2025-2026学年四川省绵阳市游仙区富乐实验中学九年级上学期入学考试数学试题

这是一份2025-2026学年四川省绵阳市游仙区富乐实验中学九年级上学期入学考试数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．某中学举办智力问答比赛，九年级参赛的35名同学的成绩整理后，如统计图所示，这些成绩的众数是（ ）
A．5B．10C．15D．20
3．下列各图中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OB＝OD，OA＝OCB．AD∥BC，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB∥CD，AB=CD
5．如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．如图是一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为，那么满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．小马在解关于x的一元二次方程时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．有一个根是
8．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．
9．已知和是方程的两个解，则的值为（ ）
A．2020B．2024C．2026D．2028
10．如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ）
A．2B．2.5C．D．4
11．如图，在长方形中，是对角线，将长方形绕点B顺时针旋转到长方形的位置，H是的中点，若，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
12．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④若且，则；⑤方程的两实数根为，，且，则，．其中正确的结论个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．计算：
14．某超市对员工进行三项测试：电脑操作，销售术语，商品知识，并将三项测试按的比例计算测试总分，若某员工三项测试得分分别是，，，则他的总分为 ．
15．如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为 ．
16．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
17．若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则
18．如图，在菱形中，，，点，分别在和上，且，则的最小值为 ．
三、解答题
19．用指定方法解下列方程：
(1)；（配方法）
(2)；（公式法）
20．某校在进行数学测试后，从两个班级中各随机抽取了名学生分成两队，整理成绩、描述和分析如下，成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．．
甲队的成绩是：，，，，，，，，，．
乙队成绩在组中的数据是：，，．
甲、乙两队的成绩统计表
乙队成绩扇形统计图
某校在七、八年级举行了“生物多样性保护”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述、、的值； ， ， ；
(2)学校欲选派成绩更稳定的队伍参加数学竞赛，学校应选派哪一个队？请说明理由；
21．如图，菱形中，为对角线，点E、F是直线上的不同的两个点，且．
(1)试判断四边形的形状，并加以证明；
(2)若，菱形的边长为5，，试求菱形的面积．
22．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚．
(1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
(2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
23．已知正方形的边长为2，顶点A，C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是的中点，是线段上一动点(C点除外)，直线交的延长线于点D．
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；
(2)当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．
24．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标；
(3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
队伍
平均数
中位数
众数
方差
甲队
乙队
《四川省绵阳富乐实验中学2025--2026学年上学期九年级入学数学试卷》参考答案
1．B
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点为进行解答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B
2．B
【分析】本题考查了众数，解题的关键是根据众数的定义进行解答．
根据一组数据中，出现次数最多的数据叫众数进行解答．
【详解】解：因为10分出现了12次，出现的次数最多，
所以众数为10，
故选：B．
3．B
【分析】在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以B正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查了函数的定义，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：x的取值范围内做垂直x轴的直线与函数图象只会有一个交点．
4．B
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：选项A，由OB＝OD，OA＝OC知对角线互相平分，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项B，由AD∥BC，AB＝CD知一组对边平行，另一组对边相等，这样的四边形有可能是等腰梯形，不可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项C，由AB∥CD，AD∥BC知两组对边分别平行，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项D，由AB∥CD，AB=CD知一组对边平行且相等，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：B．
【点睛】本题考查平行四边形的判定方法，需要熟练掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
5．C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵如图，直线与直线交于点，
∴不等式的解集是．
故选：C．
6．B
【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（40-2x），宽为（28-2x），然后根据底面积是364cm2即可列出方程．
【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．
7．C
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，相反数的定义，根据题意得有两个相等的实数根得出，进而求出c的值，代入原方程，再利用根的判别式即可求出答案．
【详解】解：根据题意得：有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴原方程为，
此时，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根的情况来确定根的判别式且，通过解不等式来求k的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴且，
解得且，
故选：B．
9．D
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值．先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可．
【详解】解：∵a和b是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
，
故选：D．
10．A
【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点P运动到点时，的面积最大是解题的关键．
【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，
的面积先增大，再减小，
当点P运动到点时，的面积最大，
根据函数图象可得此时的面积为，
如图，
，点D为边的中点，等腰直角三角形,
，
可得，
当点P运动到的中点时，如图，
，点D为边的中点，
，
故选：A．
11．B
【分析】本题考查了旋转的性质、中位线定理以及勾股定理等知识点，作，可知为的中位线，分别求出即可求解.
【详解】解：作，如图所示：
则，
∵H是的中点，
∴为的中点，
由题意得：，
∴，
∴
∴
故选：B
12．C
【分析】由该抛物线经过点即可判断结论①；由各点到抛物线对称轴的距离大小即可判断结论②；由当时函数值取最大值，即可判断结论③；由对称轴为直线，即可判断结论④；由抛物线的对称轴可得该抛物线与轴的交点坐标，即可判断结论⑤．
【详解】解：如下图，
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为
∴当时，可有，故结论①正确；
∵，
∴该二次函数的图象开口向下，
∴函数图象上的点距离对称轴越远，函数值越小，
∵对称轴为，
∵，，，
又∵，
∴，故结论②错误；
∵该函数图像的对称轴，
∴，
∵，即，
∴，
∵该二次函数的图象开口向下，
∴当时，该函数取最大值，
∴为任意实数，可有，
即，故结论③正确；
∵若且，
即有，
∵函数图象的对称轴为，
∴，即，故结论④错误；
∵方程的两实数根为，，
∴抛物线与直线的交点的横坐标为，，
由抛物线的对称性可知该抛物线与轴的另一交点为，
即该抛物线与轴的交点为，，
∵该抛物线开口向下，，
∴，，故结论⑤正确．
综上所述，结论正确的有①③⑤，共计3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程和不等式的关系、利用不等式求自变量或函数值的范围等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
13．
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了加权平均数的计算，运用加权平均数的计算公式求解，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
【详解】解：他的总分为：，
故答案为：．
15．1
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，先由勾股定理求出，再由三角形中位线定理得到，由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵D、E分别为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．1
【详解】解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得（30-2x）（20-x）=532，
整理，得x2-35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米，
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据图形列出方程是解题关键．
17．或
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系得，，再代入得，然后解方程并检验即可，解题的关键是熟悉：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
∴
∴，整理得：，
解得：或，
当时，原方程为，有实数根，符合题意；
当时，原方程为，有实数根，符合题意；
故答案为：或．
18．
【分析】过点作，且使，连接，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，推导出是等腰直角三角形，即可求的长．本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，通过构造三角形全等将线段进行转化是解题的关键．
【详解】解：过点作，且使，连接，
≌，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可；
（2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
所以 ．
（2）解：，
，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
20．(1)，，
(2)学校应选派甲队，理由见解析
【分析】本题考查了平均数，中位数，方差及众数的意义，平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，众数是出现次数最多的数据．
（1）根据乙队组的百分数求，根据中位数和众数的定义求和即可；
（2）根据平均数和方差的意义解答即可．
【详解】（1）解：∵乙队组占的百分比为，
∴，
；
甲队名学生的成绩，从小到大排列为，，，，，，，，，，第和位置的数是和，
中位数；
甲队名学生成绩中，分出现的次数最多，
众数；
故答案为：，，；
（2）解：学校应选派甲队，理由如下：
∵甲队的方差为，
∵两队的平均数相同，但甲队的方差小于乙队的方差，
∴这次竞赛中甲队的成绩更稳定；
∴学校应选派甲队．
21．(1)四边形是菱形，理由见详解
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识，
（1）连接，交于点O，结合菱形的性质和可得，问题随之得证；
（2）根据，，可得，结合，可得，再利用勾股定理可得，问题随之得解．
【详解】（1）四边形是菱形，理由如下：
连接，交于点O，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴四边形是菱形；
（2）如图，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，菱形的边长为5，
∴，
∴，
∴菱形的面积: ．
22．(1)该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为；
(2)当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．
（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据2月份到4月份销售量从256变成400建立方程求解即可；
（2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，根据总利润为8400元建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去）．
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，
根据题意，得，
整理得，
解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）．
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
23．(1)
(2)或
【分析】（1）由已知条件可证明，分别表示出的长度，进而表示出D的坐标；
（2）分两类情况讨论：①；②，结合勾股定理和等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）∵M是的中点，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（2）①当时，则，
∴，
解得；
②当时，过点P作于点H，
∴．
∵，
∴．
∴，
解得．
综上可得，m的值为或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
24．(1)抛物线的解析式为
(2)点的坐标为
(3)存在，P的坐标为、、、
【分析】（1）因为经过，两点，所以，再代，即可作答．
（2）先把、代入，并解出直线BC的解析式为，因为，所以，解得，得，即可作答．
（3）结合平行四边形的性质，要进行分类讨论，即①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线，然后列出方程组解方程，即可作答．
【详解】（1）解：设抛物线为，
经过，两点，
，
把代入得：，
，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
把、代入得：
直线的解析式为，
设，则，，
，，
，
，
，
解得（不符合，舍去），，
经检验：是方程的解
把代入，解得
点的坐标为．
（3）解：存在，过程如下：
依题意，设，且，，
∵以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形
∴①当为对角线时，则
，
；
②当为对角线时，则
，
，；
③当为对角线时，则
，
．
综上所述，P的坐标为、、、．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的性质，二次函数与一次函数的解析式、二次函数与一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
B
C
B
C
B
D
A
题号
11
12








答案
B
C