初中人教版（2024）一元二次方程课后复习题

这是一份初中人教版（2024）一元二次方程课后复习题，共20页。

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\l "_Tc10327" 【题型1 识别一元二次方程】 PAGEREF _Tc10327 \h 2
\l "_Tc30265" 【题型2 根据一元二次方程的定义求值】 PAGEREF _Tc30265 \h 2
\l "_Tc22835" 【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】 PAGEREF _Tc22835 \h 3
\l "_Tc19031" 【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】 PAGEREF _Tc19031 \h 3
\l "_Tc26851" 【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】 PAGEREF _Tc26851 \h 3
\l "_Tc14021" 【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】 PAGEREF _Tc14021 \h 4
\l "_Tc4672" 【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】 PAGEREF _Tc4672 \h 4
\l "_Tc11099" 【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 PAGEREF _Tc11099 \h 5
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.
例如：1x2+x=2，x2+1，x2+y−3=0，x3−3x+8=0，(x−1)(x−2)=x2−1均不是一元二次方程.
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
2.（1）a≠0是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得ax2+c=0(a≠0)；
（2)当c=0时，得ax2+bx=0(a≠0)；
（3)当b=0且c=0时,得ax2=0(a≠0).
知识点3 一元二次方程的解（根）
1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：ax12+bx1+c=0(a≠0)，ax22+bx2+c=0(a≠0).
【题型1 识别一元二次方程】
【例1】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）下列四个方程①x2﹣9=0；②（2x+1）（2x﹣1）=0；③x2=0；④x2−2x+1=1中，不是一元二次方程的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式1-1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+1x2=0B．ax2+bx+c=0
C．x2+x−2=0D．3x−2xy+5y2=0
【变式1-2】（24-25八年级下·广西梧州·期中）下列各式中，不是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+1=0B．x−2y−3=0 C．2x2=0D．y2−3y+4=0
【变式1-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是一元二次方程的有（ ）
①3x2−x=0；②ax2+bx+c=0；③3x+1x=0；④2x2−1=(x−1)(x−2)；⑤(5x−2)(3x−7)=15x2
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型2 根据一元二次方程的定义求值】
【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程m+1x4m−2+27mx+5=0是一元二次方程，则m= ．
【变式2-1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若方程ax2−x+5=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A．a≠0B．a>3C．a=0D．a≥0
【变式2-2】（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）若方程a+1x3a2−1=0是关于x的一元二次方程，则a= ．
【变式2-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程m−1x2−2x+m2−1=0有一个解是0，则m=
【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】
【例3】（24-25九年级上·河南商丘·期中）方程3x+1x−1=5整理成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数与一次项系数的比值是 ．
【变式3-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的一元二次方程3x2−5x+2=0的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．3,−5,−2B．3,−5x,2C．3,5x,−2D．3,−5,2
【变式3-2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）方程x2+4x−1=x+5化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．1和3B．1和−6C．3和−6D．3和4
【变式3-3】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）写出一个二次项系数为1，一次项系数为−3，常数项为−4的一元二次方程是 ．（用一般形式表示）
【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】
【例4】（24-25八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程mx2+mx=3x+12中不含x的一次项，则此方程的解为 ．
【变式4-1】（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）关于x的一元二次方程m−1x2+5x+m2−1=0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．±1
【变式4-2】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于x的一元二次方程3x2+x−2=ax(x−2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为−2 ，则该方程中的一次项系数为 ．
【变式4-3】（24-25九年级上·四川广元·期中）若关于的一元二次方程2x2−m+1x=xx+1化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为−1，则m的值为 ．
【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】
【例5】（24-25八年级下·吉林·阶段练习）若x=4是关于x的方程ax2−bx=8的解，则2025−8a+2b的值为 ．
【变式5-1】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知a是方程x2+3x−1=0的一个根，则a+4a−1的值为（ ）
A．1B．3C．−3D．−5
【变式5-2】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若m是方程x2−3x−1=0的一个根，则−2m2+6m+19的值为 ．
【变式5-3】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知m是方程x2+x−1=0的一个根，则代数式(m+1)2+(m+1)(m−1)的值为 ．
【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】
【例6】（2025·重庆·一模）已知m为方程x2+x−3=0的一个根，则代数式m3+2m2−2m+6的值为 ．
【变式6-1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如果a是一元二次方程x2=3x−2的根，则代数式a2−3a+2024的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【变式6-2】（24-25八年级下·重庆·期末）若a是方程x2+x−4=0的一个根，则a3+2a2−3a+7的值为
【变式6-3】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程x2−x−11=0的一个根，则a2−112a3−3a2+11的值等于 ．
【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】
【例7】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某公司今年一月的营业额为200万元，按计划第一季度的总营业额要达到950万元，求该公司二、三两个月营业额的月平均增长率．设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．2001+1+x+1+x2=950B．2001＋x2=950
C．2001+x+1+x2=950D．9501+x2=200
【变式7-1】（24-25八年级下·上海崇明·期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ．
【变式7-2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为40m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是整个矩形空地面积的38，则此时通道的宽为 ．
【变式7-3】（24-25八年级下·重庆北碚·期中）哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价x灵石，则列出方程为（ ）
A．50−x80+x2×10=4000B．50−x−3080+x2×10=4000
C．50−x−3080+10x=4000D．50−2x−3080+10x=4000
【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】
【例8】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0ac≠0有一根为x=2024，则关于y的一元二次方程cy2+by+a=0ac≠0必有一根为（ ）
A．2024B．−2024C．12024D．−12024
【变式8-1】（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）若关于x的方程x+ℎ2+k=0（h，k均为常数）的解是x1=−3，x2=2，则关于x的方程x+ℎ−32+k=0的解是 ．
【变式8-2】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0a≠0有一根为x=2022，则一元二次方程ax+12+bx+b=−2必有根为（ ）．
A．2023B．2020C．2021D．2022
【变式8-3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2025，则一元二次方程ax−12+bx+2=b必有一根为（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
专题21.1 一元二次方程（举一反三讲义）
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10327" 【题型1 识别一元二次方程】 PAGEREF _Tc10327 \h 2
\l "_Tc30265" 【题型2 根据一元二次方程的定义求值】 PAGEREF _Tc30265 \h 4
\l "_Tc22835" 【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】 PAGEREF _Tc22835 \h 5
\l "_Tc19031" 【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】 PAGEREF _Tc19031 \h 6
\l "_Tc26851" 【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】 PAGEREF _Tc26851 \h 8
\l "_Tc14021" 【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】 PAGEREF _Tc14021 \h 9
\l "_Tc4672" 【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】 PAGEREF _Tc4672 \h 11
\l "_Tc11099" 【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 PAGEREF _Tc11099 \h 13
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.
例如：1x2+x=2，x2+1，x2+y−3=0，x3−3x+8=0，(x−1)(x−2)=x2−1均不是一元二次方程.
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
2.（1）a≠0是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得ax2+c=0(a≠0)；
（2)当c=0时，得ax2+bx=0(a≠0)；
（3)当b=0且c=0时,得ax2=0(a≠0).
知识点3 一元二次方程的解（根）
1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：ax12+bx1+c=0(a≠0)，ax22+bx2+c=0(a≠0).
【题型1 识别一元二次方程】
【例1】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）下列四个方程①x2﹣9=0；②（2x+1）（2x﹣1）=0；③x2=0；④x2−2x+1=1中，不是一元二次方程的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【详解】试题分析：根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：①x2﹣9=0是一元二次方程；
②（2x+1）（2x﹣1）=0是一元二次方程；
③x2=0是一元二次方程；
④x2−2x+1=1不是一元二次方程；
故选D．
【变式1-1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+1x2=0B．ax2+bx+c=0
C．x2+x−2=0D．3x−2xy+5y2=0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】解：A．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意；
B．a=0时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故该选项符合题意；
D．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】（24-25八年级下·广西梧州·期中）下列各式中，不是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+1=0B．x−2y−3=0 C．2x2=0D．y2−3y+4=0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A．2x2+1=0是一元二次方程，故选项不符合题意；
B．x−2y−3=0是二元一次方程，故选项符合题意；
C．2x2=0是一元二次方程，故选项不符合题意；
D．y2−3y+4=0是一元二次方程，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【变式1-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是一元二次方程的有（ ）
①3x2−x=0；②ax2+bx+c=0；③3x+1x=0；④2x2−1=(x−1)(x−2)；⑤(5x−2)(3x−7)=15x2
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答．
【详解】解：①3x2−x=0是一元二次方程；
②ax2+bx+c=0，当a=0,b≠0时是一元一次方程，不是一元二次方程；
③3x+1x=0是分式方程，不是一元二次方程；
④2x2−1=(x−1)(x−2)，整理得：x2+3x−3=0是一元二次方程；
⑤(5x−2)(3x−7)=15x2，整理得：−41x+14=0是一元一次方程，不是一元二次方程；
则共有2个，
故选：B．
【题型2 根据一元二次方程的定义求值】
【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程m+1x4m−2+27mx+5=0是一元二次方程，则m= ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出m+1≠0且4m−2=2，再求出答案即可．
【详解】解：∵关于x的方程m+1x4m−2+27mx+5=0是一元二次方程，
∴m+1≠0且4m−2=2，
解得：m=1，
故答案为：1．
【变式2-1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若方程ax2−x+5=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A．a≠0B．a>3C．a=0D．a≥0
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为ax2+bx+c=0a≠0．
【详解】解：方程ax2−x+5=0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0，
故选：A．
【变式2-2】（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）若方程a+1x3a2−1=0是关于x的一元二次方程，则a= ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得3a2−1=2且a+1≠0，解之即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵方程a+1x3a2−1=0是关于x的一元二次方程，
∴3a2−1=2且a+1≠0，
∴a=1，
故答案为：1．
【变式2-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程m−1x2−2x+m2−1=0有一个解是0，则m=
【答案】−1
【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，正确求出m的值是关键，注意二次项系数不为0；
把x=0代入原方程可得关于m的方程，解方程即可得解，注意m−1≠0.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程m−1x2−2x+m2−1=0有一个解是0，
∴m2−1=0且m−1≠0，
解得：m=−1；
故答案为：−1.
【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】
【例3】（24-25九年级上·河南商丘·期中）方程3x+1x−1=5整理成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数与一次项系数的比值是 ．
【答案】−32
【分析】根据一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0a≠0，其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数解答即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0a≠0及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：由3x+1x−1=5，
得3x2−2x−6=0，
∴二次项系数为3，一次项系数为−2，
二次项系数与一次项系数的比值是−32．
故答案为：−32．
【变式3-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的一元二次方程3x2−5x+2=0的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．3,−5,−2B．3,−5x,2C．3,5x,−2D．3,−5,2
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关键．
根据一元二次方程的概念及一般式“ax2+bx+c=0a≠0”判定即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程3x2−5x+2=0的二次项系数，一次项系数和常数项分别为3,−5,2，
故选：D ．
【变式3-2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）方程x2+4x−1=x+5化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．1和3B．1和−6C．3和−6D．3和4
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据ax2+bx+c=0a≠0进行判定即可求解．
【详解】解：根据题意，x2+4x−1=x+5移项整理得，x2+3x−6=0，
∴一次项系数和常数项分别为3和−6．
故选：C ．
【变式3-3】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）写出一个二次项系数为1，一次项系数为−3，常数项为−4的一元二次方程是 ．（用一般形式表示）
【答案】x2−3x−4=0
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0a≠0，其中二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，进行作答即可．
【详解】解：由题意，可得方程为：x2−3x−4=0；
故答案为：x2−3x−4=0．
【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】
【例4】（24-25八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程mx2+mx=3x+12中不含x的一次项，则此方程的解为 ．
【答案】x1=2,x2=−2
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数，解方程即可．
【详解】解：∵一元二次方程mx2+mx=3x+12中不含x的一次项，
即mx2+m−3x=12不含x的一次项，
∴m−3=0，
∴m=3，
∴原方程为3x2=12，
解得：x1=2,x2=−2，
故答案为：x1=2,x2=−2．
【变式4-1】（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）关于x的一元二次方程m−1x2+5x+m2−1=0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．±1
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：由题意得：m2−1=0m−1≠0 ，
解得m=−1，
故选：B．
【变式4-2】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于x的一元二次方程3x2+x−2=ax(x−2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为−2 ，则该方程中的一次项系数为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得3−ax2+1+2ax−2=0，然后根据题意可得3−a=1，从而可得：a=2，再把a的值代入1+2a中，进行计算即可解答．
【详解】解：3x2+x−2=ax(x−2)，
3x2+x−2=ax2−2ax，
3x2−ax2+x+2ax−2=0，
3−ax2+1+2ax−2=0，
由题意得：3−a=1，
解得：a=2，
∴该方程中的一次项系数=1+2a=1+2×2=5，
故答案为：5．
【变式4-3】（24-25九年级上·四川广元·期中）若关于的一元二次方程2x2−m+1x=xx+1化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为−1，则m的值为 ．
【答案】−1
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程化成一般式，再根据题意解答即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
【详解】解：2x2−m+1x=xx+1，
2x2−m+1x−xx+1=0，
2x2−m+1x−x2−x=0，
x2−m+2x=0，
∵化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为−1，
∴−m+2=−1，
∴m=−1，
故答案为：−1．
【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】
【例5】（24-25八年级下·吉林·阶段练习）若x=4是关于x的方程ax2−bx=8的解，则2025−8a+2b的值为 ．
【答案】2021
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把x=4代入ax2−bx=8得到8a−2b=4，再整体代入求值．
【详解】解：∵x=4是关于x的方程ax2−bx=8的解，
∴16a−4b=8，
∴8a−2b=4，
∴2025−8a+2b=2025−8a−2b=2025−4=2021，
故答案为：2021．
【变式5-1】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知a是方程x2+3x−1=0的一个根，则a+4a−1的值为（ ）
A．1B．3C．−3D．−5
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据a是方程x2+3x−1=0的一个根，可得出a2+3a=1，再化简代数式，整体代入即可求解．
【详解】解：∵a是方程x2+3x−1=0的一个根，
∴a2+3a=1
∴a+4a−1=a2+4a−a−4=a2+3a−4=1−4=−3
故选：C．
【变式5-2】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若m是方程x2−3x−1=0的一个根，则−2m2+6m+19的值为 ．
【答案】17
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
根据一元二次方程根的定义可得m2−3m−1=0，即m2−3m=1，整体代入代数式即可求解．
【详解】解：∵m是方程x2−3x−1=0的一个根，
∴m2−3m−1=0，即m2−3m=1，
∴−2m2+6m+19
=−2m2−3m+19
=−2+19=17．
故答案为：17．
【变式5-3】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知m是方程x2+x−1=0的一个根，则代数式(m+1)2+(m+1)(m−1)的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程的根、完全平方和公式、平方差公式等知识，先由一元二次方程根的定义得到m2+m=1，再由整式混合运算化简代数式得到2m2+m，将m2+m=1代入求值即可得到答案，熟练掌握整式化简求值是解决问题的关键．
【详解】解：∵ m是方程x2+x−1=0的一个根，
∴ m2+m−1=0，则m2+m=1，
∴ (m+1)2+(m+1)(m−1)
=m2+2m+1+m2−1
=2m2+2m
=2m2+m
=2，
故答案为：2．
【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】
【例6】（2025·重庆·一模）已知m为方程x2+x−3=0的一个根，则代数式m3+2m2−2m+6的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得m2+m=3，再将m2+m=3代入m2m+2−2m−3变形后的式子进行化简求值即可．
【详解】解：根据题意得：m2+m=3，
∵ m3+2m2−2m+6
=m3+m2+m2−2m+6
=mm2+m+m2−2m+6
=3m+m2−2m+6
=m2+m+6
=3+6
=9．
故答案为：9．
【变式6-1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如果a是一元二次方程x2=3x−2的根，则代数式a2−3a+2024的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入法求代数式的值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据一元二次方程的解的意义可得a2=3a−2，从而可得a2−3a=−2，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：∵a是一元二次方程x2=3x−2的根，
∴a2=3a−2，
∴a2−3a=−2，
∴a2−3a+2024=−2+2024=2022，
故选：B．
【变式6-2】（24-25八年级下·重庆·期末）若a是方程x2+x−4=0的一个根，则a3+2a2−3a+7的值为
【答案】11
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解的定义把x=a代入方程得到a2+a−4=0，然后根据等式的性质易得a2+a=4，代入原式即可解答．
【详解】解：∵a是方程x2+x−4=0的一个根，
∴a2+a−4=0，
∴a2+a=4，
∴a3+2a2−3a+7
=aa2+a+a2−3a+7
=4a+a2−3a+7
=a2+a+7
=4+7
=11，
故答案为：11．
【变式6-3】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程x2−x−11=0的一个根，则a2−112a3−3a2+11的值等于 ．
【答案】121
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到a2−a−11=0，进而得到a2−a=11，a2−11=a，再把所求式子转化为a2aa2−a−a2−11，据此整体代入求解即可．
【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程x2−x−11=0的一个根，
∴a2−a−11=0，
∴a2−a=11，a2−11=a，
∴a2−112a3−3a2+11
=a2a3−2a2−a2−11
=a2aa2−a−a2−11
=a22a−a
=121，
故答案为：121．
【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】
【例7】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某公司今年一月的营业额为200万元，按计划第一季度的总营业额要达到950万元，求该公司二、三两个月营业额的月平均增长率．设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．2001+1+x+1+x2=950B．2001＋x2=950
C．2001+x+1+x2=950D．9501+x2=200
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为x，则二月份公司的营业额为2001+x万元，三月份公司的营业额为2001+x2万元，根据第一季度的总营业额包括一月、二月、三月的营业额总和，可列方程2001+1+x+1+x2=950．
【详解】解：设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为x，
则二月份公司的营业额为2001+x万元，
三月份公司的营业额为2001+x2万元，
∵第一季度的总营业额要达到950万元，
∴200+2001+x+2001+x2=950，
即2001+1+x+1+x2=950．
故选：A．
【变式7-1】（24-25八年级下·上海崇明·期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ．
【答案】xx−1=870
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设参加联欢会的同学有x人，则每人送出x−1件礼物，根据共送礼物870件可列出方程．
【详解】解：设参加联欢会的同学有x人，则每人送出x−1件礼物，
由题意得，xx−1=870．
故答案为：xx−1=870．
【变式7-2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为40m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是整个矩形空地面积的38，则此时通道的宽为 ．
【答案】5m
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，
先设通道的宽为xm，再根据花圃面积所占整个矩形空地面积的(1−38)列出方程，求出解即可.
【详解】解：设通道的宽为xm，根据题意，得
(60−2x)(40−2x)=60×40×(1−38)，
解得x1=5,x2=45（舍去），
所以通道的宽为5m.
故答案为：5m.
【变式7-3】（24-25八年级下·重庆北碚·期中）哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价x灵石，则列出方程为（ ）
A．50−x80+x2×10=4000B．50−x−3080+x2×10=4000
C．50−x−3080+10x=4000D．50−2x−3080+10x=4000
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设降价x灵石，则每个迷你风火轮的利润为50−x−30元，销售量为80+x2×10个，再根据总利润为4000灵石列出方程即可．
【详解】解：由题意得，50−x−3080+x2×10=4000，
故选：B．
【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】
【例8】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0ac≠0有一根为x=2024，则关于y的一元二次方程cy2+by+a=0ac≠0必有一根为（ ）
A．2024B．−2024C．12024D．−12024
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型．
因为x=2024满足方程ax2+bx+c=0，所以20242a+2024b+c=0，两边同时除以20242即可确定所求方程的一个根．
【详解】解：把x=2024代入一元二次方程ax2+bx+c=0，得20242a+2024b+c=0，
两边除以20242，得a+12024b+120242c=0，
∴120242c+12024b+a=0，
∴12024是一元二次方程cy2+by+a=0ac≠0的一根，
故选：C．
【变式8-1】（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）若关于x的方程x+ℎ2+k=0（h，k均为常数）的解是x1=−3，x2=2，则关于x的方程x+ℎ−32+k=0的解是 ．
【答案】x=0或x=5
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程x+ℎ−32+k=0中的x−3看做一个整体，根据方程x+ℎ2+k=0的解的情况建立方程求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程x+ℎ2+k=0（h，k均为常数）的解是x1=−3，x2=2，
∴关于x的方程x+ℎ−32+k=0的解满足x−3=−3或x−3=2，
解得x=0或x=5，
故答案为：x=0或x=5．
【变式8-2】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0a≠0有一根为x=2022，则一元二次方程ax+12+bx+b=−2必有根为（ ）．
A．2023B．2020C．2021D．2022
【答案】C
【分析】把ax+12+bx+b=−2整理为ax+12+bx+1+2=0，即可进行解答．
【详解】解：把ax+12+bx+b=−2整理为ax+12+bx+1+2=0，
令x+1=A，
则aA2+bA+2=0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0a≠0有一根为x=2022，
∴A=2022，
∴x+1=2022，解得：x=2021，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式8-3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2025，则一元二次方程ax−12+bx+2=b必有一根为（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2025，则把方程ax−12+bx−1+2=0看作关于x−1的一元二次方程时有x−1=2025，解得x=2026，于是可判断一元二次方程ax−12+bx−1+2=0必有一根为x=2026．
【详解】解：∵ax−12+bx+2=b，
∴ax−12+bx−1+2=0；
∵x=2025是ax2+bx+2=0(a≠0)的一个根，
∴x−1=2025也是ax−12+bx−1+2=0的一个根，
即x=2025+1=2026，
故选：C．