人教版（2024）九年级上册解一元二次方程综合训练题

这是一份人教版（2024）九年级上册解一元二次方程综合训练题，共31页。

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\l "_Tc16821" 【题型1 直接开平方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc16821 \h 1
\l "_Tc25655" 【题型2 配方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc25655 \h 4
\l "_Tc32673" 【题型3 根的判别式】 PAGEREF _Tc32673 \h 5
\l "_Tc27077" 【题型4 公式法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc27077 \h 5
\l "_Tc26275" 【题型5 因式分解法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc26275 \h 6
\l "_Tc11478" 【题型6 换元法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc11478 \h 7
\l "_Tc6090" 【题型7 含绝对值的一元二次方程的解法】 PAGEREF _Tc6090 \h 8
\l "_Tc636" 【题型8 配方法】 PAGEREF _Tc636 \h 8
知识点1 直接开平方法解一元二次方程
1. 非负数a的算术平方根为a，平方根为±a．
例如：144的算术平方根为144=12，平方根为±144=±12．
2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．
例如x2=25，解得x=±5．
一般地，对于方程x2=p．
3. 直接降次解一元二次方程的步骤
(1)将方程化为x2=p或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；
（2)直接开平方化为两个一元一次方程；
（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点2 配方法解一元二次方程
1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为(x+a)2=b的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)
归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根．
3. 解题依据：(a±b)2=a2±2ab+b2，把公式中的a看作未知数x，并用x代替，则(x±b)2=x2±2bx+b2．
知识点3 一元二次方程根的判别式
1. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，通过配方可得(x+b2a)2=b2−4ac4a2，则方程根的情况由b2−4ac 的符号决定．
一般地，式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，即∆=b2−4ac．
2. 根的判别式∆的符号与一元二次方程根的情况
（1）∆>0⟺一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）∆=0⟺一元二次方程有两个相等的实数根；
（3）∆22=4，
即a2+5a+2b>4对所有a>0成立．
故选：C．
【变式8-3】（2025·山东淄博·一模）已知x为实数，设d=x2+6x+25−x2−2x+5，则d的最大值是（ ）
A．22B．25C．5D．6
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、两点之间的距离，掌握在平面直角坐标系中求出两点间的距离的公式是解题的关键，先理解题意，运用配方法把被开方数变形，再根据三角形的三边关系进行分析，以及两点间的距离公式列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，x2+6x+25=x2+6x+16+9=x+32+42，
上式表示Ax,0与B−3,4之间的距离，
x2−2x+5=x2−2x+1+4=x−12+22，
上式表示Ax,0与C1,2之间的距离，
由勾股定理得BC=−3−12+4−22=25，
结合三角形三边关系得d的最大值是点B和点C的距离，即d的最大值=25，
故选：B．p>0
方程有两个不等的实数根x1=p，x2=−p
p=0
方程有两个相等的实数根x1=x2=0
p0
方程有两个不相等的实数根x=−b±b2−4ac2a
∆=0
方程有两个相等的实数根x1=x2=−b2a
∆