（人教A版）选择性必修二高二数学上学期期末训练 数列专题：数列综合运用大题（2份，原卷版+解析版）

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问题：设数列的前项和为，已知， .
（1）求数列的通项公式；
（2）的最小值并指明相应的的值．
【答案】（1）；（2）=5或者6时，取到最小值.
【解析】（1）因为,
所以，即是公差为2的等差数列，
选择条件①：因为，所以，则，
解得，所以；
选择条件②：因为，所以，解得，
所以；
选择条件③：因为，，成等比数列，
所以，即，解得，
所以；
（2）由（1）可知，，
所以，
因为，所以当或者6时，取到最小值，即
2．已知数列的前项和为，___________，.在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
①；②；③
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，是数列的前项和，若对任意的，，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）选择①，由知，当时，，
由，得，即，
当时，，解得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故.
选择②，由知，当时，
由，得，
在中，令，则，满足上式，
所以，即.
选择③，由知，当时，
由，得，
在中，令，则，满足上式，所以.
（2）由（1）知，，所以，
所以数列的前项和为，
对于任意的，，所以，即.
设所以恒成立，
即，所以单调递减，
所以，于是有，
故实数的取值范围为.
3．从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，___________.
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，是否存在正整数使得.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）若选择①，因为，所以，
两式相减得，整理得,
即，所以为常数列，而，所以；
若选择②，因为，所以，
两式相减，
得，
因为，
所以是等差数列，所以；
若选择③，由变形得，，
所以，
由题意知，所以，所以为等差数列，
又，所以，
又时，也满足上式，所以；
（2）若选择①或②，，
所以
所以，
两式相减得
，
则，故要使得，即，整理得，，
当时，，所以不存在，使得.
若选择③，依题意，，
所以，
故，
两式相减得：
，则，令，则，
即，令，则，
当时，，
又，故，
综上，使得成立的最小正整数的值为5.
4．①为等差数列，且；②为等比数列，且.从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在数列中，，________.
（1）求的通项公式；
（2）已知的前n项和为，试问是否存在正整数p，q，r，使得？若存在，求p，q，r的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，，，﹒
【解析】（1）若选①：设等差数列的公差为d，则，
∴，即．
若选②：设等比数列的公比为q，则，
∴，即；
（2），，
则两式相减得，，
∴．∵，
∴存在正整数p，q，r，使得，且，，．
5．已知数列，其中前项和为，且满足，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式及其前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2），，．
【解析】（1）证明：由题意，两边同时加3，
可得，
，
数列是以8为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可得，则，，
故
．
6．已知数列为等比数列，，，，.
（1）求数列､的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设数列的公比为，则，所以，
所以，所以；
（2），所以
.
7．已知数列的前项和为，满足，是以为首项且公差不为0的等差数列，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由，取可得，又，
所以，则.
当时，由条件可得，两式相减可得，，又，
所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，
因为，设等差数列的公差为，
则，由成等比数列，
所以，又，所以解得，故，
（2），
，
.
相减得，
所以，所以
所以.
8．已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
因为成等比数列，所以，解得或（舍去）.
故.
（2）由（1）可得，故
9．已知数列的前项和为，，常数，且对一切正整数都成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，当为何值时，数列的前项和最大？
【答案】（1）；（2）6.
【解析】（1）取，得，，，则，
当时，，，
上述两个式子相减得：，所以数列是等比数列,
当，则.
（2）当，且时，令，所以，
所以，单调递减的等差数列（公差为）
则
当时，故数列的前6项的和最大.
10．已知为等差数列的前项和，若，．
（1）求；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）＝；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为d，则，解得 ，
故；
（2）因为，
所以，
故.
11．已知数列中，，（，），数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求；
（3）求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3），，理由见解析
【解析】（1）证明：，
又，∴数列是为首项，1为公差的等差数列．
∴.
（2）由，得，即时，；时，，
∴
.
（3）由，得
又函数在和上均是单调递减．
由函数的图象，可得：，.
12．表示等差数列的前项的和，且，.
（1）求数列的通项及；
（2）求和
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，由可得，
因为，解得，所以，，
.
（2），
当且时，；
当且时，.
综上所述，.
13．已知等差数列的前n项和为，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，由，可得，即；
又因为，取，所以，即；
故可得．故的通项公式为.
（2）由，当时，，
上述两式作差可得，又满足上式，综上；
所以．
当n为偶数时….
∴．
当n为奇数时，
∴．故．
14．已知数列是首项为4的单调递增数列，满足
（1）求证：；
（2）设数列满足，数列前㑔和，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：由题意得，，
即，即，
∵数列是首项为4的单调递增数列，，∴
（2）由（1）得，即，即，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，故，
则，
∴
15．在数列中，，当时，其前n项和满足．
（1）求证：是等差数列；
（2）设，求的前n项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵当时，，
，即：
，又
数列是以为首项，为公差的等差数列
（2）由（1）知：
∴
16．设数列的前n项和为，且满足．
（1）求；
（2）设求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，，
当时，因为，所以，得，
所以数列为首项为3，公比为3的等比数列，得；
（2），
当n为偶数时，
，
当n为奇数时，
，
所以
17．已知数列满足.
（1）证明：数列为等比数列.
（2）已知，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：当时，，则.
因为，①
所以，②
由②①得，
化简可得，，
所以数列是一个公比为的等比数列.
（2）由（1）可知，化简可得.
.
所以.
18．设等差数列的前n项和为，且，，
（1）求数列的通项公式：
（2）若数列满足，，求数列的前n项和为．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由，，
则，解得，所以；
（2）因为，
当时，即，当时，
所以，即，
当时也成立，所以，
所以，，
所以
，
所以.
19．等差数列中，分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.
（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式.
（2）记（1）中您选择的的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得成等比数列?若存在，请求出k的值;若不存在，请说明理由.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）由题意可知，有两种组合满足条件.
①，此时等差数列中，，公差d=4，
所以数列的通项公式为
②，此时等差数列中，，公差d=2，
所以数列的通项公式为.
（2）若选择①，，则.
若成等比数列，则，
即，整理得，即
此方程无正整数解，故不存在正整数，使成等比数列.
若选择②，，则.
若成等比数列，则，
即，整理得，因为k为正整数，所以 .
故存在正整数 ，使得成等比数列.
20．已知数列是公差不为的等差数列，且数列是等比数列，其中，，.
（1）求；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知可得，则，
，所以，，则，
所以，，，则数列的公比为，
所以，，所以，，
所以，.
（2），
则，
因此，
.
21．数列满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1），；（2）或
【解析】（1）当，，①
，，②
①－②得（*）
在①中令，得，也满足（*），所以，，
（2）由（1）知，，
故，
于是，因为随n的增大而增大，
所以，解得或
所以实数m的取值范围是或.
22．已知数列的前n项和为，且.
（1）求的通项公式.
（2）令，，为数列的前n项和，求.
（3）记.是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【解析】（1）当时，有，解得
当时，由，得，
两式相减得，整理得，
所以是首项为1，公比为3的等比数列，故；
（2）因为，所以，，
所以
；
（3）因为，所以，
由，得，即，
进一步化简得.
当n为奇数时，恒成立，因为是增函数，所以；
当n为偶数时，恒成立，同理，所以
故且，即存在实数，使得对任意的，恒有.
23．已知数列中，，（），为数列的前n项和.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）在，之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析.
【解析】（1）当时，，
所以；
又，所以对，有，
故数列是1为首项3为公比的等比数列，通项公式为.
（2）由（1）知，…①
…②
①−②得：，
∴.
（3）在数列不存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
理由如下：
由已知得
假设在数列中存在，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，
则，即，化简得，
又因为m，k，p成等差数列，所以，
故上式可以化简为，
则，与已知矛盾.
故在数列中不存在3项，,,（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
24．已知数列的前n项和为，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）数列的前n项和为，，，
当时，，则，
而当时，，即得，
因此，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，则，
所以数列的通项公式是：
（2）由（1）知，，对任意恒成立
设，则，
当，，单调递减，当，，单调递增，
显然有，则当时， 取得最大值，即最大值是，
因此，，所以实数k的取值范围是
25．已知数列满足，.
（1）证明：数列为等差数列.
（2）设数列的前项和为，求，并求满足的的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为数列满足，，
所以，
因为，所以所以，数列为等差数列，公差为，首项为.
（2）由（1）知，所以，
所以，，
，
所以，
，
所以，，所以，解得，.
所以，满足的的最大值为
26．已知数列中，，当时，，记．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得，
所以，即．
当时，
．当时，也符合．
综上，．
（2）证明：由（1）得，当时；
当时，，
故当时，
．综上，．
27．已知等比数列的各项均为正数，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）设等比数列的公比为，
因为，，可得，
即，解得或（舍去），
所以数列的通项公式为.
（2）由，可得
因为与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
可得，所以，所以，
设数列的前项和为，
可得，
则，
两式相减
，所以，
因为，所以，所以，即.
28．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为q，且.
（1）求与；
（2）证明：.
【答案】（1），；（2）证明见解析
【解析】（1）设数列的公差为d，
因为，所以，解得或（舍），故，.
（2）因为，所以.
故，
因为，所以，所以，
所以，即.
29．设等比数列的公比为q，前n项和为，，.
（1）求；
（2）若，证明：.
【答案】（1）或；（2）证明见解析.
【解析】（1）据题意知：
，解得或，所以或.
（2）由（1）有：因为，所以，记，
则 ① ②
所以得，
∴，因为，所以，所以.
30．已知数列满足a1＝3，a2＝5，且，n∈N*．
（1）设bn＝an＋1－an，求证：数列是等比数列；
（2）若数列{an}满足（n∈N*），求实数m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为，所以．即，
又因为，所以，则，
所以，数列是等比数列
（2）由（1）数列是首项为2公比为的等比数列，则．
所以，
则．经检验时也符合，则．
又因为，所以．第一列
第二列
第三列
第一行
5
8
2
第二行
4
3
12
第三行
16
6
9