（人教A版）选择性必修二高二数学上学期期末训练 导数专题：导数与曲线切线问题的6种常见考法（2份，原卷版+解析版）

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1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
二、公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：
（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；
（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
三、切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点，由已知条件整理出关于的方程，把切线问条数问题转化为关于的方程的实根个数问题。
四、已知切线求参数问题
此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的根的情况或函数性质去求解。
题型一 “在”点求切线问题
【例1】函数在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知函数满足.
（1）求的值；
（2）求的图象在处的切线方程.
【变式1-2】若曲线在点处的切线方程为，则，的值分别为（ ）
A．1，1 B．，1 C．1， D．，
【变式1-3】已知函数的图象在处的切线方程为，则（ ）
A． B． C．0 D．1
题型二 “过”点求切线问题
【例2】（多选）已知曲线，则曲线过点的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【变式2-2】设点是曲线上任意一点，直线过点与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范围为______.
【变式2-3】过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
题型三 切线的条数问题
【例3】若过点只可以作曲线的一条切线，则的取值范围是__________.
【变式3-1】若曲线有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为______.
【变式3-2】已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】已知函数，若过点可以作出三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四 两曲线的公切线问题
【例4】若直线与曲线和均相切，则直线的方程为___.
【变式4-1】已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则________.
【变式4-2】函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．2
【变式4-3】若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数__________.
题型五 切线平行、垂直问题
【例5】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）．
A． B．1 C． D．2
【变式5-1】已知曲线，则与直线垂直的曲线的切线方程为_________．
【变式5-2】若曲线存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是________．
【变式5-3】曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为______．
【变式5-4】若曲线存在与直线平行的切线，则实数的最大值为______.
题型六 与切线有关的最值问题
【例6】若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是_____.
【变式6-2】已知为直线上的一个动点，为曲线上的一个动点，则线段长度的最小值为______.
【变式6-3】点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值是，则实数a的值是__________.