2025-2026学年四川省绵阳市安州区九年级上学期9月月考数学试题

这是一份2025-2026学年四川省绵阳市安州区九年级上学期9月月考数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．−2，−3，−5B．2，−3，−5C．2，−5，3D．−2，−3，5
4．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．B．C．5D．7
5．若a，b为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．4B．5C．D．
6．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
7．一元二次方程的解为（ ）
A．B．
C．，D．，
8．某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．我国森林面积逐年地加，年森林覆盖面积为亿公顷，年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m＞﹣C．m＞D．m＜﹣
11．若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．无法判定
12．对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
①当时， 方程一定没有实数根
②当时，方程一定有实数根
③当时， 方程一定没有实数根
④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
二、填空题
13．已知方程是关于的一元二次方程，则的值是 ．
14．已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 ．
15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
16．已知关于x的方程的两根分别为，，则的值为 ．
17．已知实数， 满足等式，，则的值是 ．
18．如图，在一块长8m、宽6m的矩形空地上，修建一横一纵共两条等宽的道路，剩余部分栽种花草，要使栽种花草的面积为，则修建的道路的宽应为 m.

三、解答题
19．选择适当的方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
20．解方程：
(1)；
(2)．
21．若，是方程的两个实数根，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
22．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售150个，3月份销售216个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少？
23．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个根均为整数，求正整数的值．
24．关于x的一元二次方程，
(1)证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．
25．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．
(1)当长度是多少时，矩形花园的面积为；
(2)能否围成矩形花园面积为，为什么？
《四川省绵阳市安州区2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题》参考答案
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一分析选项即可．
【详解】解：A．方程中，若，则二次项消失，不一定是二次方程，排除；
B．方程含有两个未知数和，属于二元方程，排除；
C．方程含有分式，不是整式方程，排除；
D．方程展开后为，满足整式、仅含且最高次数为2，符合定义；
故选：D．
3．B
【分析】将方程转化为一般形式，找到二次项系数、一次项系数、常数项即可．
【详解】解：，
整理得：，
所以二次项系数为：2，一次项系数为：，常数项为：；
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的一般形式，是解题的关键．
4．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤．先根据一元二次方程解的定义，把代入关于的一元二次方程得关于的方程，解方程即可．
【详解】解：把代入关于的一元二次方程得：
，
，
故选：C
5．A
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，熟悉，是解题的关键．根据方程的根的定义以及一元二次方程的根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，
∴
，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程（），则有−⇔方程有两实根，−⇔方程有两不等实根，−⇔方程有两相等实根，−⇔方程没有实根．也考查了一元二次方程的定义．解题关键是掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式可得且，解之得出的范围．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
是二次项系数不能为，，
即且．
故选：D．
7．D
【分析】此题考查了解一元二次方程——直接开平方法，根据直接开平方法进行解方程即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．
【详解】解：
，
∴，，
故选：．
8．A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可．
【详解】解：由题意，可列方程为：；
故选A．
9．A
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设森林覆盖面积年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】设森林覆盖面积年平均增长率为，
依题意得：，
故选：．
10．C
【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，即可得△＜0，继而求得答案．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＜0，
解得：m＞．
故选C．
【点睛】此题考查了根的判别式．注意△＜0⇔方程没有实数根．
11．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，坐标平面内点的坐标特征，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，
∴方程的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
12．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可．
【详解】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
②∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴方程一定有实数根，原说法正确；
③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
④∵，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，原说法错误；
故选：B．
13．1
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程，根据定义求解即可．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：．
故答案为：1．
14．/
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．设方程的一个根为，则是方程的一个根，得到①，②，利用加减消元法即可求解．
【详解】解：设方程的一个根为，则是方程的一个根，
∴①，，即②，
得，
解得或，
当时，代入①，得，不符合题意，舍去；
当时，代入①，得，
得；
综上，；
故答案为：．
15．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
化为一般式为：，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
16．6
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：方程的两根分别为、，
，．
．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了一元二次方的根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，．
17．
【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
【详解】解：∵实数， 满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．
18．1
【分析】设修建的道路的宽应为，通过平移可得栽种花草的部分可拼成一个长为宽为的长方形，由此列一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设修建的道路的宽应为，
由题意得，
整理，得，
解得，，
当时，，不合题意，舍去；
故修建的道路的宽应为．
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，平移的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴，
解得，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）把看做整体，再运用因式分解法进行解方程，即可作答．
（2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
则，
解得；
（2）解：∵，
∴，
则，
，
解得．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，属于中考常考题型．
（1）先求出，再把展开，再代入求值即可；
（2）先通分，再利用完全平方公式配方得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】（1）解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
22．(1)
(2)45元
【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为元，根据题意列出方程计算求解即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为．依题意，
得：，
解得：（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设该品牌头盔的实际售价为元．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元．
23．(1)见解析
(2)正整数或
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程，记住一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
（1）利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况即可；
（2）首先利用因式分解法求出方程的两个解，然后根据题意求解即可．
【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程．
∴，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
或
∴或，
∵方程的两个根均为整数，
∴是整数，
∴或，
则正整数或.
24．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出的值．
【详解】（1）解：证明：关于的一元二次方程，
，
△
，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得：，，
，
，即．
解得．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
25．(1)米
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙最长可利用，即可确定结论；
（2）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园．
【详解】（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
（2）不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
C
A
D
D
A
A
C
题号
11
12








答案
B
B