2025-2026学年四川省成都市高新区教育科学研究院附属中学九年级上学期9月月考数学试题

这是一份2025-2026学年四川省成都市高新区教育科学研究院附属中学九年级上学期9月月考数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ）
A．周长B．面积C．每个内角的度数D．每条边的长度
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5．根据下列表格的对应值：
判断方程=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
6．如图，，，，，则的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．年，某省新能源汽车产能达到万辆．到了年，该省新能源汽车产能将达到万辆，设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x．则根据题意可列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．若，则 ．
10．已知线段是线段、的比例中项，如果，，则 ．
11．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为24，则这个多边形的最短边的长度为 ．
12．已知实数满足，，且，则的值为 ．
13．如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，连接，四边形的周长为 ．
三、解答题
14．解方程：
(1)；
(2)．
15．已知，是关于x的一元二次方程的两实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
16．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD=AD：DB；
（2）若AB=15，AD：BD=2：1，求DF的长．
17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，EF垂直平分BC，垂足为D，交AB于点F，CE∥AB，连接BE、CF．
(1)求证：四边形CFBE是菱形；
(2)若AB=10，BC=8，求DF的长．
18．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，点C在x轴负半轴上，
且AB：AC=1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
四、填空题
19．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
20．已知，则的值是 ．
21．若方程的两个实数根为，，则的值为 ．
22．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是 ．
23．如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是 ．
五、解答题
24．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？
(3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率）
25．配方法应用广泛，除了用来解一元二次方程，还可以求代数式的最大值或最小值．
例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最大值．
解：．
，
，
当时，取最大值，最大值是5．
试利用配方法解决下列问题：
(1)求出的最小值．
(2)已知，试判断的大小，并说明理由．
(3)如图，在中，，，，，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发以的速度向终点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小？最小面积为多少？
26．如图，点P是平行四边形内一点，，连接

(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，若的面积与的面积的比是，且，求平行四边形的面积；
(3)如图3，在（1）的条件下，若，求的长．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=
﹣0.06
﹣0.08
﹣0.03
0.09
《四川省成都市教育科学研究院附属中学2025-2026学年上学期九年级9月考数学试卷》参考答案
1．B
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B．是一元二次方程，符合题意；
C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意；
D．是一元三次方程，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查线段成比例的知识．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【详解】解：A、由于，所以不成比例，不符合题意；
B、由于，所以成比例，符合题意；
C、由于，所以不成比例，不符合题意；
D、由于，所以不成比例，不符合题意．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答．
【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系，
用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，
每个内角的度数保持不变，
故选：C．
4．C
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项错误，不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，选项错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项正确，符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法．熟练掌握相关图形的判定方法，是解题的关键．
5．D
【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.03和0.09最接近0，再看对应的x的值即可得．
【详解】解：由表可以看出，当x取3.25与3.26之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．
ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为3.25＜x＜3.26．
故选D．
【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似根．
6．B
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键．
根据得到，再代入数据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为，根据题意得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
8．B
【分析】此题主要考查了点的坐标，正方形的性质，熟练掌握点的坐标，正方形的性质是解决问题的关键.
连接交于点，根据正方形，，，，由此即可得出点的坐标.
【详解】解：连接交于点，如图所示:
四边形是正方形，
，，，，
点，
，
，
，，
点的坐标为．
故选: B．
9．5
【分析】本题考查了比例的性质、分式方程的应用，熟练掌握比例的性质是解题关键．先根据题意可得，再设，则，代入已知等式可得，解方程可得的值，然后进行检验，由此即可得．
【详解】解：由题意得：，
设，则，
∵，
∴，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
∴，
故答案为：5．
10．
【分析】本题考查比例中项及比例的基本性质，根据比例中项的定义及比例的基本性质得．解题的关键是掌握：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即或，那么线段叫做线段、的比例中项．
【详解】解：∵线段是线段、的比例中项，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
解得：或，
又∵为线段的长度，
∴不符合题意，舍去，
即．
故答案为：．
11．8
【分析】本题考查相似多边形的性质．该多边形的最短边长为．利用相似多边形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：该多边形的最短边长为．
由相似多边形的性质可知：，
，
故答案为：8．
12．10
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．根据题意可知实数是方程的两个根，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，即可求解．
【详解】解：实数满足，，且，
∴实数是方程的两个根，
∴，
∴，
故答案为：10 ．
13．12
【分析】本题考查了角平分线的作法、菱形的判定与性质和平行四边形的性质，解题关键是明确角平分线作法，证出四边形是菱形．根据作图可知是角平分线，根据等腰三角形的性质判断四边形是菱形，求出周长即可．
【详解】解：由作图可知，平分，，
，
在和中，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
四边形的周长为：，
故答案为：12．
14．(1)，
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握各种解法是解题的关键．
（1）因式分解法求解即可；
（2）公式法求解即可．
【详解】（1）解：，
或，
解得：或，
∴原方程的根为：，；
（2）解：
，
∴，
∴原方程的根为：．
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；
（1）根据根的判别式得出关于m的不等式，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得出，，根据，得出，然后解方程即可；
一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．，．
【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴，
解得（舍去），，
∴．
16．（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理证得，，由此即可证得结论；
（2）由AB=15，AD：BD=2：1，即可得AD=10，再由AF：FD=AD：DB得到AF：FD=2：1，所以AF=2DF，又因AF+DF=10，即可得2DF+DF=10，所以DF=．
试题解析：
【详解】（1）证明：∵EF∥CD，
∴，
∵DE∥BC，
∴
∴．
（2）∵AD：BD=2：1，
∴BD=AD，
∴AD+AD=15，
∴AD=10，
∵AF：FD=AD：DB，
∴AF：FD=2：1，
∴AF=2DF，
∵AF+DF=10，
∴2DF+DF=10，
∴DF=．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据成比例线段互换格式是解决此题的关键．
17．(1)见解析
(2)DF的长为3．
【分析】（1）证△CDE≌△BDF（ASA），得DE=DF，则四边形CFBE是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论；
（2）由勾股定理得AC=6，再证四边形ACEF是平行四边形，得EF=AC=6，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠DCE=∠DBF，
∵EF垂直平分BC，
∴CD=BD，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，
∴四边形CFBE是平行四边形，
又∵EF⊥BC，
∴平行四边形CFBE是菱形；
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AC==6，AC⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
又∵CE∥AB，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴EF=AC=6，
由（1）可知，DF=DE，
∴DF=EF=3．
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．（1）A（1，0），C（﹣3，0）；（2）S=2﹣t（0≤t＜2）；②S=t﹣2（t＞2）；（3）存在，Q1（﹣1，0），Q2（1，﹣2），Q3（1，2），Q1（1，）．
【分析】（1）通过解一元二次方程，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据勾股定理可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标．
（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式．
（3）分AB是边和对角线两种情况讨论可求Q点的坐标
【详解】（1）
（x﹣）（x﹣1）=0，
解得x1=，x2=1．
∵OA＜OB，∴OA=1，OB=．
∴A（1，0），B（0，）．
∴AB=2．
又∵AB：AC=1：2，
∴AC=4．
∴C（﹣3，0）；
（2）由题意得：CM=t，CB=2．
∴
∴
①当点M在CB边上时，S==2﹣t（0≤t＜2）；
②当点M在CB边的延长线上时，S==t﹣2（t＞2）．
（3）存在，Q1（﹣1，0），Q2（1，﹣2），Q3（1，2），Q1（1，）．
19．
【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义可得，且，由此即可得．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
解得，
故答案为：．
20．
【分析】根据设x=2k，y=3k，z=4k，把x=2k，y=3k，z=4k代入，即可求出答案．
【详解】解：设x=2k，y=3k，z=4k，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质和求分式的值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
21．
【分析】题考查的是一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
将代入方程可得，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算．
【详解】解：∵为方程的实数根，
∴，即，
∴
∵方程的两个实数根为，，
∴，
∴．
故答案为：．
22．3或﹣3
【分析】分两种情况：x≥﹣x，即x≥0时；x＜﹣x，即x＜0时；进行讨论即可求解．
【详解】当x≥﹣x，即x≥0时，
∴x=x2﹣6，
即x2﹣x﹣6=0，
(x﹣3)(x+2)=0，
解得：x1=3，x2=﹣2(舍去)；
当x＜﹣x，即x＜0时，
∴﹣x=x2﹣6，
即x2+x﹣6=0，
(x+3)(x﹣2)=0，
解得：x3=﹣3，x4=2(舍去)．
故方程max{x，﹣x}=x2﹣6的解是x=3或﹣3．
故答案为：3或﹣3．
【点睛】考查了解了一元二次方程-因式分解法，关键是熟练掌握定义符号max{a，b}的含义，注意分类思想的应用．
23．
【分析】过点F作GF∥CD，过点C作GC∥DF，二线交于点G，根据平行四边形的性质，得到点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，利用圆的性质，确定最小值即可．
【详解】如图，过点F作GF∥CD，过点C作GC∥DF，二线交于点G，
∴ 四边形DFGC是平行四边形，
∴GF=CD=4,
∴点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，
∴当A、F、G三点共线时，AF最小，
∵四边形DFGC是平行四边形，四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF∥CG，AB=DF=CG，
∴四边形ABGC是平行四边形，
∵AB=AC，
∴四边形ABGC是菱形，
∴AG，BC互相垂直平分，设交点为H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴AH=ABsin60°=，
∴AG=2AH=，
∴AF=AG-FG=
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆的最值性，特殊角的三角函数值，熟练菱形的判定和性质，圆的性质是解题的关键．
24．(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元
(2)每件恤衫的销售价应该定为元
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键．
（1）根据题意列出式子计算即可得出答案；
（2）设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（3）设每件恤衫降价元，根据“为了保证每件恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：（元），
∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元；
（2）解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，
由题意得：，
解得：或，
当时，售价为（元），
当时，售价为（元），
∵优惠最大，
∴，
∴每件恤衫的销售价应该定为元；
（3）解：不能，理由如下：
设每件恤衫降价元，
∵为了保证每件恤衫的利润率不低于，
∴，
解得：，
由题意得：，
解得：或，
∵，
∴或都不符合题意，舍去，
∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润．
25．(1)．
(2)．理由见解析
(3)时，四边形面积的最小值，最小面积为．
【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键．
（1）直接利用完全平方公式和材料求解即可；
（2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可；
（3）根据题意表示出，再利用完全平方的非负性求出当的值为3时，的面积有最大，最大值为．由四边形的面积得到当时，四边形面积的最小值，最小面积为．
【详解】（1）解：，
，
，
当时，有最小值，最小值为，即的最小值为．
（2）解：，理由如下：
，
，
，
∴．
（3）解：由题意得：，
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为9，即：当的值为3时，的面积最大，最大值为．
∵四边形的面积，
当的面积最大时，四边形的面积有最小值，
即当时，四边形面积的最小值，最小面积为．
26．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，通过证明是等腰直角三角形，可得；
（2）过点P作，交于M，交于N．根据，可求出，设，，由“AAS”可证，可得，由勾股定理可求的长，即可求解；
(3) 过点P作于E交于F，在上截取一点T，使得．设，利用勾股定理以及全等三角形的性质，构建方程求出a，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，即．
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
（2）如图，过点P作，交于M，交于N．

∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设，．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得： (负值舍去)，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点P作于E交于F，在上截取一点T，使得，连接．

设．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
整理得，，
∴，
解得：，．
当时，，
∴此时不合题意舍去，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，一元二次方程的应用等知识，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
B
C
C
D
B
B
B