第2部分-预习-第26讲 第23章 旋转全章复习与测试（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第26讲 第23章 旋转全章复习与测试（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共44页。试卷主要包含了旋转，旋转的性质，旋转作图，中心对称，中心对称的性质，确定对称中心的方法，画已知图形关于某一点对称的图形，中心对称图形等内容，欢迎下载使用。

知识点1.旋转（重点）
在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)．
如图：三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得，则点Ａ和点A′，点B和B′，点C和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，∠AＯA′,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角．
要点归纳：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
•
C′
B′
C
B
A
A′
O
知识点2.旋转的性质（重点）
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应线段的长度相等（ＡＢ＝ＡB′）；
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠ＡＯA′）；
要点归纳：
１、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转．
２、旋转前后图形的大小和形状没有改变．
知识点3.旋转作图（重点）
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
要点归纳：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点．
知识点4.中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
要点归纳：
１、中心对称是旋转角为180°的旋转对称；
２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心；
３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分．
A
C
B
C′
B′
A′
O
知识点5.中心对称的性质（重点）
1.中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被称中心所平分;
2.中心对称的两个图形是全等图形
要点归纳：
(1)中心对称是一种特殊的旋转,因此,它具有旋转的一切特征
(2)中心对称的特征(性质)是画已知图形关于某点对称的图形的主要依据
(3)常常可以利用中心对称的性质来证明有关的线段相等、平行及三角形全等
知识点6.确定对称中心的方法（重点）
方法1:连接任意一对对称点，取这条线段的中点,则该点为对称中心
方法2:连接任意两对对称点,这两条线段的交点即是对称中心
知识点7.画已知图形关于某一点对称的图形
1.画图关键
先确定对称中心,再作出原图形上关键点关于对称中心的对称点
2.画图步骤
(1)连接:分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长;
(2)截取:等长截取,在延长线上截取长度等于关键点与对称中心所连线段的长度,截取的交点就是该关键点的对称点:
(3)顺次连接:将对称点参照原图形顺次连接起来,即可得出关于对称中心对称的图形
知识点8.中心对称图形（重点）
1.中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转 180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2.中心对称图形的判定
2.必须同时满足下列三个条件:
(1)围绕某点旋转;(2)旋转180°;(3)与自身完全重合
3.中心对称图形的性质
(1)中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心,且被对称中心平分,即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点
(2)过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形(即面积和周长都分别相等)
4.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
知识点9.关于原点对称的点的坐标（重点）
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x，-y)
一．利用轴对称设计图案（共3小题）
1．（2024春•鄞州区校级期末）如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，按下列要求作图．
（1）作出图中边上的高线（需要标出垂足点）；
（2）在图2中找出一格点，使，，，所组成的四边形是轴对称图形（作出一个即可）；
（3）直接写出（2）中你所作四边形的面积．
【分析】（1）根据垂线的定义作出图形即可；
（2）根据轴对称的性质即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，线段即为所求；
（2）如图所示，四边形即为所求；
（3）四边形的面积．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
2．（2024•夹江县模拟）已知在网格中每个小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由一条对角线和以格点为圆心，半径为2的圆弧围成的弓形．
（1）图1中阴影部分的面积是 （结果保留；
（2）请你在图2中以图1为基本图案，借助轴对称，平移或旋转设计一个轴对称的花边图案（要求至少含有两种图形变换）．
【分析】（1）直接利用阴影部分所在扇形减去所在三角形面积即可得出答案；
（2）利用基本图形结合轴对称以及旋转、平移得出符合题意的图形．
【解答】解：（1）图中的阴影部分面积为：；
故答案为：；
（2）如图2所示：答案不唯一．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及利用轴对称设计图案、利用平移以及旋转设计图案，正确利用基本图形进行变换是解题关键．
3．（2023秋•樊城区期末）（1）观察图①图④中阴影部分的图形，写出这4个图形具有的两个共同特征： 都是轴对称图形 ； ．
（2）在图⑤中设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征．
【分析】（1）应从图形的对称性，以及图形中阴影部分的面积入手考虑；
（2）只需符合是轴对称图形，阴影部分面积为4即可，最简单的是相邻4个小正方形组成一个较大的正方形．
【解答】解：（1）答案不唯一，例如四个图案具有的共同特征可以是：
①都是轴对称图形；
②面积都等于四个小正方形的面积之和；
故答案为：都是轴对称图形；面积都等于四个小正方形的面积之和；
（2）答案示例：
．
【点评】本题考查利用轴对称设计图案的知识，解题时要注意判断图形的共性，首先要看对称性；有阴影的，注意观察阴影部分的面积是否相同，有一定难度．
二．生活中的旋转现象（共3小题）
4．（2024•韶关模拟）用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜帖花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形运动是
A．平移和旋转B．对称和旋转C．对称和平移D．旋转和平移
【分析】根据对称和旋转定义来判断．
【解答】解：根据对称和旋转定义可知：
“当窗理云鬓，对镜帖花黄”是对称；
“坐地日行八万里”是旋转．
故选：．
【点评】考查学生对对称和旋转的理解能力．要理解：“对镜帖花黄”是指人和镜像的对称关系；“坐地日行八万里”是指人绕地心旋转．
5．（2024春•涟水县校级月考）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；
②传送带的移动，是平移现象；
③方向盘的转动，是旋转现象；
④钟摆的运动，是旋转现象；
⑤荡秋千运动，是旋转现象．
属于旋转的有③④⑤共3个．
故选：．
【点评】本题考查了生活中的旋转现象，是基础题，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键．
6．（2024•桐柏县二模）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶片状”阴影图案的面积为 ．
【分析】连接，阴影部分面积，依此计算即可求解．
【解答】解：连接，阴影部分面积．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图，关键是需要同学们熟练掌握基础知识．
三．旋转的性质（共3小题）
7．（2024•钟楼区校级二模）如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，边上的一点旋转后的对应点为，连接，，则的最小值是
A．B．C．D．
【分析】如图，作关于直线的对称点，连接，过作于，由，当，，三点共线时，最小，再进一步利用勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，作关于直线的对称点，连接，过作于，
，，，共线，，
由旋转可得：，，
，
当，，三点共线时，最小，
，
，，
，，
，
；
的最小值是；
故选：．
【点评】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，化为最简二次根式，作出适当的辅助线是解本题的关键．
8．（2024春•金牛区期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由，将绕点逆时针旋转得到，得，，得，即可得．
【解答】解：由，将绕点逆时针旋转得到，
得，，
得，
得．
故选：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题关键是应用等腰三角形的性质．
9．（2024•北京）如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点到该八边形各顶点的距离都相等；
④点到该八边形各边所在直线的距离都相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】通过△△和△△可判断①；根据角平分线的性质定理判断④；通过角度计算判断②；通过长度计算判断③．
【解答】解：延长和，连接，
菱形，，
，，
菱形绕点逆时针旋转 得到菱形 ，
点，，，一定在对角线，上，且 ，，
，，
，
△△，
，，
同理可证 ，，，
，，，
△△，
，
，
该八边形各边长都相等，故①正确；
根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确；
根据题意，得，
，，
，
该八边形各内角不相等，故②错误；
，，，
△，
，，
，
点到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误；
故选：．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
四．旋转对称图形（共3小题）
10．（2023秋•桥西区期末）正六边形最少旋转度后能与自身重合，则为
A．B．C．D．
【分析】根据正六边形的性质即可得到结论．
【解答】解：正六边形最少旋转后能与自身重合，则为，
故选：．
【点评】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
11．（2024春•新吴区校级月考）等边三角形绕中心旋转与自身重合，至少需要旋转（ ）
A．120°B．90°C．60°D．30°
【分析】确定图形绕自己的中心最少旋转多少度可与自身重合，就是观察图形，可以被从中心发出的射线平分成几部分，则旋转的最小角度即可求解．
【解答】解：等边三角形绕中心旋转与自身重合，至少需要旋转360÷3＝120°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转对称图形的概念，正确记忆相关知识点是解题关键．
12．（2024•朝阳区校级一模）以下图形绕点旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是
A．B．C．D．
【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．
【解答】解：、最小旋转角度；
、最小旋转角度；
、最小旋转角度；
、最小旋转角度；
故选：．
【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．求出各图形的最小旋转角度是解题关键．
五．中心对称（共3小题）
13．（2024•开封二模）如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，修路的方法有
A．1种B．2种C．4种D．无数种
【分析】根据正方形的性质，过对角线的交点，作两条互相垂直的直线即可．
【解答】解：正方形是中心对称图形，
经过正方形的对称中心作互相垂直的两条直线，
则这两条直线把草地分成的四部分面积相等，
故选：．
【点评】本题考查的是中心对称，掌握正方形是中心对称图形以及中心对称图形的性质是解题的关键．
14．（2024•民权县三模）如图，在平面直角坐标系中，点O，O1，A，A1，B，B1，C，C1，……都是平行四边形的顶点，点A，B，C，……在x轴的正半轴上，；，平行四边形按此规律依次排列，则第8个平行四边形对称中心的坐标是（ ）
A．B．C．（36，4）D．（4，36）
【分析】先求出前几个点的坐标，找到规律第n个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接O1M⊥x轴于点M，10
∵∠AOO1＝30°，OO1＝2
∴
又∵，
∴A，M重合，
∴O1A⊥OA
则O1A的中点即为所第1个平行四边形的对称中心，其坐标为；
同理可得A1B⊥AB，，A1B＝2，则A1B的中点坐标即第2个平行四边形的对称中心坐标为
同理可得第3个平行四边形的对称中心坐标为
……
同理可得第n个平行四边形的对称中心坐标为
∴第8个平行四边形的对称中心的坐标是即10
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，点的坐标规律，正确找到关键是解题关键．
15．（2024•河北二模）题目“如图，，，为线段上一动点，为点关于点的对称点．连接．当有一个内角为时，求的长．”甲的答案为，乙的答案为，丙的答案为，则下列说法正确的是
A．只有甲的答案对
B．甲、乙两人的答案合在一起才完整
C．甲、丙两人的答案合在一起才完整
D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整
【分析】分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解．
【解答】解：当点在线段上时，
，，，
，
．
当点在的延长线上时，同法可得．
综上所述，的长为或．
故选：．
【点评】本题考查中心对称，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
六．中心对称图形（共3小题）
16．（2024•肇东市模拟）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
17．（2024•惠州二模）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可得出答案．
【解答】解：．该图形即是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了轴对称图形、中心对称图形的识别，关键掌握“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，“如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形”．
18．（2024•汉阳区校级模拟）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．该图形既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意；
．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
七．关于原点对称的点的坐标（共3小题）
19．（2024•扬州）在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可．
【解答】解：点，
关于坐标原点的对称点的坐标为．
故选：．
【点评】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是是解题的关键．
20．（2024•江安县校级模拟）若点与关于原点对称，则点所在的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据“点与关于原点对称”，求出、的值，即可确定点的坐标，进而得到结论．
【解答】解：点与关于原点对称，
，，
，
点在第四象限，
故选：．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点以及各点所在象限的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
21．（2024•凉山州）点关于原点对称的点是，则的值是
A．1B．C．D．5
【分析】关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数．
【解答】解：点关于原点对称的点是，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，掌握关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数是解题的关键．
八．坐标与图形变化-旋转（共3小题）
22．（2024春•高碑店市月考）将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上．若，将三角板绕原点逆时针旋转，每秒旋转，则第2024秒时，点的对应点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据每秒旋转的角度，找出点的位置6秒一循环是解题的关键．由题意画出直角三角板旋转后的位置，此题得解．
【解答】解：，
第2024秒时，直角三角板旋转到如图位置，
过点作轴，
此时，
．
，
故选：．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化中的旋转以及规律型中点的坐标，正确记忆相关知识点是解题关键．
23．（2024•崂山区校级三模）如图，已知，，，将先向左平移5个单位，再绕原点顺时针旋转得到△，则点的对应点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】先根据平移的性质求出平移后点的坐标，再利用旋转的性质求出点关于原点对称的点的坐标即可．
【解答】解：，
将先向左平移5个单位后点坐标为，
点关于原点对称的点，
故选：．
【点评】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键是掌握绕原点旋转的图形的坐标特点，即对应点的横纵坐标都互为相反数．
24．（2024•市中区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段绕原点逆时针方向旋转，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点逆时针方向旋转，再将其延长到，使得，得到线段；如此下去，得到线段，，，．根据以上规律，则点的坐标为
A．，B．
C．D．
【分析】根据点的坐标求出，然后判断出△是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出，同理求出，，然后根据规律写出，再判断出点的位置，可得结论．
【解答】解：点的坐标为，
，
线段绕原点逆时针方向旋转，，
△是等腰直角三角形，
，
同理，，
，
，
，
．
次应该循环，
，
点在轴的负半轴上，
，
故选：．
【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质．注意得到规律：是关键．
九．作图-旋转变换（共3小题）
25．（2024•南开区三模）如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，，取，的中点，，连接，若，．
（Ⅰ）的长度为 5 ；
（Ⅱ）的长度为 ．
【分析】连接、，在中，利用勾股定理可得，利用矩形性质可知，根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出．
【解答】解：连接、，
在中，利用勾股定理可得，
为中点，
．
矩形绕点顺时针旋转至的位置，
，且，
．
故答案为：5，．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、旋转的性质，求线段长度，构造直角三角形利用勾股定理求解是解决这类问题的方法思路．
26．（2023秋•金湾区期末）如图，矩形起始位置紧贴在坐标轴上，且坐标为，，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．则顶点在旋转2023次后的坐标为
【分析】由题意可知，每旋转4次为一个循环，点回到轴上，横坐标增加6，根据可知，顶点在旋转2022次后的横坐标为，纵坐标为2，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，旋转第1次至图①位置，点的坐标为，
旋转第2次至图②位置，点的坐标为，
旋转第3次至图③位置，点的坐标为，
旋转第4次，点的坐标为，
即每旋转4次为一个循环，点回到轴上，横坐标增加6，
，
顶点在旋转2023次后的横坐标为，纵坐标为1，
顶点在旋转2022次后的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查规律型：点的坐标、旋转，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
27．（2024春•惠山区期末）如图，在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，均在格点上，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图1中点在格点上，画出线段关于点中心对称的线段对应；
（2）在图2中点在格点上，画出线段绕点逆时针旋转所得到的线段对应；
（3）在图3中，找格点，，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质即可解答；
（3）画正方形即可．
【解答】解：（1）如图1，线段即为所求；
（2）如图2，线段即为所求；
（3）如图3，四边形即为所求．
【点评】本题考查中心对称、轴对称图形、中心对称图形、平行四边形的判定与性质，掌握中心对称的性质、轴对称图形、中心对称图形的定义、平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
一十．利用旋转设计图案（共3小题）
28．（2024•裕华区校级模拟）如图，和都是等腰直角三角形，和都是直角，点在上，绕着点经过逆时针旋转后能够与重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着点经过逆时针旋转得到图（2）．两次旋转的角度分别为
A．，B．，C．，D．，
【分析】图1中可知旋转角是，再结合等腰直角三角形的性质，易求；图2中是把图1作为基本图形，那么旋转角就是，结合等腰直角三角形的性质易求．
【解答】解：根据图1可知，
和是等腰直角三角形，
，
即绕点逆时针旋转可到；
和是等腰直角三角形，
，
，
即图1可以逆时针连续旋转得到图2．
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解旋转的性质，能找对旋转中心、旋转角．
29．（2024•呼和浩特一模）把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 度时，旋转后的五角星能与自身重合．
A．60B．30C．72D．36
【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为．
故选：．
【点评】本题考查利用旋转设计图案，旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
30．（2024•前郭县校级三模）将如图所示的图案绕其中心至少旋转 90 度后能与原图案完全重合．
【分析】观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
【解答】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转4次所组成，故最小旋转角为．
故答案为：90．
【点评】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．
一十一．几何变换的类型（共3小题）
31．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，，都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到．写出一种由得到的变化过程： 绕点逆时针旋转 ．
【分析】利用等边三角形的性质和已知条件证明与全等，可绕点逆时针旋转得到．
【解答】解：，都是等边三角形，
，，，
，
即，
在于中，
，
，
，
绕点逆时针旋转得到．
故答案为：绕点逆时针旋转．
【点评】此题主要考查了几何变换的类型、等边三角形的性质以及图形的旋转，解答本题的关键是掌握旋转的性质和等边三角形的性质．旋转的性质：对应点与旋转中心的连线相等，夹角为旋转角．
32．（2023秋•赛罕区校级期中）如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察对应点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点与点，点与点的坐标．
（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求、的值．
【分析】（1）根据各个点在平面直角坐标系中的位置写出坐标即可；
（2）根据（1）得出的结论可知点和点的横坐标和纵坐标都互为相反数，列出方程组求解即可．
【解答】解：（1）由图可知，，；，；
（2）由（1）可知对应点的横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数．
根据题意得：，
解得
【点评】本题主要考查了在平面直角坐标系中点的变化规律、二元一次方程组的应用等知识，熟练的掌握平面直角坐标中点的坐标变化规律是解题的关键．
33．（2023秋•东西湖区期末）如图，四边形是正方形，，分别是和的延长线上的点，且，连接，，．
（1）可以看作是经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到的变换过程；
（2）已知，，直接写出四边形的面积为 25 ．
【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到可以看作是绕着点顺时针旋转得到的；
（2）根据已知条件得到，根据正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）四边形是正方形，
，，
而是的延长线上的点，
，
在和中
，
，
，
，
，
可以看作是绕着点顺时针旋转得到的；
（2），，
，
，
四边形的面积正方形的面积．
故答案为：25．
【点评】本题考查了几何变换的类型，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
一．选择题（共10小题）
1．清代诗人高鼎的诗“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”中描述了小孩放风筝的欢愉景象．将如图所示的风筝图案按顺时针方向旋转后可以得到的图案是
A．B．
C．D．
【分析】根据旋转的定义即可求解．
【解答】解：根据旋转的性质可知，图案按顺时针方向旋转，得到的图案是．
故选：．
【点评】本题考查利用旋转设计图案，旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
2．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是
A．①B．②C．③D．④
【分析】根据中心对称图形的意义，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形．将②涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕正方形的中心旋转后，这个图形能自身重合，是中心对称图．
【解答】解：如图，
将②涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕正方形的中心旋转后，这个图形能自身重合，是中心对称图形．
故选：．
【点评】本题是考查中心对称图形的意义及特征．根据意义及特征即可确定哪个小正方形与图中阴影部分构成中心对称图形．
3．已知点和点关于原点对称，则的值为
A．B．C．D．1
【分析】点和关于原点对称，则它们的横纵坐标分别互为相反数．
【解答】解：点和关于原点对称，
，，
．
故选：．
【点评】本题侧重考查关于原点对称的点的坐标特征、有理数的乘方，掌握其运算法则是解决此题的关键．
4．如图，将直角三角板绕顶点顺时针旋转到△，点恰好落在的延长线上，，，则为
A．B．C．D．
【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
【解答】解：，，
，
将直角三角板绕顶点顺时针旋转到△，
．
点恰好落在的延长线上，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．
5．如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转角得到的，点与点对应，则角等于
A．B．C．D．
【分析】如图：连接，，作线段，的垂直平分线交点为，点即为旋转中心．连接，，即为旋转角．
【解答】解：如图：连接，，作线段，的垂直平分线交点为，点即为旋转中心．连接，
即为旋转角，
旋转角为
故选：．
【点评】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．
6．如图，已知在平行四边形中，于点，以点为中心，把顺时针旋转，使点的对应点落在边上得到△，连接．若，，则的大小为
A．B．C．D．
【分析】根据平行四边形的性质得，，则根据平行线的性质可计算出，接着利用互余计算出，然后根据旋转的性质得，于是可得．
【解答】解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
顺时针旋转，得到△，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．
7．如图，将绕点旋转得到△，设点的坐标为则点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】把和△向上平移1个单位，此时点的对应点的坐标为，，由于平移后和△关于原点中心对称，则点的对应点的坐标为，然后还原，把点向下平移1个单位即可得到点的坐标．
【解答】解：把和△向上平移1个单位，则平移后和△关于原点中心对称，此时点的对应点的坐标为，所以点的对应点的坐标为，把点向下平移1个单位得点，即点的坐标为．
故选：．
【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．本题的关键是利用平移把图形转化为关于原点对称的图形．
8．如图，以正方形的对角线所在直线为轴建立直角坐标系，其中，，菱形的边在轴上，将菱形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为
A．B．C．，D．，
【分析】先求出点坐标，由题意可得每8次旋转一个循环，即可求解．
【解答】解：四边形是正方形，
，
，，
，，
，
四边形是菱形，
，
点，，
由题意可得每8次旋转一个循环，
，
点的坐标与点坐标关于轴对称，
点的坐标，
故选：．
【点评】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键．
9．如图，正方形的边长为1；将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是
A．B．C．D．
【分析】依据、为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：正方形的边长为1，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是利用、为等腰直角三角形求解线段的长．
10．如图，在中，，，点为内一点，，，连接，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，点的对应点为点，连接交于点，则的长为
A．B．C．3D．
【分析】过点作于点，由旋转的性质推出，，利用锐角三角函数分别求出，，的长．
【解答】解：如图，过点作于，
将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，
，，
，，
，
，
，
，，
，，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是能够通过作适当的辅助线构造特殊的直角三角形，通过解直角三角形来解决问题．
二．填空题（共6小题）
11．若点与关于原点对称，则 1 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出，的值进而得出答案．
【解答】解：点与关于原点对称，
，，
．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
12．在英文字母、、、、中，是中心对称的英文字母有 2 个．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：在英文字母、、、、中，是中心对称图形的是、，共2个．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，掌握好中心对称图形的概念．中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
13．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 6 ．
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【解答】解：如图，
直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点，，，
，
图形①与图形②面积相等，
阴影部分的面积之和长方形的面积．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
14．如图，在中，，，，△可以由绕点顺时针方向旋转得到，其中点与点、点与点是对应点，连接，且，，在同一条直线上，则的长为 4 ，的长为 ．
【分析】先计算出，再根据旋转的性质得到，，，，，即可计算出，则，从而计算即可．
【解答】解：，，
，
，
△可以由绕点顺时针旋转得到，
，，，，，
，
，
，
，
．
故答案为：4，6．
【点评】本题考查了旋转的性质、直角三角形性质及应用，掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，若绕某点逆时针旋转一定的角度后得到△，则点的坐标是 ．
【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：如图，点即为所求．，
故答案为：．
【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解旋转中心是对应点连线段的垂直平分线的交点．
16．如图，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，恰好使得，则的大小为 ．
【分析】根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质求出，即可得到结论．
【解答】解：绕点逆时针旋转到的位置，
，，
，
，
，
；
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．如图是由14个全等的三角形组成的图案，是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称或旋转而得到的，试分析这个图案形成的过程．
【分析】根据图形的特征，利用轴对称（翻折）、平移和旋转这些变换，即可得到图案．
【解答】解：①如图1，将阴影部分三角形沿着翻折，得到；
②如图2，将分别绕着的中点和的中点旋转，得到，；
③如图3，将四边形沿着翻折，即可得到四边形；
④将图3绕着点旋转，即可得到图4．
【点评】本题主要考查了利用旋转变换、轴对称变换设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
18．如图，三个顶点的坐标分别为、、．
（1）请画出与关于原点成中心对称的图形△；
（2）若以点为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为△的对应点为， 的对应点为，在网格中画出旋转后的图形．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质找出对应点即可求解；
（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，△即为所求；
（2）如图所示，△即为所求．
【点评】本题考查了作图旋转变换、轴对称最短路径问题，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．
19．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可；
（2）结论：．证明，即可解决问题．
【解答】（1）证明：是由旋转得到，
，，
，
，
平分；
（2）解：结论：，理由如下：
由旋转的性质可知，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了旋转变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质是解本题的关键．
20．（1）如图1，在等边三角形中，，是边上的高，延长至点，使，求的长；
（2）如图2，将以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，过点作，交的延长线于点，求证：．
【分析】（1）证明，推出，据此求解即可；
（2）根据旋转的性质得到、、在同一直线上，且，得到，再根据平行线的性质即可证明．
【解答】（1）解：等边三角形中，是边上的高，
，，，
，
，
，
，
，
的长为3；
（2）证明：将以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，
、、在同一直线上，且，
，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21．实践操作：如图是正方形网格，每个小正方形的边长都为1．
（1）请在图1中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图1中黑色部分是一个轴对称图形；
（2）请在图2中选取若干个白色的单位正方形并涂黑，使图2中黑色部分是一个中心对称图形，且面积占正方形网格面积的一半．
【分析】（1）根据轴对称图形的定义，即可解答；
（2）根据题意可得：要选取3个白色的单位正方形并涂黑，然后再根据中心对称图形的定义，即可解答．
【解答】解：（1）
如图即为所求；
（2）
如图即为所求．
【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握中心对称图形，轴对称图形的定义是解题的关键．
22．如图，一个锐角等于的菱形，将一个的的顶点与该菱形顶点重合，以为旋转中心，按顺时针方向旋转这个的，使它的两边分别交、于点，．
（1）如图1，当时，与的数量关系是 ；
（2）旋转，如图2，当时，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由菱形的性质可得，，可证是等边三角形，是等边三角形，可得，，由“”可证，可得．
【解答】解：（1）四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（2）仍然成立，
理由如下：如图2，连接，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23．如图①，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则：
（1）的度数是 ；线段，，之间的数量关系是 ；
（2）如图②，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）证明与全等即可解决问题．
（2）证明与全等，结合等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）由旋转可知，
，．
，，
是等边三角形，
，
．
在和中，
，
，
，，
，
即．
故答案为：，．
（2）．
由旋转可知，
，，
，
．
在和中，
，
，
，
．
，，
是等腰直角三角形，
，
．
【点评】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（1）如图1，是等边三角形内一点，连接，，，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．
填空：①旋转角为 60 ；
②线段的长是 ；
③ ；
（2）如图2，是内一点，且，．连接，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当，，满足什么条件时，？请说明理由．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，于是可确定旋转角的度数为；
②由旋转的性质得，加上，则可判断为等边三角形，所以；
③由为等边三角形得到，再利用旋转的性质得，然后根据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形，，所以；
（2）根据旋转的性质得，，，则可判断为等腰直角三角形，则，然后根据勾股定理的逆定理，当时，为直角三角形，．
【解答】解：（1）①为等边三角形，
，，
绕点顺时针旋转后得到，
，
旋转角的度数为；
②绕点顺时针旋转后得到，
，
而，
为等边三角形；
；
③为等边三角形，
，
绕点顺时针旋转后得到，
，
在中，，，，
，
，
为直角三角形，，
；
故答案为：60；4；150；
（2）时，，理由如下：
绕点顺时针旋转后得到，
，，，
为等腰直角三角形，
，
当时，为直角三角形，，
，
当、、满足时，．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测

中心对称
中心对称图形
区别
①指两个全等图形之间的相互位置关系．
②对称中心不定．
①指一个图形本身成中心对称．
②对称中心是图形自身或内部的点．
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．
如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称．