通关练27 利用导数解决曲线的切线问题-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

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一、单选题
1．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程.
【详解】函数的定义域为，其导函数，
所以，
所以曲线在点处的切线的斜率为1，又，
故曲线在点处的切线方程为.
故选：D.
2．（2023秋·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期末）函数在点处切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求导，再求出，再利用点斜式可得切线方程.
【详解】由已知，
，
函数在点处切线方程为，
即.
故选：C.
3．（2023秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）如图，已知函数f(x)的图像在点处的切线为l，则（ ）
A．-3B．-2C．2D．1
【答案】D
【分析】数形结合，求出切线斜率和切点坐标，即可计算.
【详解】由图像可得，切线过点和，切线斜率为，，
切线方程为，则切点坐标为，有，
所以.
故选：D.
4．（2023秋·江苏南京·高二校考期末）若曲线在点处的切线方程为，则，的值分别为（ ）
A．1，1B．，1C．1，D．，
【答案】A
【分析】利用切点处的导数等于切线斜率，结合切点在切线上可得.
【详解】解：因为，所以
曲线在点处的切线的斜率为1，
，
又切点在切线上，
．
故选：A．
5．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用导数的几何意义判断.
【详解】由函数图象知：，
所以，
故选：C
6．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）若函数在处的切线方程为，则的值是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】由导数的几何意义列出方程求解即可.
【详解】，
由切线斜率为4，得，整理得①，
由切线经过，得，整理得②，
联立①②解得，故.
故选：A.
7．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知为奇函数，当x＜0时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．－2B．2C．－eD．
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可.
【详解】当时，因为为奇函数，
所以有，则有，所以有，
故选：B
8．（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义设切点坐标，求解切线方程为，代入点，得到关于的含参方程，孤立参数，构造函数利用导数确定函数的取值情况，满足方程的根又两个，从而可得实数的取值范围.
【详解】解：设切点是，，即，而
故切线斜率，切线方程是，
又因为切线经过点，故，显然，
则，在上有两个交点，
令，设，则，令得，，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又，，且时，，时，，时，，时，，
所以有两个交点，则或，故实数的取值范围是.
故选：C.
9．（2023秋·广东广州·高二统考期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.
【详解】设与直线平行的直线的方程为，
∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，
设切点， ，所以，
，，，
点，直线的方程为，
两点间距离的最小值为平行线和间的距离，
两点间距离的最小值为.
故选：.
10．（2023秋·福建南平·高二统考期末）已知函数的最小值为－1，过点的直线中有且只有两条与函数的图象相切，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先利用导数求出函数的最小值，结合题意可得，设过点的直线与函数的图象相切的切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过点建立方程，再结合过点的直线有两条与函数的图象相切可得，解之即可求解.
【详解】因为，则，
令可得．
当时，，是增函数．
当时，，是减函数．
所以当时，有最小值，所以，
设过点的直线与函数的图象相切的切点为，
则切线方程为，
又切线过点，
所以，
即，
即．
过点的直线有两条与函数的图象相切，
则，即，
解得：或．
故选：.
二、多选题
11．（2023秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知曲线，则曲线过点的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】设出切点坐标，对函数求导求出切线斜率，利用点斜式方程写出切线，将代入，解方程计算出切点坐标，进而得出切线方程．
【详解】设切点坐标为，
，切线斜率为
切线方程为
曲线过点，代入得
可化简为，即，解得或
则曲线过点的切线方程为或
故选：BD
12．（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）设为实数，则直线能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】分别求得各个函数的导数，若有解，则直线能作为该函数图象的切线，若无解，则不满足题意，即可得答案.
【详解】对于A：，故无论x取何值，不可能等于2，故A错误；
对于B：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；
对于C：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；
对于D：，故无论x取何值，不可能等于2，故D错误；
故选：BC
13．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数B．在处的切线方程为
C．在上的最小值为D．在区间上单调递增
【答案】AC
【分析】利用函数奇偶性定义可判断A；利用导数求出切线斜率，再求出，由直线的点斜式方程可判断B；利用导数求出在上的最小值可判断C；利用导数可判断的单调性可判断D.
【详解】函数的定义域为，
对于A，因为，所以是奇函数，故A正确；
对于B，，，，所以在处的切线方程为，故B错误；
对于C，当时，由得，单调递增，由得，单调递减，又，，所以在上的最小值为，故C正确；
对于D，，因为，所以，
当时，，单调递减，
当，，单调递增，故D错误.
故选：AC.
14．（2023秋·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）过下列哪些点恰可以作函数的两条切线（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由，所以，设切点为，则，结合导数的几何意义分别求解即可.
【详解】由，所以，
设切点为，则.
对于A，因为，所以在函数上，
当为切点时，有一条切线；
当不为切点时，由，
即，
设，则，
令，则或；令，则，
所以函数在 和上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以函数只有一个零点，故只有一个解，
综上所述，过恰可做函数的两条切线，故A正确；
对于B，由，
即，
设，则，
令，则或；令，则，
所以函数在 和上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以函数有3个零点，故有3个解，
所以恰可做函数的三条切线，故B不正确；
对于C，由，
即，解得或，
所以过恰可做函数的两条切线，故C正确；
对于D，由，
即，
设，则，
令，则或；令，则，
所以函数在 和上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以函数有1个零点，故有1个解，
所以恰可做函数的一条切线，故D不正确；
故选：AC.
三、填空题
15．（2023秋·湖南张家界·高二统考期末）设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】根据切点处切线的斜率与导数之间的关系求解.
【详解】令，即解得，所以点的坐标为，
所以由点斜式得，即.
故答案为: .
16．（2023秋·山西阳泉·高二统考期末）已知函数的图象在点处的切线方程是，则______.
【答案】
【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解.
【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得，
因此，.
故答案为：.
17．（2023秋·云南·高二云南师大附中校考期末）过原点且与相切的直线方程是__________.
【答案】
【分析】设切点为，利用导数的几何意义列方程组求出，即可取出切线方程.
【详解】设切点为，且，
由题意可得：，解得：
过原点且与相切的直线方程是.
故答案为：
18．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）函数在其图象上的点处的切线方程为________．
【答案】
【分析】对求导，求出，再由点斜式方程即可得出答案.
【详解】，，又切点为，
切线斜率，即切线方程为，
即．
故答案为：.
19．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是__________．
【答案】
【分析】首先根据题意得到，根据导数切线的几何意义得到，即可得到答案.
【详解】因为，，
，
所以.
所以，解得或.
故答案为：
20．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）曲线在处的切线方程为__________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，先求导得，代入，求得切线斜率，再利用时，结合直线方程即可得解.
【详解】首先求导可得，
所以曲线在处的切线斜率，
又可得，
所以曲线在处的切线为，
即.
故答案为：
21．（2023秋·山西太原·高二统考期末）曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【分析】求出函数的导数及在处的导数值，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
【详解】依题意，，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：
22．（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）曲线在点处的切线方程为____________.
【答案】
【分析】再结合导数的几何意义 切线斜率，代入切线方程公式即可．
【详解】因为，
所以，
所以．
故切线方程为．
故答案为：．
23．（2023秋·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______．
【答案】或
【分析】根据导数的几何意义可求出结果.
【详解】设切点为，
因为，所以，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过，所以，解得或，
所以切线方程为或.
故答案为：或
24．（2023秋·浙江舟山·高二统考期末）已知函数，则过点与曲线相切的直线有___________条.
【答案】2
【分析】先判断不在曲线上，求函数的导数，设切点为，根据导数的几何意义得出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，将点代入切线方程求出进而可以求出切线方程，得出结论．
【详解】曲线方程为，点不在曲线上，
设切点为，则点的坐标满足，
由，得，
由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为，
故切线的方程为，
因为点在切线上，所以
联立得，解得或，
故所求切线方程为或，
则过点与曲线相切的直线有2条.
故答案为：2.
四、解答题
25．（2023秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知函数.
(1)若在处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，求a；
(2)当a＝1时，求函数的极值.
【答案】(1)
(2)极小值1，无极大值
【分析】（1）根据导数的几何意义，，求；
（2）利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值.
【详解】（1），
由导数的几何意义可知，，即，得.
（2）当时，，
，，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，无极大值.
26．（2023秋·陕西·高二校联考期末）已知函数满足.
(1)求的值；
(2)求的图象在处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导得出，令可得出的值；
（2）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】（1）解：因为，则，
所以，，解得.
（2）解：由（1）可知，则，则，，
因此，的图象在处的切线方程为，即.
27．（2023秋·云南·高二云南师大附中校考期末）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)在恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在处的切线方程；
（2）二次求导后，对a分类讨论，分别研究单调性，求最值进行验证.
【详解】（1）当时，，
所以.
故在处的切线方程为.
（2）由题意知，令，
当时，对任意，则，
所以在单调递减，所以，满足题意；
当时，在上恒成立，所以在单调递减，则，
①当，即时，，所以在单调递减，
所以，满足题意；
②且时，即时，由零点存在性定理知，，使得.
当时，，所以在单调递增，所以，不满足题意；
③当时，即时，对任意单调递增，所以，不满足题意.
综上，的取值范围为.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）利用导数解决恒（能）成立问题．
28．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知函数满足.
(1)求在处的导数；
(2)求的图象在点处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，再令即可得出答案；
（2）由（1）求得，再根据导数的几何意义即可得出答案.
【详解】（1）由，
得，
则，
所以；
（2）由（1）得，
则，
所以的图象在点处的切线方程为，
即.
29．（2023秋·浙江舟山·高二统考期末）已知函数.
(1)求在点处的切线方程；
(2)求在上的最值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）求导，得出切线的斜率，确定切点的纵坐标，写出切线方程；
（2）研究函数在区间上单调性，计算在上的极值及和，然后比较可得最值．
【详解】（1），.
，所以切线方程为，即.
（2）
在单调递增；
在单调递减，
时，取极大值也是最大值，
，
.
30．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函数．
(1)若曲线经过点，求该曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上是增函数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求得，利用切点和斜率求得切线方程.
（2）由在区间恒成立分离常数，结合三角函数的最值求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，，
，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2），
，
依题意可知在区间恒成立，
即，
，
所以.
31．（2023秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设为实数，已知函数
(1)讨论的单调性
(2)若过点有且只有两条直线与曲线相切，求的值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间；
（2）设切点为，利用导数写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出，结合（2）中的结论以及三次函数的基本性质可得出关于的等式，解之即可.
【详解】（1）因为，则，
由可得，，
①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，
此时，函数的增区间为，无减区间；
②当时，即当时，由可得，由可得或，
此时，函数的减区间为，增区间为、；
③当时，即当时，由可得，由可得或，
此时，函数的减区间为，增区间为、.
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
（2）解：设切点为，
对函数求导得，
所以，切线方程为，
将点的坐标代入切线方程整理可得，即，
故关于的方程有两个不等的实根，
①当时，函数在上单调递增，则方程至多一个实根，不合乎题意；
②当时，则，故当时，，
此时方程至多一个实根，不合乎题意；
③当时，则，
则，解得，合乎题意.
综上所述，.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.