（人教A版）选择性必修二高二数学上学期期末训练 数列专题：利用递推关系求通项公式的8种常用方法（2份，原卷版+解析版）

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1、利用求通项时，要注意检验n=1时的情况。
已知求的三个步骤：
（1）先利用求出.
（2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，
如果符合，则可以把数列的通项公式合写；
如果不符合，则应该分与两段来写．
2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个：
将和转化为项,即利用将和转化为项.
（2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式．
二、累加法求通项
1、适用于：an+1=an+f(n)…………这是广义的等差数列
2、若an+1−an=f(n)
则an−an−1=f(n−1)；an−1−an−2=f(n−2)……，a3−a2=f2，a2−a1=f1
两边分别相加得：an−a1=f1+f2+⋯+f(n−1)
三、累乘法求通项
1、适用于：an+1=f(n)an…………这是广义的等比数列
2、若an+1an=fn，
则anan−1=fn−1，an−1an−2=fn−2，……，a3a2=f2，a2a2=f1，
两边分别相乘得：ana1=f1∙f(2)∙f(3)⋯f(n−1)
四、构造法求通项
对于不满足an+1=an+fn，an+1=anf(n)，形式的数列常采用构造法，对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解，常用方法如下：
1、形如an+1=can+d(c≠0,a1=a)型
= 1 \* GB3 ①若c=1时，数列an为等差数列；
= 2 \* GB3 ②若d=0时，数列an为等比数列；
= 3 \* GB3 ③若c≠1，d≠0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。
（1）待定系数法：设an+1+λ=c(an+λ)，得an+1=can+(c−1)λ，
与题设an+1=can+d比较系数得：c−1λ=d，所以λ=dc−1(c≠1)
所以有：an+1+dc−1=c(an+dc−1)
因此数列an+dc−1构成以a1+dc−1为首项，以c为公比的等比数列。
（2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系an+1=can+d中把n换成n−1
有an=can−1+d，两式相减有：an+1−an=c(an−an−1)，从而化为公比为c的等比数列an+1−an，进而求得通项公式an+1−an=cn(a2−a1)，
再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。
2、形如：an+1=pan+qn（其中q是常数，且n≠0,1）
= 1 \* GB3 ①若p=1时，即：an+1=an+qn累加即可。
= 2 \* GB3 ②若p≠1时，即：an+1=pan+qn求通项方法有以下三种方法：
（1）两边同除以pn+1.目的是把所求数列构造成等差数列，即：an+1pn+1=anpn+1p∙(qp)n，
令bn=anpn，则bn+1−bn=1p∙(qp)n，然后累加法求通项。
（2）两边除以qn+1.目的是把所求数列构造成等比数列，即：an+1qn+1=pq∙anqn+1q，
令bn=anqn，则可化为bn+1=pqbn+1q，然后待定系数法求通项即可。
（3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设an+1+λ∙qn+1=p(an+λ∙qn)，通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项。
注意：应用待定系数法时，要求p≠q，否则待定系数法会失效。
3、形如an+1=pan+kn+b（其中k，b是常数，且k≠0）
（1）逐项相减法（阶差法）
（2）待定系数法 通过配凑可转化为an+xn+y=p(an−1+xn−1+y)
解题基本步骤：
= 1 \* GB3 ①确定fn=kn+b
= 2 \* GB3 ②设等比数列bn=(an+xn+y)，公比为p
= 3 \* GB3 ③列出关系式an+xn+y=p(an−1+xn−1+y)，即bn=pbn−1
= 4 \* GB3 ④比较系数求x，y
= 5 \* GB3 ⑤解得数列an+xn+y的通项公式，并得出数列an的通项公式。
五、不动点法求通项
1、定义：方程的根称为函数的不动点．
利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．
2、在数列中，已知，且时，（是常数），
（1）当时，数列为等差数列；
（2）当时，数列为常数数列；
（3）当时，数列为等比数列；
（4）当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：；
3、形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）．
（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）；
（2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）．
(其中、可利用，求得)
4、设，满足递推关系，初值条件．
令 ，即 ，令此方程的两个根为，
(1)若,则有 （其中）
(2)若,则有 （其中）
5、设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,
题型一 Sn与an型求通项
【例1】已知数列的前项和，满足关系（，），求的通项公式．
【变式1-1】数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知为数列的前项和，且，则的值为___________.
【变式1-3】已知数列满足，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】设数列的前项和为，若，，则的通项公式为____．
题型二 累加型求通项
【例2】在数列中，，，则（ ）
A．958 B．967 C．977 D．997
【变式2-1】已知数列满足，，，求通项公式．
【变式2-2】已知数列满足，，则________．
【变式2-3】已知数列满足，则（ ）
A． B．2525 C． D．2526
【变式2-4】在数列中，已知，，.若，求数列的通项公式.
题型三 累乘型求通项
【例3】已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】若数列满足，则（ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
【变式3-2】已知数列满足，则___________．
【变式3-3】设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_________
【变式3-4】在正项数列中，，，.则的通项______.
题型四 常数型构造求通项
【例4】已知数列中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】在数列中，，且，则的通项为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】数列满足且，则此数列第5项是（ ）
A．15 B．255 C．16 D．63
【变式4-3】已知数列的前n项和为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】已知数列，，则（ ）
A． B． C． D．
题型五 n阶型构造同除求通项
【例5】数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________．
【变式5-1】若是数列的前n项和，已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】在数列中，，，则的值为( )
A． B． C． D．无法确定
【变式5-4】已知在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型六 分式型取倒数求通项
【例6】已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】已知数列满足：，，则( )
A． B． C． D．
【变式6-2】已知数列的前n项之和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】数列满足，．
（1）求，，的值；
（2）求数列的通项公式；
题型七 相邻三项型构造求通项
【例7】已知数列满足：，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知数列的前n项和为，且，，则__________．
【变式7-2】已知数列中，，，，求（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】已知数列满足，且，则的通项公式_________.
题型八 不动点法求通项
【例8】已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
【变式8-1】已知，，求的通项公式.
【变式8-2】已知数列中，，求的通项.
【变式8-3】两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________.