：∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C=30°，
∴CD=2DF，AC=2AB，
∵AC＝30cm，
∴AB=15cm，
根据题意得：CD=4tcm，AE=2tcm，则AD=（30-4t）cm，
∴DF=2tcm，
∴DF=AE，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当DF=AD时，四边形AEFD为菱形，
即30-4t=2t，解得：t=5；
（2）解：∵∠B＝90°，AC＝30cm，AB=15cm，CD=4tcm，DF=2tcm，
∴，，
由（1）得：四边形AEFD是平行四边形，
∴．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）．
（2）当点Q与点C重合时，求t的值．
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
【答案】（1）；（2）；（3）当0＜t≤1时，，当1＜t＜2时，.
【详解】解：（1）∵PD⊥AC，
∴ ，
∵∠A=45°，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∵点P的运动时间为t秒，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∵AC=，
∴；
（2）∵PD⊥AC，∠A=∠DPQ=45°，
∴∠A=∠PQD=45°，
∴PA=PQ，
∴AD=DQ ，
∵点Q与点C重合，
∴AD+DQ=AC，
∴2AD=AC，
即，
解得；
（3）①当0＜t≤1时，
，
②当1＜t＜2时，如图，设PQ交BC于点E，则 ，
，
∴
∴．
一、单选题
1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的识别，形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A，当时，，不是二次函数，不合题意；
B，，是的一次函数，不合题意；
C，，一定是的二次函数，符合题意；
D，中含有分式，不是二次函数，不合题意；
故选C．
2．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）二次函数的常数项为（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答．
【详解】二次函数的常数项为，
故选：D．
3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．
【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：，
故选：B．
4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A．B．或C．D．不存在
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数．
【详解】解：由题意得，解得：，
故选：．
二、填空题
5．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数定义，根据二次函数定义，得到，，即可得到答案，熟记二次函数定义是解决问题的关键．
【详解】解：是关于的二次函数，
，，即，
，
故答案为：．
6．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可．
【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为：
，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
7．（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】根据第一个月投放2000辆单车，第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，得到第二个月投放单车的数量为，第三个月投放单车的数量为，根据计划三个月共投放单车辆，得出函数关系式即可．
【详解】解：由题意，得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查求函数解析式，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确的列出函数关系式．
8．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式是 ．
【答案】/
【分析】根据增加的面积等于新正方形的面积减去边长为1的正方形的面积，求出即可．
【详解】由题意得：
．
故答案为：．
三、解答题
9.把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项．
【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0
【分析】根据二次函数的一般式解答即可．
【详解】解：二次函数即为，
∴二次项为，一次项是，常数项是0．
【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项．
10．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，求m的值．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数．
【详解】解：函数是关于x的二次函数，
∴，
解得．
11．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为．
(1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？
【答案】(1)；
(2)围成面积为的花圃，的长为米
【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用；
（1）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式；
（2）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出的值即可．
【详解】（1）解：依题意得，，
∴，
∵墙的最大可用长度为10米，
∴，即，解得：，
∴x的取值范围是：；
（2）当时，，解得：，，
∵，
∴，即，
∴要围成面积为的花圃，的长为米．
12．（22-23九年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接．
(1)若四边形为菱形，则值为多少？
(2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？
【答案】(1)
(2)
【分析】（）由且，得四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可；
（）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解．
【详解】（1）解：，，
，
，，
，
，
根据题意得：，，则，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
当时，四边形为菱形，
即，解得：；
（2）解：，，，，，
，，
由（1）得：四边形是平行四边形，
．
即
【点睛】本题主要考查了二次函数，菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.理解二次函数的概念，能将二次函数化为一般形式
2.能根据概念判断函数是不是二次函数
3.了解实际问题中存在的二次函数关系及对其自变量的要求。