2025-2026学年广东省广州市荔湾区真光中学九年级上册第一次月考数学模拟试卷

这是一份2025-2026学年广东省广州市荔湾区真光中学九年级上册第一次月考数学模拟试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次函数图像开口方向向下的是（ ）
A．B．C．D．
3．关于函数的图象与性质说法正确的是（ ）
A．顶点坐标在第二象限B．图象关于轴对称
C．当时，随的增大而增大D．函数值的最小值为2
4．抛物线过，，三点，，，大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
7．关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
8．若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则：的值是（ ）
A．－2B．1C．7D．10
9．光伏发电是世界新能源重要产业之一，中国光伏发电产业占据全球的产能．据统计，从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦，其中2021年光伏发电并网容量为355万千瓦．若设从2021年到2023年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有2个．其中正确的结论为（ ）
A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④
二、填空题
11．已知函数，若y是x的二次函数，则a的取值范围是 ．
12．若关于的一元二次方程有一个根为1，则 ．
13．已知二次函数的表达式为，则该二次函数的对称轴为 ．
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
15．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
16．月日晚时，南昌以天空为幕，以烟花为笔，举办了一场盛大的“风景这边独好”——南昌市国庆烟花晚会，热烈庆祝伟大祖国岁生日．其中，一种新型礼炮的升空高与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为 ．
三、解答题
17．用合适的方法解一元二次方程
(1)；
(2)
(3)
18．如图，已知二次函数的图象经过点，．
(1)求该函数的解析式．
(2)利用图象直接写出，当取什么值时，函数值大于：______．
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
20．已知二次函数．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
(2)根据图象回答：当时，的取值范围是______；
(3)设，，过点与轴垂直的直线l与抛物线交于点，．其中，与直线交于点，若，直接写出t的取值范围______．
21．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
(2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由．
22．如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
根据上述数据，求y关于x的函数表达式．
(2)在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题．
信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为，从到达最高点B开始计，则她到水面的距离与时间之间满足．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？
23．如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标．
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．
24．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是_______．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；

（3）对于上面的函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是_____．
（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是____．
25．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点．
(1)求，两点的坐标．
(2)求该二次函数的解析式．
(3)若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
…
0
1
2
3
…
…
0
3
…
每件售价/元
日销售量/件
水平距离
3
3.5
4
4.5
竖直高度
10
11.25
10
6.25
《广东省广州市荔湾区真光中学2025-2026学年九年级上册第一次月考数学模拟试卷》参考答案
1．A
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为，系数不为的整式方程，即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、最高次数是，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质．
利用二次函数的图像和性质，二次项系数小于0，开口方向向下，逐项进行判断即可．
【详解】解：A.该选项，二次函数图像开口方向向上，不符合题意；
B. 该选项，二次函数图像开口方向向上，不符合题意；
C. 该选项，二次函数图像开口方向向上，不符合题意；
D. 该选项，二次函数图像开口方向向下，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式的性质直接判断每个选项即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，在第一象限，对称轴直线为，故选项A、B错误；
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值为，且当时，y随x增大而增大，故选项C正确，选项D错误．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的性质，牢记“当时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大；当时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，函数值越小”是解题的关键．利用二次函数的性质，结合各点到对称轴的距离，即可得出结论．
【详解】解：，，
抛物线的对称轴为直线，开口向下，
离对称轴越远的点，函数值越小．
又，
，
．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程求解作答即可．
【详解】解：，
，
，
∴．
故选：A．
6．B
【分析】此题考查抛物线的平移：上加下减，左加右减，根据平移规律解题即可．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况．
先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况．
【详解】解：，
，，，
，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，先求出根的和与积，再代入所求表达式计算即可．
【详解】解∶∵一元二次方程的两个不相等的实数根为，，
∴，．
∴，
故选∶D．
9．D
【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的运用，理解数量关系正确列式是关键．
从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦，2021年光伏发电并网容量为355万千瓦，设从2021年到2023年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，由此列式即可求解．
【详解】解：2021年光伏发电并网容量为355万千瓦，增长率为，从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦，
∴，
故选：D ．
10．B
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，故①正确；
当时，，
∵时，抛物线在x轴上方，
∴，
将代入得，故②正确；
∵，
当 时，，即 ；
当 时，抛物线在最低点（顶点），且，故，即 ．
∴，故③错误；
方程 的根是抛物线与直线的交点横坐标．
∵抛物线对称轴为，
∴抛物线与x轴的交点范围，可能的整数横坐标为 0，1，2，
情况1：当交点为和时，满足；
情况2：当交点为，此时直线经过抛物线的顶点，满足；
∴若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有2个，故④正确．
故选：B．
11．
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，利用是二次函数得出关于a的不等式是解题关键．根据函数是二次函数，得求解即可．
【详解】已知函数，
若y是x的二次函数，
则，
解得，
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了一元二次方程的根，把根代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可求出答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1，
∴，
解得；
故答案为：．
13．直线
【分析】根据二次函数对称轴的公式，直接代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴该二次函数的对称轴为直线，
故答案为：直线．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴为直线．
14．且
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得，且，
故答案为：且．
15．15
【详解】解：，
解得x1=3，x2=6，
当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15．
故答案是：15．
16．/4秒
【分析】把二次函数写成顶点式，顶点为礼炮点火升空到最高点处的位置，则顶点的横坐标即为所求．
【详解】∵，
∵ ，
∴当时，函数有最大值，为，
∴.这种礼炮点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）运用因式分解法求解可得；
（2）运用公式法求解可得；
（3）运用直接开平方法求解可得
【详解】（1），
移项，得：，
因式分解，得：，
或，
，；
（2），
，，，
，
，
，．
（3）
，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．(1)；
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数与轴交点问题、利用二次函数图象解不等式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可得解；
（2）令，求出二次函数图象与x轴的交点，再根据图象直接可得解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象分别经过点，．
∴，
解得
函数的解析式；
（2）解：令，则，
解得，，
∴该二次函数图象与x轴的交点为，，
由图象可得当或时，，
故答案为：或．
19．(1)证明见解析；
(2)或．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明恒成立即可；
（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
20．(1)，，；函数图象见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确画出函数图象，是解题的关键．
（1）将的值代入解析式，求出值，填表，进而画出函数图象即可；
（2）图象法进行求解即可；
（3）图象法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
时，；时，，时，，
描点、连线、绘制函数图象如下：
故答案为：，，；
（2）解：观察函数图象知，当时，y的取值范围是，
故答案为：；
（3）解：根据图象，当直线在点A和B之间时满足，
∴t的取值范围为，
故答案为：．
21．(1)；
(2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；
（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：
依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
22．(1)
(2)运动员甲不能成功完成此动作
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
（1）待定系数法求出解析式，即可；
（2）先求出，再求出时的h值，进行判断即可．
【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，，
∴，
∴设函数表达式为，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：3.5，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∵，
即运动员甲在水面上无法完成此动作，
∴运动员甲不能成功完成此动作．
23．(1)
(2)
【分析】（1）分别令，代入计算求解；
（2）设平移后的抛物线为，平移后抛物线经过D点，将代入解析式，求出即可．
【详解】（1）解：当时，，即，
当时，，解得
∴．
（2）解：四边形ABCD是平行四边形，，
．
设平移后的抛物线为，则，解得，
平移后抛物线的解析式为．
【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24．（1）x为任意实数；（2）见解析；（3）①③；（4）
【分析】（1）根据函数解析式可以写出x的取值范围；
（2）根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y轴对称，从而可以画出函数的完整图象；
（3）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；
（4）根据函数图象，可以写出关于x的方程x2-4|x|+3=k有4个不相等的实数根时，k的取值范围．
【详解】解：（1）∵函数y=x2-4|x|+3，
∴x的取值范围为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）由函数y=x2-4|x|+3可知，x＞0和x＜0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如右图所示；

（3）由图象可得，
函数图象关于y轴对称，故①正确；
函数有最小值，但没有最大值，故②错误；
当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜-2时，y随x的增大而减小，故③正确；
函数图象与x轴有4个公共点，故④错误；
故答案为：①③；
（4）由图象可得，
关于x的方程x2-4|x|+3=k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是-1＜k＜3，
故答案为：-1＜k＜3．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．(1)，
(2)
(3)存在，，，使是以为腰的等腰三角形
【分析】（1）令直线的x=0，y=0，求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标；
（2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式；
（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标．
【详解】（1）解：对直线，当时，，时，，
，．
（2）解：设二次函数为，
二次函数图象经过，，
，
把点代入得：
，
解得：，
．
（3）解：二次函数图象经过，，
对称轴为，
，
，
，
如图，当时，
，
，，
如图，当时，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是用一般式或者两点式结合待定系数法求解，求点P的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到P点，注意这里只要用“两圆”即可．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
C
A
B
A
D
D
B