（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练专题06 复数的综合运用（2份，原卷版+解析版）

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一、基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
二、基本性质
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
【典型例题】
例1．复数满足，则的范围为（ ）
A．B．C．D．
例2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
例3．欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，.得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
例4．已知复数z满足，且，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
例5．已知复数，当时，不等式恒成立，则实数t的最大值是（ ）
A．B．C．D．
例6．（多选）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面内对应的点在第一象限
B．
C．的虚部是
D．的实部是1
例7．（多选）下列有关复数的叙述正确的是（ ）
A．若，则B．若，则的虚部为
C．若，则不可能为纯虚数 ．D．若，则 ．
例8．已知，关于x的一元二次方程的一个根z是纯虚数，则________．
例9．已知复数，则复数___________.
例10．已知复数满足，求的最小值______．
例11．设.
(1)证明：；
(2)在复数范围内，利用公式解方程.
例12．已知复数是虚数单位.
(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值.
【过关测试】
一、单选题
1．设，则复数（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则是纯虚数
D．若且，则且
3．复数在复平面内对应向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．已知复数是纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．0D．1
5．已知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．的共轭复数对应的点在第三象限
C．的实部为1D．的共轭复数的模为1
6．任何一个复数（其中a、，为虚数单位）都可以表示成三角形式，其中．法国数学家棣莫佛发现：
，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当，时，
C．
D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
7．设，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，，，则（ ）
A．1B．C．2D．
二、多选题
9．已知复数，，是的共轭复数，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则，且
C．若是实数，则D．若，则
10．已知a，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部是B．
C．D．z对应的点在第二象限
11．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点在复平面上的坐标为B．
C．的最大值为D．的最小值为1
12．已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．若，则
三、填空题
13．在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，则的值为_________.
14．若复数满足，则=_________
15．复数、满足，，则______．
16．已知是实系数方程在复数集内的一个根，则___________．
17．已知复数，满足，，则的最小值为______．
18．在复平面内，若复数z满足，则z在复平面内对应点满足的方程为______．
四、解答题
19．已知复数使得，，其中是虚数单位．
(1)求复数的模；
(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
20．已知复数（，是虚数单位）.
(1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；
(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.
21．已知复数z满足，为虚数单位.
(1)求复数z；
(2)若复数z，在复平面内对应的点为A，B，O为坐标原点，求OAB的面积.
22．设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限.
(1)若复数为纯虚数，求实数m的值；
(2)若，且是关于x的方程的一个复数根，求.
23．已知复数，，其中a是正实数．
(1)若，求实数a的值；
(2)若是纯虚数，求a的值．
24．已知复数满足，为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)设z，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
25．已知复数，i为虚数单位.
(1)求和；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.