（人教A版）选择性必修二高二数学上学期期末训练 导数专题：利用导数研究函数零点的4种常见考法（2份，原卷版+解析版）

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第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴（或y=k）在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图象；
第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数。
二、利用导数确定函数零点的常用方法
1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；
2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。
三、利用函数的零点求参数范围的方法
1、分离参数（a=g(x)）后，将原问题转化为y=g(x)的值域（最值）问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；
2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；
3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。
四、导函数的零点不可直接求时的应对策略
1、“特值试探法”：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循一下原则：
= 1 \* GB3 ①当含有的函数中，通常选取，特别的，选当时，来试探；
= 2 \* GB3 ②在含有的函数中，通常选取，特别的，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决。
2、“虚设和代换法”：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点的存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：
= 1 \* GB3 ①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；
= 2 \* GB3 ②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解。
题型一 判断或证明零点的个数
【例1】已知函数，则的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】的定义域为，由题意可得，
因为单调递增且当时，当时，
所以存在唯一一点使得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以至多有两个零点，又因为，，所以有2个零点，故选：C
【变式1-1】已知函数，，，则函数的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】当时，，所以不是函数的零点，
因为，所以，所以为偶函数，
当时，，，，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在时取得最大值，
所以当时，有唯一零点，
又函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以在时，还有一个零点，
综上所述：函数的零点个数为.故选：A
【变式1-2】已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若，证明：在上只有一个零点.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）当时，，.
.所求切线方程为，即.
（2）证明：由，变形可得，当时，，
则函数只有一个零点等价于函数只有一个零点，
可得，又由，则，
即在上单调递增，
又，在上只有一个零点，即函数在上只有一个零点.
【变式1-3】已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）证明：函数仅有一个零点.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）函数的定义域为，则，得，
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增；
所以当时，函数取最小值.
（2），
函数的定义域为，且.设，
则.
当时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，（当且仅当时取等号）.
即当时，（当且仅当时取等号）.
所以函数在上单调递增，至多有一个零点.
因为是函数唯一的零点.
所以函数仅有一个零点.
题型二 根据零点情况求参数范围
【例2】已知函数区间内有唯一零点，则不可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，可得，令，可得，
令，恒成立，函数在区间是单调增函数，
所以，所以，在区间是单调增函数，
所以有，函数在区间内有唯一零点，
，则的可能取值为：.故选：D．
【变式2-1】设有三个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，
画出函数的图象，直线过定点，
当时，设过的直线与的切点为,，
由，得，，故切线方程为，
把定点代入得：，即．，即直线的斜率为．则使有三个不同的零点的的取值范围是．故选：D
【变式2-2】已知函数（其中是自然对数的底数）.
（1）求在上的最值；
（2）若函数没有零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）最小值为，最大值为.；（2）
【解析】（1），所以，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因为，，，，
所以，函数在上的最小值为，最大值为.
（2）因为函数没有零点，
所以方程无实数根，即方程没有实数根，
令，则，所以，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，函数在处取得最大值
因为当时，当时，
所以，函数的值域为，所以，当方程没有实数根，，即，
所以，实数的取值范围为.
【变式2-3】已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）函数定义域为，
∵，∴．
①当时，在上恒成立，即函数的单调递减区间为．
②当时，，解得，
当时，，∴函数的单调递增区间为，
当时，，∴函数的单调递减区间为．
综上可知：
①当时，函数的单调递减区间为；
②当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递减，
∴函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，
又函数有两个零点，∴，∴．
又，∴，使得，
又，设，则，
∵，∴，∴函数在上单调递减，
∴，∴，使得，
综上可知，实数的取值范围为
题型三 与隐零点有关的问题
【例3】若在恒成立，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
令，则.
令，设，，
则，
∴在单调递增，故在单调递增，
又，，
∴，，
则单调递减，单调递增，
∴.
∵，
令，两式相加得，
令，则在单调递增，又，∴.
∴，
∴，故.故选：C
【变式3-1】当时，不等式有解，则实数m的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，题设不等式可化为有解，
令，则问题转化为有解，
，
令，则，所以在上单调递增，
又，，故在上存在唯一零点，且，
两边取自然对数得，所以当时，，即，故单调递减；
当时，，即，故单调递增；
所以，
即在上存在使得，即有解，即满足题意，故排除D.
由上述证明可得，即在上恒成立，
令，则，故在上单调递增；
所以当时，，即，故，
即当时，在上恒成立，显然题设不等式无解，矛盾，故排除BC；
当时，，即，故，
又，故，即至少有一解；
综上：，即选项A正确.故选：A.
【变式3-2】已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意，，，，
曲线在点处的切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）若不等式恒成立，则在上恒成立，
因为，所以恒成立，
令，，
令，恒成立，
所以在上单调递增，当趋近于，趋近于负无穷，
当趋近于正无穷，趋近于正无穷，所以存在使得，
所以当时，，；当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又因为，
解得：，即，则，所以，
所以.实数a的取值范围为.
【变式3-3】已知函数．
（1）已知点在函数的图象上，求函数在点P处的切线方程．
（2）当时，求证．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由解得，所以，，
所以，，切线方程为，即所求切线方程为；
（2）证明得定义域为，，
设，则，故是增函数，
当时，，时，，
所以存在，使得①，
且时，，单调递减，时，，单调递增，
故②，由①式得③，
将①③两式代入②式，结合
得：，
当且仅当时取等号，结合②式可知，此时，故恒成立．
【变式3-4】已知函数，
（1）证明：当时，；
（2）时，设，讨论零点的个数
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）当时，令
，令则
当时，，当时，，∴
得在内单调递增，由，
得当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，∴，即
（2），
当时，由，得，∴，
由（1）可得；当时，
令，则
由得，∴在内单调递增
由，
∴，使得，则当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，由得，
，∴，使得，
综上，当时在内无零点；当时在内有一个零点；
题型四 三角函数中的零点问题
【例4】已知．
（1）证明：当时，；
（2）求在上的零点个数．
【答案】（1）证明见解析；（2）个
【解析】（1）证明：因为，则当时，，
令，则，令，其中，
则，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，，故函数在上单调递增，
故当时，，故原不等式得证.
（2），当时，由可得，
接下来求出函数和函数在上图象的交点个数，
当时，，，
即函数和函数在上图象无交点；
当时，，
令，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递减，所以，，
所以，当时，，即函数在上单调递减，
因为，如下图所示：
由图可知，函数和函数在上的交点个数为.
综上所述，函数在上的零点个数为.
【变式4-1】已知
（1）若在处的切线恰好与轴平行，讨论此时的单调性；
（2）当时，判断的零点个数.
【答案】（1）函数在单调递减，在单调递增；（2）答案见解析
【解析】（1）
∵在处的切线恰好与轴平行
∴，
，
∴在单调递增，且
∴当时，；当时.
∴函数在单调递减，在单调递增.
（2）当时，，，，
当时，，
所以在上单调递减，恒成立，所以函数在无零点；
当时，，函数有零点；
当时，令，则在恒成立，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，使得，
即单调递减，又，在上恒成立，
单调递增，
令，，所以函数为增函数，
所以，即，所以，
所以，所以，；
当时，，
所以在上单调递增，恒成立，无零点.
综上，函数有2个零点.
【变式4-2】已知函数，，其中为自然对数的底数，．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：函数有唯一零点；
（3）判断方程实数根的个数．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）一个
【解析】（1）因为，所以.所以，
所以曲线在点处的切线方程.
（2）因为定义域为，
当时，，当时，由所以在单调递增，
又，，且函数图像连续不断
所以，有
综上所述，函数在上有唯一零点.
（3）由（2）可知:在上恒小于零，在恒大于零.
设函数，当时，，
所以，因为，，
所以，即函数在上单调递增.
又因为
所以函数在上存在唯一零点，
即方程在上有唯一零点.当时，.
因为，，所以
所以，
即方程在上无零点.综上所述，方程有且只有一个实根.
【变式4-3】已知函数
（1）若，判断f（x）在（，0）的单调性；
（2）在[0，]上有且只有2个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）在（，0）上单调递增；（2）
【解析】（1）当时，
.
当时，，所以，
又，故，从而，
所以，f（x）在（，0）上单调递增；
（2）由函数，可知，
则f（x）在上有且只有1个零点.
，令，则在[0.]上恒成立.
即在[0，]上单调递，
当时，，f（x）在[0.]上单调递增.
则f（x）在（0，]上无零点，不合题意，舍去，
当时，，在[0，]上单调递减，
则在（0，]上无零点，不合题意，舍去，
当时，则在（0，）上只有1个零点，设为.
且当时，；当时，
所以当时，在（0，）上单调递减，在（x0，）上单调递增，
又，因此只需即可，即
综上所述：